4550.sagews

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Calcul de l'energie potentielle d'une chaine en rotation

    Exemple de l'utilisation de l'interface SAGE pour effectuer des simulations
    Mars 2012
    Bruno KIEFFER
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1. Nous utiliserons la bibliotheque NUMPY pour le calcul et le module d'optimisation de SCIPY
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import numpy as np
from scipy import optimize

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2. On defini la fonction Energie potentielle en utilisant le langage PYTHON
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def pot(X,mu,L,w):
   """ Fonction energie potentielle 
   X est u t-uple contenant les angles teta1 et teta2 ainsi que le parametre a
   mu, L et w sont des parametres additionels
   mu : masse lineique
   L longueur totale
   w vitesse angulaire de rotation (200 a 2000 tr.min-1)""" 

   (t1,t2,a) = X
   g = 9.8 # Acceleration terrestre
   
   st1 = np.sin(t1)
   ct1 = np.cos(t1)
   st2 = np.sin(t2)
   ct2 = np.cos(t2)

   ep1 = 0.5*mu*g*(L**2)*(a*(a-2)*ct1-ct2*(a-1)**2)
   ep2 = (1./6)*mu*(w**2)*(L**3)*(a**3*st2**2-3*a*(a-1)**2*st1*st2-a**2*(2*a-3)*st1**2)
   ep = ep1+ep2
   return ep

"""
3. On peut maintenant evaluer cette fonctions pour differents parametres
Par exemple :
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mu = 1.
L = 0.5
w = 0.2
pars = (mu,L,w)
X_ini = (np.pi/3,np.pi/2,0.8)
print'Le potentiel est %8.3f ' % pot(X_ini,mu,L,w)

Le potentiel est -0.587

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4. Le minimum de la fonction pot peut maintenant etre cherche a l'aide du minimiseur fmin 
   (algorithme du simplex )
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mu = 1.
L = 0.5
w = 0.2
pars = (mu,L,w)
X_ini = (np.pi/3,np.pi/2,0.8)
X_opt = optimize.fmin(pot, X_ini, args = pars, xtol = 0.0001)
print X_opt

Optimization terminated successfully. Current function value: -1.225000 Iterations: 108 Function evaluations: 199 [ 8.07020870e-07 3.14159373e+00 9.99999522e-01]

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On peut constater que si l'on augmentente la vitesse de rotation (w), on trouve des valeurs differentes
qui ne varient plus a partir de 20 rad.s-1
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mu = 1.
L = 0.5
w = 100
pars = (mu,L,w)
X_ini = (np.pi/2,np.pi/2,0.5)
X_opt = optimize.fmin(pot, X_ini, args = pars, xtol = 0.0001)
print X_opt

Optimization terminated successfully. Current function value: -56.786294 Iterations: 73 Function evaluations: 134 [ 1.55978588 1.56018123 0.19098703]