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Introduccion al Algebra Lineal

Howard Anton

por Mateo Espinel

correo: [email protected]

ejercicios 6.2:

4- demuestre que la siguiente matriz es o no diagonizable.

que me dan? una matriz de 3*3

que me piden? hallar si no es diagonalizable.

plan:

a) primero formamos el polinomio caracteristico det (yI-B) x = 0, para encontrar los valores propios. si estos valores no son reales entonces la matriz no es diagonalizable. de lo contrario seguimos.

b) lo que hacemos ahora es hallar los vectores propios los vectores que son afectados por los valores propios y resolvemos para cada valor propio. si la cantidad de vectores propios no es igual a la multiplicidad de la raiz entonces nuestra matriz no es diagonalizable. de lo contrario seguimos. si superamos este paso, entonces la matriz es diagonalizable.

desarrollo:

declaramos la matriz y la variable:

A = matrix(QQ,[[-1, 0, 1],[-1, 3, 0],[-4, 13, -1]])

A

[-1 0 1] [-1 3 0] [-4 13 -1]

y = var('y')

ahora resolvemos det(yI-A) x = 0

B = matrix([[y, 0, 0],[0, y, 0],[0, 0, y]])

B

[y 0 0] [0 y 0] [0 0 y]

B-A

[y + 1 0 -1] [ 1 y - 3 0] [ 4 -13 y + 1]

sacamos determinante de nuestra nueva matriz.

C = matrix([[y+1, 0, -1],[1, y-3, 0],[4, -13, y+1]])

C.determinant()

(y - 3)*(y + 1)^2 + 4*y + 1

con este tenemos los siguientes valores:
    y= 3    y=-1   y=-1   y=0 y este numero de valores no es el mismo del de la multiplicidad de la raiz por lo tanto la matriz no es diagonalizable.