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Les anneaux, les corps de fractions, etc
Première étape: fabriquer et utiliser le corps des fractions rationnelles
Choisissons le nom R pour le corps des fractions de l'anneau des polynômes sur avec pour générateur t. Autrement dit c'est le corps des fractions rationelles sur .
Toutes les expressions polynomiales avec des t correspondent à des fractions rationelles de R.
On peut récupérer le numérateur:
Qui lui est un polynôme:
Pareil pour le dénominateur:
deuxième étape: les polynômes de fractions rationnelles
Choisissons S pour l'anneau des polynômes sur avec pour indéterminée . De manière générale, dès qu'on a un anneau on peut prendre son anneau de polynôme associé avec la commande PolynomialRing.
Malheureusement Sage ne sait pas résoudre les équations:
Alternative symbolique
Dans Sage il y a possibilité de faire référence à une indéterminée sans qu'elle fasse partie d'un anneaux de polynômes. Il faut pour cela comprendre un peu comment marche les équations symboliques.
Reprenons notre corps des fractions rationnelles en t.
Plutôt que de prendre une indéterminée dans un anneau de polynôme on prends une variable symbolique que l'on fabrique avec la commande var.
Toutes les équations (polynomiales ou pas) qui font apparaître P sont symboliques.
Même des trucs tordus ! Une équation est une expression symbolique:
Et Sage sait résoudre les équations:
Et avec des matrices ?
Reprenons encore notre corps des fractions rationnelles.
À partir d'un anneau on sait aussi fabriquer l'espace des matrices sur ce corps.
Pour fabriquer des matrices sur M la syntaxe est intuitive et utilise les listes python.
Comme tout à l'heure on va crér deux variables symboliques a et b et lui demander de résoudre l'équation qui t'intéresse.
Reste plus qu'à faire l'identification.
Et résoudre l'équation...