528.sagews

 

Aufgabe 30 d)

Bestimme alle Zahlen, die Quadratzahlen sind und deren Ziffern bis auf die zweitletzte lauter Fünfer sind.

l=[]
f0=500
f=0 # "fuenfer"-Stellen
e=5 # Einer-Stellen
while(f<10^30):
    for z in range(0,10):
        n=10*z+e+f
        if sqrt(n)==int(sqrt(n)):
            s1=">>"
            s2="<<"
            t=s1+"%d  %d"+s2
            print t % (sqrt(n),n)
    f=f*10+f0    
print n,f
#for i in range(1,len(l)):
#    print l[i+1]-l[i]

>>5 25<< 555555555555555555555555555595 5555555555555555555555555555500

Für Zahlen kleiner als $n_{max}=555555555555555555555555555595$ konnte nur die triviale Lösung $n=05$ gefunden werden. Vermutung: Für größere Zahlen gibt es auch keine Lösung.

Gäbe es Zahlen $x$ (zwischen 0 und 9) und $y$, so dass $5 \cdot 10^0+x \cdot 10^1+5 \cdot 10^2+5 \cdot 10^3+...+5 \cdot 10^n=y^2$, dann müsste $10x+5 \cdot (10^0+10^2+...+10^n)=y^2$

$$5\cdot (2x +1 \cdot (10^0+10^2+...+10^n))=y^2$$ $y$ könnte also nur ungerade und von der Form $y=2k$ sein

$$5\cdot (2x +1 \cdot (10^0+10^2+...+10^n))=(2k+1)^2=4k^2+2k+1$$

$$10x +4 +5 \cdot (10^2+...+10^n))=(2k+1)^2=4k^2+2k$$ Die linke Seite ist auf jeden Fall ungerade, die rechte wiederum gerade. Die Gleichung war also von Anfang an nicht erfüllt.