︠5907d100-ac29-4a15-9d31-f8dd5aa6b33cio︠
%hideall
La boquilla de una manguera se encuentra en $(x, y) = (0, h)$ y oscila con un 
ángulo   $\alpha=\alpha (t) $. El agua deja la boquilla con una
velocidad constante $U$. Despreciando la fricción entre el aire y el chorro de agua,
se pide determinar:
\begin{enumerate}
 \item 
 Las componentes de la velocidad de una partícula que se encontraba en la
boquilla en $t = t'$.
\item La trayectoria para esa partícula.
\item  La línea de emisión para las partículas que pasaron por la boquilla entre $t = 0$
y $t=t_1$.
\item  ¿Qué mostraría una fotografía del chorro en $t = t_1$?

\end{enumerate}
︡c7350711-e97a-4c6c-87f3-72ee030db1f4︡︡
︠0ea169c2-4bb1-4311-9540-7ea879562138io︠
%hideall
\begin{enumerate}
 \item La velocidad de una partícula $\vec=(u,v)$, dado que el flujo no está sometido a fricción ni a campos externos, tiene la forma:
\begin{eqnarray*}
 \frac{df_1}{dt}&=&u=C_1\\
\frac{df_2}{dt}&=&v=C_2-g t
\end{eqnarray*}
En la boquilla ($f_1=0,f_2=h$) la velocidad vale $\left(U\cos[\alpha(t')], U\sin[\alpha(t')]\right)$, luego:
\begin{eqnarray*}
 u&=&C_1=U\cos[\alpha(t')]\\
 v&=&C_2-g t'=U\sin[\alpha(t')]\rightarrow C_2=U\sin[\alpha(t')]+g t'
\end{eqnarray*}
Resumiendo:
\begin{eqnarray}
 u&=&U\cos[\alpha(t')]\\
 v&=&U\sin[\alpha(t')]+g t'-g t
\end{eqnarray}
\item
Integrando las ecuaciones obtenemos las trayectorias ($f_1,f_2$):
\begin{eqnarray}
 f_1&=&U\cos[\alpha(t')]t+C_3\\
 f_2&=&(U\sin[\alpha(t')]+g t')t-\frac{g t^2}{2}+C_4
\end{eqnarray}
Podemos identificar a las constantes de integración $C_3$ y $C_4$ observando que para $t=0$, 
\begin{eqnarray*}
f_1=C_3=\xi_1\\
f_2=C_4=\xi_2 
\end{eqnarray*}
donde $\xi_1$ y $\xi_2$ representan las coordenadas iniciales de la partícula. La ecuación
 de trayectoria nos queda una expresión que depende en forma explícita del tiempo y de la posición inicial $\vec f (\vec \xi,t)$.
\item
Las líneas de emisión las obtenemos determinando a las partículas que pasaron por la boquilla ($0,h$) en el instante $t'\in[t_1,t_2]$. Para ello, identifiquemos la posición inicial $\vec(\xi)$ de las partículas:
\begin{eqnarray*}
 f_1&=&U\cos[\alpha(t')]t'+\xi_1'=0\\
 f_2&=&(U\sin[\alpha(t')]+g t')t'-\frac{g t'^2}{2}+\xi_2'=h
\end{eqnarray*}
Despejamos los valores de $\xi_1$ y $\xi_2$:
\begin{eqnarray*}
\xi_1'&=&-U\cos[\alpha(t')]t'\\
 \xi_2'&=&h-(U\sin[\alpha(t')]+g t')t'+\frac{g t'^2}{2}
\end{eqnarray*}
 Reemplazando estas posiciones iniciales particulares, que dependen de $t'\in[t_1,t_2]$ obtenemos una particular ecuación de trayectoria:
 \begin{eqnarray}
 f_1&=&U\cos[\alpha(t')](t-t')\\\label{streak1}
 f_2&=&h+(U\sin[\alpha(t')]+g t')(t-t')-\frac{g t^2}{2}-\frac{g t'^2}{2}\nonumber
\end{eqnarray}
según (\ref{streak1}) podemos tomar una foto para el tiempo $t=t_*$ y las líneas de emisión quedan determinadas por el parámetro $t'$, el instante en el cual pasan por la boquilla.
 \begin{eqnarray}
 f_1&=&U\cos[\alpha(t')](t_*-t')\\
 f_2&=&h+(U\sin[\alpha(t')]+g t')(t_*-t')-\frac{g t_*^2}{2}-\frac{g t'^2}{2}\nonumber
\end{eqnarray}

\end{enumerate}
︡e6c45b22-490f-487a-abfa-68a760a3e70b︡︡
︠01e033d8-ea39-4457-bdb1-893c9a32ea58︠
import numpy as np
pi=np.pi
ts=12 ; U=5 ; g=9.8 ; f=2 ; h=10
#ts: tiempo de toma de la foto,
#U: velocidad del chorro, f: frecuencia de oscilacion, 
#h: altura, g gravedad
tp=np.linspace(0,ts,500)
#tp tiempo en el que la partícula estaba en (0,h)
alfa0=pi/3 ;  A=0.1 
#alfa0 angulo alrededor del cual la manguera oscila,
#A: amplitud de las oscilaciones
f1=U*(np.cos(alfa0)+A*np.cos(2*pi*f*tp))*(ts-tp)
f2=h+(U*(np.sin(pi/2)+0.1*np.sin(2*pi*f*tp)))*(ts-tp)-g*(ts-tp)**2/2

#ecuaciones de las lineas de emision, parametricas con tp. Para tp fijo y variables con ts, son las ecuaciones
#de la trayectoria de una partícula que a tiempo tp estaba en (0,h)
import matplotlib.pylab as plt
plot=plt.plot
plot(f1,f2,'o') ; plt.show();plt.axis([-2,10,0,13])
plt.xlabel('x') ; plt.ylabel('y') ; 
plt.savefig('.')
︡b2325ef8-5af3-4aaf-92d3-286780c0467a︡︡


Collaborative Calculation and Data Science

colby

sagemath

cornellcollege

facebook

github

google

twitter

depaul

All published worksheets from http://sagenb.org