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Consideriamo un problema finanziario molto semplice: calcolare il montante M , ovvero l'ammontare di denaro una volta maturati gli interessi I, partendo da un capitale iniziale C stabilito un certo tasso di interesse i (o come lo indicheremo di seguito ti). L'esempio è funzionale all'introduzione del limite notevole:

pertanto introdurremo volutamente alcune semplificazioni nella formula. Ciononostante nulla vieta una successiva sostituzione di tali valori con altri più aderenti alla realtà.

Consideriamo un capitale iniziale di 1 euro, investito per un anno ad un interesse (decisamente irreale) del 100%. Gli interessi maturati si ottengono semplicemente dalla moltiplicazione: (capitale iniziale)x(tempo di investimento)x(tasso di interesse); sommando interessi e capitale iniziale otteniamo quindi il montante finale.

C=1 # euro
t=1 # anno
ti=1 # 100% di tasso di interesse
I=C*ti*t
M=C+I
print "Dopo un anno gli interessi maturati sono pari a",I,"euro, per un montante finale di",M,"euro."

Dopo un anno gli interessi maturati sono pari a 1 euro, per un montante finale di 2 euro.

Osservazione: Si noti come le soluzioni calcolate da SAGE siano associata a stringhe testuali attraverso una loro congiunzione mediante il simbolo "," (virgola).

Immaginiamo di richiedere al nostro promotore finanziario di fiducia (sempre che ne esista uno!) di rivedere il piano d'investimento, suddividendo l'anno in due semestri. Questo comporta la maturazione di interessi già dopo sei mesi che possono essere reinvestiti nel semestre successivo. Avremo dunque un montante parziale dopo 6 mesi che diventerà il capitale iniziale per i 6 mesi successivi.

# Primo semestre
C=1 # euro
t=1/2 # anno (6 mesi)
ti=1 # 100% di tasso di interesse
I=C*ti*t
M=C+I
print "Dopo i primi 6 mesi gli interessi maturati sono pari a",I,"euro, per un montante parziale di",M,", ovvero",M.n(),"euro."

Dopo i primi 6 mesi gli interessi maturati sono pari a 1/2 euro, per un montante parziale di 3/2 , ovvero 1.50000000000000 euro.

# Primo semestre
C=3/2 # euro
t=1/2 # anno (6 mesi)
ti=1 # 100% di tasso di interesse
I=C*ti*t
M=C+I
print "Dopo altri 6 mesi gli interessi maturati sono pari a",I,"euro, per un montante finale di",M,", ovvero",M.n(),"euro."

Dopo altri 6 mesi gli interessi maturati sono pari a 3/4 euro, per un montante finale di 9/4 , ovvero 2.25000000000000 euro.

Esercizio: Si provi a trattare il caso in cui l'aggiornamento degli interessi avviene ad intervalli di 4 mesi, pertanto suddividendo l'anno in 3 periodi distinti.

%latex
Osserviamo che $\frac{9}{4}= \sage{factor(9/4)}$ ovvero $\left(\frac{3}{2} \right)^2=\left(1+\frac{1}{2} \right)^2$

Da questa semplice osservazione possiamo ricavare una formula più semplice per il calcolo del montante per i regimi di capitalizzazione composti ovvero quelli in cui gli interessi maturati al termine dei periodi intermedi dell'anno vengono reinvestiti assieme al capitale iniziale per il calcolo degli interessi nei periodi successivi.

Mediante questa formula possiamo agevolmente calcolare il risulato dell'esercizio assegnato, ottenendo:

n=3 # porzione di anno
C=1 # euro
t=1/n # porzione di anno
ti=1 # 100% di tasso di interesse
M=C*(1+ti*t)^n
print "Dopo un anno Il montante finale risulta pari a",M,"euro, ovvero a",M.n(),"euro."

Dopo un anno Il montante finale risulta pari a 64/27 euro, ovvero a 2.37037037037037 euro.

Esercizio: Si provi variare il valore di n annotandosi il valore del montante finale.

M= lambda x: (1+1/x)^x
N=10
Lm=[M(n) for n in range(1,N)]
for k in range(N-1):
    print 'Frazioni di anno:',k+1,', quindi montante M=',Lm[k].n()

Frazioni di anno: 1 , quindi montante M= 2.00000000000000 Frazioni di anno: 2 , quindi montante M= 2.25000000000000 Frazioni di anno: 3 , quindi montante M= 2.37037037037037 Frazioni di anno: 4 , quindi montante M= 2.44140625000000 Frazioni di anno: 5 , quindi montante M= 2.48832000000000 Frazioni di anno: 6 , quindi montante M= 2.52162637174211 Frazioni di anno: 7 , quindi montante M= 2.54649969704071 Frazioni di anno: 8 , quindi montante M= 2.56578451395035 Frazioni di anno: 9 , quindi montante M= 2.58117479171320

Sfruttiamo le capacità di calcolo che ci offre SAGE per rappresentare graficamente l'andamento del montante considerando suddivisioni dell'anno da 1 a 100 parti.

M= lambda x: (1+1/x)^x
N=100
Lm=[M(n) for n in range(1,N)]
Pm=list_plot(Lm, rgbcolor=(1,0.2,0.5))
Re=line([(-1,e),(N+1,e)], rgbcolor=(0.2,1,0.2))
Pm+Re

f= lambda x: (1+1/x)^x
limit(f(x),x=+infinity)

e