CoCalc Logo Icon
StoreFeaturesDocsShareSupportNewsAboutSign UpSign In

Real-time collaboration for Jupyter Notebooks, Linux Terminals, LaTeX, VS Code, R IDE, and more,
all in one place.

| Download

Try doing some basic maths questions in the Lean Theorem Prover. Functions, real numbers, equivalence relations and groups. Click on README.md and then on "Open in CoCalc with one click".

Project: Xena
Views: 18536
License: APACHE
oleanfile3.4.2, commit cbd2b6686ddb�i]��initalgebraordered_grouporderlattice��}export_decloptionnonenonesomesomeexport_declboolffffttttexport_declhas_andthenandthenandthenexport_declhas_powpowpowexport_declhas_appendappendappendexport_decldecidableis_trueis_trueis_falseis_falseto_boolto_boolexport_declhas_purepurepureexport_declhas_bindbindbindexport_declhas_monad_lift_tmonad_lift!monad_liftexport_declmonad_functor_tmonad_map$monad_mapexport_declmonad_runrun'runexport_decllistmmap*mmapmmap'*mmap'mfilter*mfiltermfoldl*mfoldlexport_declnativenat_map3rb_mapmkexport_declname_mapnativerb_mapmkexport_declexpr_mapnativerb_mapmkexport_decltacticinteraction_monadfailedfailexport_decltactic_resultinteraction_monadresultexport_decltacticFtransparencyreducibleGreduciblesemireducibleGsemireducibleexport_decltacticmk_simp_attrLmk_simp_attrexport_declmonad_exceptthrowOthrowcatchOcatchexport_declmonad_except_adapteradapt_exceptTadapt_exceptexport_declmonad_state_adapteradapt_stateWadapt_stateexport_declmonad_readerreadZreadexport_declmonad_reader_adapteradapt_reader]adapt_readerexport_declis_lawful_functormap_const_eq`map_const_eqid_map`id_mapcomp_map`comp_mapexport_declis_lawful_applicativeseq_left_eqgseq_left_eqseq_right_eqgseq_right_eqpure_seq_eq_mapgpure_seq_eq_mapmap_puregmap_pureseq_puregseq_pureseq_assocgseq_assocexport_declis_lawful_monadbind_pure_comp_eq_maptbind_pure_comp_eq_mapbind_map_eq_seqtbind_map_eq_seqpure_bindtpure_bindbind_assoctbind_assocexport_decltraversabletraverse}traverseATTRsimp��max_eq_leftATTR���max_eq_rightATTR���min_eq_leftATTR���min_eq_rightdeclstrict_monouvα�β�_inst_1has_lt_inst_2has_ltfa�����ab�has_ltlt��PInfo�VMR�VMC������doc�A function `f` is strictly monotone if `a < b` implies `f a < f b`.decl�equations_eqn_1�������eq	���"�����eqrefl	/�PInfo�ATTR_refl_lemma���EqnL�SEqnL�nspacestrict_monodecl�lt_iff_lt����_inst_1linear_order_inst_2preorderfH,preorderto_has_ltpartial_orderto_preorderlinear_orderto_partial_order�abiffMCZEZGZ���@�B��Q���introXdhXorresolve_lefteqsCsEsGsq�v�lt_trichotomysh'�lt_asymmsevne_of_gts��congr_arg	s�PInfo�decl�injective�����@�B�HQfunctioninjective���@�B��Qa₁a₂aeqWid_rhst�resolve_right��q�����h�ne_of_lts��h������PInfo�decl�compares�����@�B�HQaboorderingRorderingcomparesZMZ��s~���@�B��Q����orderingcases_on��R�sMs����C�E�G�Z�RZ����strict_monolt_iff_ltsZ�R��eq����;n�>�Bh�>�injective�sZ�sZ�s�R�*����6�PInfo�$decl�le_iff_le�����@�B�HQabRhas_lele�to_has_leW�Z�Z`���@�B��Q��n�v�h�vle_of_not_gtsh'gts~not_le_of_lts���h��elim���oZ�qZ��lt_or_eq_of_les|h'�le_of_lts���h'�eqsubst�_x��o��q�Zle_refls��PInfo�*decl�natu_1β�_inst_1preorderf�nathn����has_addadd��nathas_addhas_oneone��nathas_onestrict_mono��nathas_lt��������������id��n��m��hnm������less_than_or_equaldrecnatsucc��������s��sZ��m'��hnm'��ih�lttrans�sZZZ��PInfo�0prt�decl�monotone����_inst_1partial_order_inst_2BfH,DFOmonotoneE���
�5�B�
��:abh�y�{]�recxyz���functioncomp�S�,����Z��rfl�eqrec�����x
�z�fE�fs�o�f�q�fs�Z��x��z��Z���Z�����PInfo�	5declstrict_mono_of_monotone_of_injective����_inst_1�5_inst_2partial_orderfh₁�;�6�h₂�*CEM������5���������abZh�Qeqmprs���s�and�os�qs�����nes�����)�����	��_a	)�M����Z�$8����propext����lt_iff_le_and_nes���andintro������%left�}�&u�eqmp���{���������_a	)�fC�f�j8�������)�Ze�s����%right�l���f������*�.����0	)C�5E�5�8��2����2��fs��PInfo�>declle_min_iff��_inst_1decidable_linear_orderabcR�x�zFlatticesemilattice_infto_partial_order�9latticeto_semilattice_inf�9lattice_of_decidable_linear_ordermin���n�n��4�_�6�7�8�9le_inf_iff�i�PInfo�3LATTR����3declmax_le_iff���4�_�6�7�8R�mmax���m�m��4�_�6�7�8�9sup_le_iff�<to_semilattice_sup�h�PInfo�AMATTR����Adeclmax_le_max���4�_�6�7�8d��x�z�>�b�d�f��x�z���b�d�f�y�{]�bZ�dZ�fZ��Z����4�_�6�7�8�F�9sup_le_sup�����PInfo�ENdeclmin_le_min���4�_�6�7�8�F���������oZ����4�_�6�7�8�F�9inf_le_inf���PInfo�HOdeclle_max_left_of_le���4�_�6�7�8���������4�_�6�7�8�9le_sup_left_of_le���PInfo�JPdeclle_max_right_of_le���4�_�6�7�8������4�_�6�7�8�9le_sup_right_of_le���PInfo�LQdeclmin_le_left_of_le���4�_�6�7�8������o��4�_�6�7�8�9inf_le_left_of_le�i�PInfo�NRdeclmin_le_right_of_le���4�_�6�7�8����9��4�_�6�7�8�9inf_le_right_of_le�i�PInfo�PSdeclmax_min_distrib_left���4�_�6�7�8r���q�q������4�_�6�7�8�9sup_inf_left�9distrib_lattice_of_decidable_linear_order�PInfo�RTdeclmax_min_distrib_right���4�_�6�7�8�\���s�q�b����4�_�6�7�8�9sup_inf_right�q�PInfo�UUdeclmin_max_distrib_left���4�_�6�7�8�\�r�}�x�r��4�_�6�7�8�9inf_sup_left�q�PInfo�WVdeclmin_max_distrib_right���4�_�6�7�8�\�a�����^��4�_�6�7�8�9inf_sup_right�q�PInfo�YWdeclmin_le_max���4�_�6�7�x�zE�b�d�f�o����4�_�6�7le_trans������min_le_leftle_max_left�PInfo�[Xdeclmax_idem���4�_is_idempotent����4�_�9sup_is_idempotent���f�PInfo�_Z	prt�_VMR�_VMC�_�4�decl�_equations_eqn_1���4�_����_�����4�_������PInfo�cZ	ATTR����cEqnL�cSEqnL�_ATTRinstance���_class�`�_��declmin_idem���4�_���o��4�_�9inf_is_idempotent�d���PInfo�e[	prt�eVMR�eVMC�e�4�decl�eequations_eqn_1���4�_���
�e����4�_��
��PInfo�h[	ATTR����hEqnL�hSEqnL�eATTR�d���eclassis_idempotent�e��declmin_le_iff���4�_�6�7�8R�m�s�������4�_�6�7�8
this��R�������

�k��,R������6
ordcases_on������Gdecidable_linear_orderto_linear_order�C_x��E�HR�������le_total�?h�E���Ttrue��)�T�^eqtrans	�TR�O�y�{]^�=Z�^a	�v	e_1)b	�x	e_2�scongr		RRcongr_arg	�x		R�L�Ochas_leZas�~�e_2r�f�~�5�~e_3r
�z	�x�����{���~��	�������Ziffmpr�m�^iff_true_intro��trueintro�Z�S�n���S�O�����f�O�^iff_self�Otrivialh�H�_�b�eR�l���^�������k���Z�����^���������S�����R�������^������AnnotcheckpointAnnothaveh�2or_iff_right_of_imp�4�6����Annot��Annot��h�or_iff_left_of_imp���-�����PInfo�j]ATTR����jdeclle_max_iff���4�_�6�7�8R���}������4�_�6�7�8
�k���R�������

�k���R��3�4�H
�;�G�C_x��N�QR�N����N�O�Y�r�N���\�^��)�\�^�d�\�o�^���W�O�����V�Z�����^�������[�n���[�O�|�������Q�c�f�gR�����^�j�����n�V�Z���l�^�������[�����Y�������^������Annot��Annot��h�G�%�H�4h'�4��Z��Annot��Annot��h����@��h'�@��PInfo��dATTR�����declmax_lt_iff���4�_�6�7�8RD�k����������4�_�6�7�8����Rnotge�aFH�=������)��������D����_a	)RC������	�	R�8���������lt_iff_not_ge���������^��)���^�d��R�����5�^�����5�d�������`�����>�5�<����?�B�Da	��	e_1�s�~	�����H�d���>����v�xgeequations_eqn_1�������n���Z�����I�Dnot_or_distrib�?�Ba	��	e_1�sb	��	e_2�s�v���������@�1���@�1not_le���C�4���C�4�����58�5���7�^���5���PInfo��kATTR�����decllt_min_iff���4�_�6�7�8R���^��������4�_�6�7�8����R�����^����)�������0�^_a	)R��5�������8�����������#�^�����^��)���^�d��R���0�1���^�������d�������=�@����������?���S�����d���=�^����v�^�^���m�^��j�������q���?���������������@�1������8�������^�������PInfo��nATTR�����decllt_max_iff���4�_�6�7�8R���}�������4�_�6�7�8���?R�����}�>��)�?�I���0�}_a	)R��������S8�?�G���N�G���}���I�^��)�I�^�d�IR����1�k�^���G�k�d�G����@�k�r�������?�t�S�F�x�d�F�=�}�����v��}���m�}���A���y�tnot_and_distrib���?has_leledecidable��	��	e_1�s��	��	e_2�s�v����������!�@�1���>�k8�k���m�^���k���PInfo��qATTR�����declmin_lt_iff���4�_�6�7�8R���s�������4�_�6�7�8����R�����s����)��������s_a	)R�	�7������8�����������#�s�����^��)���^�d��R��1�4�	�^�����	�d����@�C�	�	
�����?�B�	�S���	�d���>�s�y�^�s���t�y�3���	�	���?�B�����@�1���C�4�����	8�	���	�^���	���PInfo��tATTR�����declmax_lt_max���4�_�6�7�8�Fh₁�h₂����[\��������4�_�6�7�8�F������	Qmax_ltZ����[\�j���^��)�	g�^�d�	S����^�	f�^�	o��	m�	m�	r���	n�	x��Z���	u�^���	u�^���	u�	w�	q8�	q���	r�^true_or�	q�����	e���^��)�	��^�d�	S����	��^�^�	���	��	��	����	��	��	���	��	�8�	��	��^���	��^���	����	��^or_true�	����PInfo��wdeclmin_lt_min���4�_�6�7�8�Fh₁�h₂�	Q�	S������4�_�6�7�8�F������	Qlt_minZ�����	e���^��)�	��^�d�	��	p�	��^�	��	v�	��	����	��	���Z�	��	��	��	����	��^�	��	������	��^��)�
�^�d�	���	q�^�^�
��	w�	��
���
�
�	����	w�	q�	��	��^�	����
�^�	��	q���PInfo��zdeclmin_right_comm���4�_abc�\�q�s�q����4�_������right_comm�qmin_commmin_assoc�PInfo��}declmaxleft_comm���4�_abc�\���}�|�b��4�_������left_comm��max_commmax_assoc�PInfo�Ànspace��declmaxright_comm���4�_abc�\�������b��4�_�������
J���
j�
n�PInfo�˃declmonotonemap_max�����4�^_inst_2decidable_linear_orderf�6�7hf�;�����������;�=�>���max���4�
����
����6�7���
��;�y�{]^�g�
�_x��
��
��Z��s�
�Z���WZ�
��r�
����
��^��)�
��^�d�
��
����^aZ��se_1���~�f�~�5e_2����z��	����
��{���~��	�
��
���s��e_1����5�fZ�
��rs���xs�zsz{�=s�^������
���Z����������Z�
�Z�
�Z�
�Z���^���7�����
��^eq_self_iff_trueZ������
��
��
��
��
����^�����s����^���[���
���Z�����5���^���m�����Q�^�G����PInfo�Іdeclmonotonemap_min�����4�
����
����6�7hf�
����min���4�
����
����6�7���
��
�_x�
��
��os��Z���
��r�
������^��)���^�d���Q�^���������s�!����Z���@�}�����
��������
��^�������s�a����Z���v�I���PInfo�݉declmin_choice���4�_ab�r������4�_����dite������G�mkdecidable_linear_orderle��lt��le_refl��le_trans��lt_iff_le_not_le��le_antisymm�nle_total����h�"����\�s�*�^��)�.�^�d�.�	p�\�^���+�^�d�+�5�^����e_1r�~Z�~se_2r����f	�������f�~�f	���s�u�site�^decidable_of_decidable_of_iff�=�^�����`�aFH�����	�
����a�b�f�j��minequations_eqn_1if_simp_congr�f�^�j������if_true�������=�^���-�6�������7�^�	��6�������"�0�3�4��\�^�^�:���]�a�bfalse�g���jiff_false_intro�������������j������if_false�����-�^�d�-���^�������
�^�������^�	������PInfo��declmax_choice���4�_ab������
!��4�_�����(�
%h�"����\���
+�^��)�
/�^�d�
/���^���
,���\���`�����
<���
>maxequations_eqn_1�������������
.�^�d�
.�
�^�
W���
�
�������
1�
4�
5�7�^�
8�^�d�
,�=�^�
:�
<���
C�
v�
I���������������
.�6�
��������PInfo���declle_of_max_le_left���4�_abch������4�_�������*����PInfo��declle_of_max_le_right���4�_abch���-��4�_��	�
����)�le_max_right�PInfo��declmin_add�α_inst_1decidable_linear_ordered_comm_groupabc�\�add_semigroupto_has_addadd_monoidto_add_semigroupadd_groupto_add_monoidadd_comm_groupto_add_groupdecidable_linear_ordered_comm_groupto_add_comm_group�pdecidable_linear_ordered_cancel_comm_monoidto_decidable_linear_orderdecidable_linear_ordered_comm_groupdecidable_linear_ordered_cancel_comm_monoid�
��
��
����
�������`�aFordered_comm_monoidto_partial_orderordered_cancel_comm_monoidto_ordered_comm_monoid�to_ordered_cancel_comm_monoid�
����
��
�hle�
�k�����>�
��
��
��
�has_subsubadd_group_has_sub�
��
��
���@�
��
��
��
��
��
��o�
��
��5�/�/�^��)�A�^�d�A�@�^�G�@�<�<�I�~�~Ze_1u�~��~�fe_2r�5����	r���V�����~��	�V�9�<chas_add�~Z�~se_2�E�~�f�~�5e_3�V�z�����
����v�{���~�����v�.�7���4���������
��
��
��3�^���������@�<���<�?�����$�%�&add_comm_monoidto_add_monoid�"to_add_comm_monoid�����^ifftrans�����^add_le_add_iff_right���������@�$�%add_right_cancel_semigroupto_add_semigroupordered_cancel_comm_monoidto_add_right_cancel_semigroup�����Iadd_right_inj�����I�^����Annot��Annot��sub_le_subdecidable_linear_ordered_comm_groupto_ordered_comm_grouple_refl��'���
�k��"�
�C�F�G�@�^�G�@�?�?��l�?�����4�����^�������������+�$��d�*����������ordered_comm_groupto_ordered_cancel_comm_monoid���$�%�&�'�(ordered_comm_groupto_add_comm_group�1�;has_negnegadd_groupto_has_neg�+��-���>�H�I�K�|���~Z�~se_2�E�~�f�~�5e_3�q����	�x���W�����
��W���&�Nsub_eq_add_neg�+�)�I�r���7�@�C�E�<�I�Kadd_neg_le_iff_le_add'�1�I�m���Jadd_add_neg_cancel'_right�*�����@�?��<�?���������^������^���������@�����������^����Annot��Annot����le_of_lt�lt_of_not_ge�=�
��
��PInfo�
�declmin_sub�α_inst_1�
�abc�\���
��
��
������P�Q�
��R�S�T�����^��)���^�d���\�
��
��B�D�
��
��
��^�\����`���
��
��p�
��
�min_add�
���_inst_1�^a�We_2rZbs�Y�e_3���r�5�5�o�5�2�}�5�Y�5���2�
�������������^������PInfo�O�declfn_min_add_fn_max����_inst_1�
�_inst_2add_comm_semigroupfnm���add_comm_semigroupto_add_semigroup�0���n����\�
��]�d�_�`�a�;�������<�>��_x�������f�h�j���
����X��h�������^��)���^�d��������^����Ze_1�%�~��~�fe_2��5�
���	�
��
��
����^�
������-�.aZ�hse_2�
��~�f�~�5e_3�
��z�����f�����{v����������Z�se_1�E��f��������
��^���
����
����
��s��������������^�F����h�����������u���������������
��^���
����
�����1add_comm���������PInfo�[�declmin_add_max��_inst_1�__inst_2add_comm_semigroupnm�\�
��
��c�^�}�]��p�_�q�X�s�tfn_min_add_fn_maxid�PInfo�o�declfn_min_mul_fn_max����_inst_1�
�_inst_2comm_semigroupfnm�ehas_mulmulsemigroupto_has_mulcomm_semigroupto_semigroup�r�x����|���x�
��y�y�{�|�}��_x����z�|�~���
�����h�������^��)���^�d��������^������chas_mul�~Z�~se_2�
��~�f�~�5e_3�
����z��������������
��������������^�����h�����������!���������3�
��<mul_comm�����������PInfo�w�declmin_mul_max��_inst_1�__inst_2comm_semigroupnm�\������^�}�����_��������fn_min_mul_fn_max�o�PInfo���ATTR���abs_zeroATTR���abs_negdeclabs_add��_inst_1�
�ab�������
��
��
��
�abs�
��
��
��
��
��
��6�*�*����
�����abs_add_le_abs_add_abs�PInfo���declabs_le�����
�abR�'�;���'�B�D�2�'����
�����n�N�Zh�N�����neg_le_of_neg_le�����
��	�
�
��9�j�(neg_le_abs_self�o�yle_abs_self_x�Z_a���d��*dcases_on��B�D�������������(left��right����y�{]ordered_comm_groupto_partial_orderZ��Z�(Zabs_le_of_le_of_neg_leZ�gZ���PInfo���declabs_lt�����
�����RC�%�;�����T������
�����n����h������D�
��b��neg_lt_of_neg_lt�jlt_of_le_of_lt�
��u�y����y��_x��_a��������������������	�������������[\����abs_lt_of_lt_of_neg_ltZ��Z���PInfo���declabs_sub_le_iff�����
�����cR��x������3�������
����������?R����
�3�9�>��)�?�K���6_a	)R��(�����S��!��^8�?�I���6�Iabs_le�3���KR���`�aF�
��
��.�j�
��
��
��
��r�9�>��)�K�����z�t�����r_a	)R������S�Y�^R���Y�^8�K��������neg_le_sub_iff_le_add�j�������:����)�������z��_a	)R�������>�	�
�.���
��
��
��
���9���Y�^���Z8����������sub_le_iff_le_add'�j����R������)��������_a	)���Z�����8����������and_comm���9iffrefl���PInfo���declabs_sub_lt_iff�����
�������R���4�����3���;����
����������R�����
�3����)��'���_a	)R��T����S��[��58��%����%abs_lt�3���'R����D�x������)�'�R���L����_a	)R������S�1�5R���1�58�'�N���X�Nneg_lt_sub_iff_lt_add�j���R�Q��N��)�R�x���L��_a	)R���������1�5���28�R�N���~�Nsub_lt_iff_lt_add'�j���xR�w�w��)�x�����P_a	)���2�����8�x�w���P�w��N���w�PInfo���declsub_abs_le_abs_sub�����
�ab�'���2�;�=�*������
�����abs_sub_abs_le_abs_sub�PInfo���declabs_abs_sub_le_abs_sub�����
�ab�'�*��������
��������������'���=�;��abs_sub_le_iff�;�=��������sub_abs_le_abs_sub�������*����)�����c��_a)����x�y�4�8����abs_sub���PInfo���declabs_eq�����
�����hb�'has_zerozero�to_has_zero�3R�\�y��6�5�b����
��������'n�)�-�;�`�aFH���
�� �"�
��:�?_x��@�Car�R��H�H�G�W�6�?a_nonpos�@���P���G���O��)�P�\�c�H_a)���@����,�e�BZ�DZ�
�Z�
�Z���@�r8�P�Yabs_of_nonpos���\���G���O��)�\�����[_a	)���@�G�r���r8�\�����[��neg_eq_iff_neg_eq��������G���O��)��������_a	)���@�M�r��8����������eq_comm���linr����a_nonneg�C�X�����O���^���|abs_of_nonneg�������G��
�N��)��������_a	)���K�r����q8�������������linl����h�-�;������������d�����c�����y�{]�
�Z�
�Z�
�Z�
�Z� Z�"Z�
�Z�mt�(sZ����� �"�,��Z������M���,�����@���M�@����)�=�A��;_a)�,���p�,8�=�?abs_neg��eqsymm�M�PInfo���declabs_eq_zero�����
���Rr�(� �"�
��
��
��p�~����
���n���eq_zero_of_abs_eq_zeroe����_x�\�x�?�%�a�%abs_zero�PInfo���ATTR�����declabs_pos_iff�����
�aRCE�
��
��
��
��~�s���~����
���n����h��mt���%���;�%������abs_eq_zerone_of_gt�%�;�%abs_pos_of_ne_zero�PInfo���declabs_nonpos_iff�����
�aR�x�z���s�~������
�������R��������G�=�
����~�s����)�������������s�~_a	)R�M�%�����8������	����������not_lt���~�s����R��������)�������_a	)R�����������=�
��!�%�;��R����8����������abs_pos_iff���R������)��H��������_a	)R�����%���8������N��not_not��eqdecidable���~����PInfo���ATTR�����declabs_le_max_abs_abs�����
�������hab�hbc����?�t�4��������
������������s���x�����������1�x�^��)���^�d�������������4�x������^�^����������w���������e�4���w������8�����^����w�^��������w�������^�	����������M�x�^��)���^�d���M�x�	p���w�^����������w�����������M���w�����^�����~���^����������~��neg_le_neg�1�|����8�������^�	������PInfo���declabs_le_absu_1α��_inst_2decidable_linear_ordered_comm_group�abh₀����#�%�&�!h₁���!�#�%�'�)has_negneg�to_has_neg�����!�#�%�'�)abs�a��������	�3�
�Ple_trans�\�b�d
abs_le_of_le_of_neg_leAnnotcalc
le_abs_selfAnnot��PInfo��declmin_le_add_of_nonneg_right�����
�abhb���&�%��
��
�����
�������o�
���
���
�Annot�
le_add_of_nonneg_right�
�Annot��PInfo��declmin_le_add_of_nonneg_left�����
�abha���%������
����������
min_le_right�
�Annot�
le_add_of_nonneg_left�
�Annot��PInfo��declmax_le_add_of_nonneg�����
�abha��hb���
��?��
���������������
��� �!���"���������>���������������������������������������� �"�������)������������������le_add_iff_nonneg_right���������)������r��le_add_iff_nonneg_left��PInfo��declmax_zero_sub_eq_self�����
�a�p���{�����~�2�B�D�{�~����
��&�;���~���~a_0��D�G�������'�%�K�S�%�W���~�r�D���T�����%�Q��)�T�`��M_a)�\�����
��?�f��?�\���l8�T�%�r�'�%���`���]�O��)�`����Q_a)�\���?�l�\��8�`�O���'�O�%�������*�%�O���������.���P�Q�/�9���%��)���������%��_a	)�B�j8����������le_neg���%�������%��)������S�%_a)�z�t�?��8���%neg_zero�2�������S�O��)�������_a)�\���j�\8����zero_sub�2�O��������)������_a)�\��j��8��neg_neg�2�����G�\�����Q���b�,�y���%���,�����%��)�,�:��_a)�\���l�\��8�,�%�|�O�%�����O�%������)�N�Q�������%_a	)�:�j�?8�N�Q���W�Qneg_le���%���Q����)�Q�n��_a)�z���z8�Q�%�����:���)�:���8_a)�\���?��8�:sub_zero�2�#�PInfo�%��declabs_max_sub_max_le_abs�����
�abc��x���g�f�4����
��9�:�;������x���b���b���4��)�����|���~�~e_2�.�~s�~�e_3�����5	�x�5�����5�~�5	���
�����_inst_1�
��~�~e_2�.�}ss�����chas_sub�~�~e_2�.�~s�~�e_3���0��5���9�~�5�����������
F�
�������4�4���4���`�aFH�l�m�
��p�
��s�
��v�
��y�
��|�
���
�����h�:����R��b�������b�s�A�T��R��O�T��)�S�Y�|���~�~Z�<�P�~��~�f�=�S�U�x���`�a�`��Q�W�>�
��~�~Z�?�P�}���(��P�V�@���~�~Z�B�P�~��~�f�C�S�r����������}���~��������Gif_pos�>�C�O�O���O�T�T���T�������>G���������	���
������������K�Yh_1���������$�b����4���(����������)�����m�����>�
��~Z�~s�?�E�}�f�f�(�f�����@���~Z�~s�B�E�~�f�~�5�C�q�t��������#���������������������������'����)���0���_a)����Z�Z�m���9��6�@8���'sub_self�+���0�(����)�0�S��._a)�����@��@8�0�'��abs_nonnegu���F�������������������w���u��t�if_neg���������)���u�G����trans_rel_left�u�%����trans_rel_right�u�&�����_�u�G�t�&
abs_of_neg�tsub_neg_of_lt�1���>�4Annot�
neg_sub�+Annot�
���'���7��)�������7�!�"�<��_a	)��9��8����������sub_le_sub_iff_left�1Annot�
���@����������)�������_a)�,���o�?��8����������Annot�
����Annot��D���:�T��R��O�T���[��s�������~�>�C�O�O���T�T�����h_1���������(���������)����)�1�5�m�/�3��.�)������#�����)���3�������3�)����
abs_of_pos�)sub_pos_of_lt�1��Annot�
�����)���8��)�c�e���7���j_a	)��>�?8�c�e���n�e��Annot�
����Annot��U�s�2���������7���:���<���B�������)������PInfo�8�declmax_sub_min_eq_abs'�����
�ab�����L���'������
��Z�[�;����_x������\���g�
��4�W�(ab�������\���
��4��)�����c��_a)�G����4���T�G����T8���r�
������\�;�4��)�������
�_a)�G�!���T�G�!�T8�����
���������3��)������4_a)�G�[�T�8����~�3���`�aF���j�3�?����)�(�*���z���<�=�|_a	)�����>�����S������8�(�*���2�*sub_nonpos�j������;��)��U���_a)����S�8��;���
����;ba�����\���
��4�����t�����
����t�\�3�4��)�t����_a)�G����T�G��T8�t���
��������3��)�����_a)�G�S�T��8���3���3sub_nonneg_of_le�j���3�PInfo�Y�declmax_sub_min_eq_abs�����
�ab��������
��i�j��������)�������_a)���x�;��8�����max_sub_min_eq_abs'�PInfo�h�declmonotone_mul_left_of_nonneg��_inst_1decidable_linear_ordered_semiringaha����������ordered_semiringto_ordered_cancel_comm_monoidlinear_ordered_semiringto_ordered_semiringdecidable_linear_ordered_semiringto_linear_ordered_semiring�umul_zero_classto_has_zerosemiringto_mul_zero_class�rto_semiring��monotone�����������x���xto_has_mul����������n���p�q�bcb_le_c�����>�	�
������mul_le_mul_of_nonneg_left�����PInfo�m�%declmonotone_mul_right_of_nonneg���n���pha��x���n���p���bcb_le_c�2mul_le_mul_of_nonneg_right�8�PInfo���(declmul_max_of_nonneg���n���pbcha�`�aF�
��
�����<����G��������*�
�vto_decidable_linear_order�u�q�q��n���p�������h�}map_max�t�t�~��������8monotone_mul_left_of_nonneg�PInfo���+declmul_min_of_nonneg���n���pbcha�h�G�q�4�t���z�|��n���p�������h�}map_min�t�t�����PInfo���.declmax_mul_of_nonneg���n��cabhc�h�G�p�w�u�p�p��n�����������h������monotone_mul_right_of_nonneg�PInfo���1declmin_mul_of_nonneg���n����abhc�h�G�p����������n�����������h�������PInfo���4declabs_one��_inst_1decidable_linear_ordered_comm_ringr�(decidable_linear_ordered_comm_ringto_decidable_linear_ordered_comm_group�zero_ne_one_classto_has_oneordered_ringto_zero_ne_one_classlinear_ordered_ringto_ordered_ringlinear_ordered_comm_ringto_linear_ordered_ring��to_linear_ordered_comm_ring� ������S��� zero_lt_onelinear_ordered_ringto_linear_ordered_semiring� �PInfo���<ATTR�����declmax_mul_mul_le_max_mul_max������adbcha�����>�	�
�&ordered_ringto_ordered_semiring� � 	� ��no_zero_divisorsto_has_zerointegral_domainto_no_zero_divisorslinear_ordered_comm_ringto_integral_domain� )hd������������� $� � 	� �$� 3� 5� 7� D�y�{]�	�
��Z� $Z� Z� 	Z� Z���rZdecidable_linear_ordered_comm_ringto_decidable_linear_ordered_semiringZ��Z��to_has_mulZ� 5Z� 7Z� \� t� t� k� k���������������� >��� V
ba� e� t� t� �� k

cd��z�
�s�
�s��s� $s� s� 	s� sZ��s� ms� 5s� 7s� �� ��
��rs� gsZ� �
max_le��r�� g�s���� m�� 5�� 7�� �sZ� �� ����� �Z� ����y�z��
���
������ $�� �� 	�� �� �Z� �� �� �Z� �� �� ��|����~�f�~�5e_2�q�~���~��e_3r��	�x� �� ���� ��~� �	� �� �� �� �mul_comm�comm_ringto_comm_semigroup���to_comm_ring�� �Z� �� ��_�� �� �� �� �������! � �� �������h�f�h�5e_2�q�~���~��e_3� ��r� �� ���� ��!8�}� ��~� ��!8� �� �� ����� �� �� ��
h�� �Z�!!� �� ���� �� �� �� �� �� �� ��!�!f� ��!!�!j� ��!P� �� ��!S� ��!i� ��!YAnnot��Annot��mul_le_muls� �� �� ��
�s� ��!���s� �� s��s��s��s� �� ���s� �Annot��Annot���!�Z� _� �� ��
�Z� j�!���� c���Z��Z��Z� _� ���Z� j�PInfo���>EndFile