4522.sagews

x, y, a1, a2, a3, a4, a5, a6 = var('x, y, a1, a2, a3,a4, a5, a6')

Eq=y^2+a1*y*x+a3*y-(x^3+a2*x^2+a4*x+a6) == 0

Eqs=Eq.substitute(y=y-a1*x/2-a3/2).expand();Eqs

-1/4*a1^2*x^2 - 1/2*a1*a3*x - a2*x^2 - 1/4*a3^2 - x^3 - a4*x + y^2 - a6 == 0

Eqs.coefficients(x)

[[-1/4*a3^2 + y^2 - a6 == 0, 0], [-1/2*a1*a3 - a4 == 0, 1], [-1/4*a1^2 - a2 == 0, 2], [-1 == 0, 3]]

b2=a2-(-1/4*a1^2)
b4=a4-(-1/2*a1*a3)
b6=a6-(-1/4*a3^2)
X,Y=var('X,Y')
Eq2=Y^2-(X^3+b2*X^2+b4*X+b6)==0

Res=Eq2.expand().substitute(X=x, Y=y+a1*x/2+a3/2); Res.expand()

a1*x*y - a2*x^2 - x^3 + a3*y - a4*x + y^2 - a6 == 0

Test=Res-Eq;
Test.expand()

0 == 0

Res.expand()

a1*x*y - a2*x^2 - x^3 + a3*y - a4*x + y^2 - a6 == 0