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Una pequeña empresa vende impresoras de láser de alta calidad y ellos usan una política para ordenar inventario periódico simple. Si hay dos o menos impresoras en el inventario al final del día el viernes, la empresa ordenarán las impresoras suficientes de modo que haya cinco impresoras en inventario al principio del lunes. (Sólo toma el fin de semana para que el mayorista entregue las impresoras). Si hay más de dos impresoras al final de la semana, ninguna orden es colocada. Datos de demanda semanales han sido analizados cediendo la función de masa de probabilidad para la demanda semanal como Pr{D = 0} = 0.05, Pr{D = 1} = 0.1, Pr{D = 2} = 0.2, Pr{D = 3} = 0.4, Pr{D = 4} = 0.1, Pr{D = 5} = 0.1, y Pr{D = 6} = 0.05. Sea X una cadena de Markov donde Xn es el inventario al final de la n-esima semana. (Nota: pedidos pendientes no son aceptados.)
A) Dar la matriz de Markov para X.

P=matrix(c(.15,.15,.15,.65,.25,.15,.1,.1,.1,.2,.4,.1,.4,.4,.4,.1,.2,.4,.2,.2,.2,.05,.1,.2,.1,.1,.1,0,.05,.1,.05,.05,.05,0,0,.05), nrow = 6)
P

[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [1,] 0.15 0.1 0.4 0.20 0.10 0.05 [2,] 0.15 0.1 0.4 0.20 0.10 0.05 [3,] 0.15 0.1 0.4 0.20 0.10 0.05 [4,] 0.65 0.2 0.1 0.05 0.00 0.00 [5,] 0.25 0.4 0.2 0.10 0.05 0.00 [6,] 0.15 0.1 0.4 0.20 0.10 0.05

P[6,6]

[1] 0.05

La probabilidad de que hayan cinco artículos en el inventario al final de la semana 2 será de 0,05

C) Si al final de la semana 1 hay cinco artículos en el inventario, ¿Cuál es la probabilidad que existan cinco artículos en el inventario al final de semana 3?

P2 = P%*%P
P2[6,6]

[1] 0.035

La probabilidad de que hayan cinco artículos en el inventario al final de la semana 3 será de 0,035

D) ¿Cuál es el número esperado de veces al año que se coloca una orden?

Una orden se coloca cada vez que la cadena pasa por el estado 0, 1 o 2. Entonces el número esperado de veces al año que se coloca una orden es el producto de 52 (el número de semanas al año) por la suma de los pi para los estados 0, 1 y 2:

p= t(P) - diag(nrow(P))
p[nrow(P),] <- rep(1,nrow(P))
v = c(rep(0,nrow(P) - 1), 1)
pi = solve(p,v)
52 * (pi[1] + pi[2] + pi[3])

[1] 37.23048

El número esperado de veces al año que se coloca una orden es de 37,23

B) Si al final de la semana 1 hay cinco artículos en el inventario, ¿Cuál es la probabilidad que existan cinco artículos en el inventario al final de semana 2?