3510.sagews

x=var('x')
y=var('y')

# a função vista em sala

f(x,y)=x^2-y^2
# seu gráfico, em 3d
gf=plot3d(f(x,y),(x,-3,3),(y,-3,3),color="grey",opacity=.8)

# a curva de nível dada por f(x,y)=3 é representada aqui no plano horizontal de altura 3
planopos=plot3d(3.,(x,-3,3),(y,-3,3),color="blue",opacity=.2)

gf+planopos

# e agora uma curva análoga, f(x,y)=-3, vista no plano z=-3
planoneg=plot3d(-3.,(x,-3,3),(y,-3,3),color="orange",opacity=.2)

gf+planoneg

# note que as hipérboles mudam de orientação e que o nível 0 é o caso degenerado:

planozero=plot3d(0.,(x,-3,3),(y,-3,3),color="grey",opacity=.2)

gf+planozero

# os gráficos 3d não devem nos confundidir
# os níveis moram no plano. Mais uma vez, várias curvas de nível superpostas
contour_plot(f(x,y), (x, -3, 3), (y, -3, 3),fill=false,labels=true,label_colors="red")

# para concluir, o plano tangente à esfera de raio raiz de 3 centrada na origem, mas usando
# a ortogonalidade do gradiente à (agora) superfícies de nível
z=var('z')
G(x,y,z)=x^2+y^2+z^2
# o gradiente...
gradG=G.gradient()
# no ponto (1,1,1) é
gradG(1,1,1)
# portanto vimos que uma equação para o plano tangente à superfície G(x,y,z)=3 é dada por
# gradG(1,1,1) . (x-1,y-1,z-1)=0
eps=3
planotangente=implicit_plot3d(x-1+y-1+z-1==0, (x, 1-eps, 1+eps), (y, 1-eps, 1+eps), (z, 1-eps, 1+eps),color="red",opacity=.3)

esfera=implicit_plot3d(G(x,y,z)==3, (x, 1-eps, 1+eps), (y, 1-eps, 1+eps), (z, 1-eps, 1+eps),opacity=.8)
esfera+planotangente

(1.73205080756888, 1.73205080756888, 0)

a=sqrt(3./2.)
# o gradiente em um ponto do equador é
gradnoeq=gradG(a,a,0)
gradnoeq

(2.44948974278318, 2.44948974278318, 0)

# tem coordenadas gradnoeq[0] até gradnoeq[2]
# portanto o plano tangente é o plano 
eps=3
planotangenteeq=implicit_plot3d(gradnoeq[0]*(x-a)+gradnoeq[1]*(y-a)+gradnoeq[2]*z==0,(x, a-eps, a+eps),(y,a-eps,a+eps), (z,-eps,+eps),color="red",opacity=.3)

esferaeq=implicit_plot3d(G(x,y,z)==3, (x, a-eps, a+eps), (y, a-eps, a+eps), (z, -eps, +eps),opacity=.8)
planotangenteeq+esferaeq

G(a,a,0)

1.50000000000000