CoCalc Logo Icon
StoreFeaturesDocsShareSupportNewsAboutSign UpSign In

Real-time collaboration for Jupyter Notebooks, Linux Terminals, LaTeX, VS Code, R IDE, and more,
all in one place.

| Download

Try doing some basic maths questions in the Lean Theorem Prover. Functions, real numbers, equivalence relations and groups. Click on README.md and then on "Open in CoCalc with one click".

Project: Xena
Views: 18536
License: APACHE
oleanfile3.4.2, commit cbd2b6686ddb�	���initalgebraorder_functionsdatasetintervalsbasic��0export_decloptionnonenonesomesomeexport_declboolffffttttexport_declhas_andthenandthenandthenexport_declhas_powpowpowexport_declhas_appendappendappendexport_decldecidableis_trueis_trueis_falseis_falseto_boolto_boolexport_declhas_purepurepureexport_declhas_bindbindbindexport_declhas_monad_lift_tmonad_lift!monad_liftexport_declmonad_functor_tmonad_map$monad_mapexport_declmonad_runrun'runexport_decllistmmap*mmapmmap'*mmap'mfilter*mfiltermfoldl*mfoldlexport_declnativenat_map3rb_mapmkexport_declname_mapnativerb_mapmkexport_declexpr_mapnativerb_mapmkexport_decltacticinteraction_monadfailedfailexport_decltactic_resultinteraction_monadresultexport_decltacticFtransparencyreducibleGreduciblesemireducibleGsemireducibleexport_decltacticmk_simp_attrLmk_simp_attrexport_declmonad_exceptthrowOthrowcatchOcatchexport_declmonad_except_adapteradapt_exceptTadapt_exceptexport_declmonad_state_adapteradapt_stateWadapt_stateexport_declmonad_readerreadZreadexport_declmonad_reader_adapteradapt_reader]adapt_readerexport_declis_lawful_functormap_const_eq`map_const_eqid_map`id_mapcomp_map`comp_mapexport_declis_lawful_applicativeseq_left_eqgseq_left_eqseq_right_eqgseq_right_eqpure_seq_eq_mapgpure_seq_eq_mapmap_puregmap_pureseq_puregseq_pureseq_assocgseq_assocexport_declis_lawful_monadbind_pure_comp_eq_maptbind_pure_comp_eq_mapbind_map_eq_seqtbind_map_eq_seqpure_bindtpure_bindbind_assoctbind_assocexport_decltraversabletraverse}traversedeclupper_boundsuα�_inst_1preordersset���set_ofxaahas_memmemsethas_memhas_lelepreorderto_has_le�PInfo�VMR�VMC�a���doc�The set of upper bounds of a set.decl�equations_eqn_1����eq��%���eqrefl.�PInfo�ATTR_refl_lemma���EqnL�SEqnL�decllower_bounds���s
xa��PInfo�VMR�VMC�����doc�The set of lower bounds of a set.decl�equations_eqn_1����*��?���5F�PInfo�ATTR����EqnL�SEqnL�declis_least���sa����and[C�PInfo�VMR�VMC�����doc�`a` is a least element of a set `s`; for a partial order, it is unique if exists.decl�equations_eqn_1������P��b�����Pm�PInfo�ATTR����EqnL�SEqnL�declis_greatest�T��sa][+�PInfo�VMR�VMC�����doc�`a` is a greatest element of a set `s`; for a partial order, it is unique if existsdecl�equations_eqn_1�����h������u��PInfo�ATTR����EqnL�SEqnL�declis_lub�T��si.�PInfo�VMR�VMC�����doc�`a` is a least upper bound of a set `s`; for a partial order, it is unique if exists.decl�equations_eqn_1����)Q������4Q��PInfo�ATTR����EqnL�SEqnL�declis_glb�T��s�F�PInfo�VMR�VMC�����doc�`a` is a greatest lower bound of a set `s`; for a partial order, it is unique if exists.decl�equations_eqn_1��������������PInfo�ATTR����EqnL�SEqnL�declupper_bounds_mono��a₁a₂s�h₁h₂+��+�����������a�h��le_trans���PInfo�decllower_bounds_mono�������h₁�h₂�C�C�����������a�h������PInfo�"declmem_upper_bounds_image�v�β�a���_inst_2preorderf�Hfmonotone�Ha�+��������upper_bounds�setimage���������������#��(�ball_image_of_ball���������x�H	�V�V����PInfo�%declmem_lower_bounds_image�������������Hf�#Ha�$C��2lower_bounds��:�������������#��p�J���P�Rx�H�]���PInfo�)declis_lub_singleton���a�singleton�has_emptyc�has_insert���eqmpr��idh����eqtrans�P��U��true����U
����E��������������-����congr_fun�����������W�e_2)�����e_3��congr�VPi�V���congr_argu�X��VP���������
���������!�����pQ��Pe_1)�P���P����funextxPxx�������������a�����P�?x�����9�Gforall_congr_eq�������imp_congr_ctx_eq��C�]�Epropext��]�mem_singleton_iff_h�]chas_lea���e_2����V�
e_3����P�z��~��z��zP�~��j�a�]��P�Gforall_eq�F�����aP�Pe_1hbP�Pe_2���PPUU�P�PPU�����mem_set_of_eq������J����������a���D;������
�����chas_mema�e_2�L����e_3)���XP�Y��
���V��XP�
�����������
����D;������&�0���,�����-�!�^�9�����^�>��X��.�����c�-�C���R����E_h��u;�����W�����E�����J�j��������c��������u��_h���j�E��iff_true_intro�E�j�p��forall_true_iff���ja�����
�j����and_true��le_refl�PInfo�-declis_glb_singleton���a��������������h��������������U��
�����-��������������E�����������������W�e_2������e_3������V��������������
����;���6���&�����,�����5�>���Q��J������N�=���X������]:��d�R�]���q_h�]�����j���]������������������������������J�������;����e!���;��
��@�B�'���F���
����+�!�F����&�T�E�,�����-�!��9�;�����N�;��X��R��?��c�Q�f�>�f�W��N_h�>u!���A�i�������m��J����������c��������u��_h���j�����{���j���������������PInfo�0declis_glb_Ici�����setIci�����andintro��D����,��xhx[��yhy[^���left_mem_Ici�PInfo�3declis_glb_Icc�������h������Icc������� ����C����+��xhx�-���left�6�7��yhy�-���iffmpr������left_mem_Icc��PInfo�6declis_glb_Ico�������hhas_ltlt�to_has_lt���Ico�������+�/�������4�����<xhx�-�0��(��*�yhy�-�
�E�
���0��J�left_mem_Ico��PInfo�*9declis_lub_Iic��������Iic������������q�����wxhx[�nyhy[{����right_mem_Iic�PInfo�5<declis_lub_Icc�������h������������=��������������xhx���right��yhy�-��������right_mem_Icc��PInfo�<?declis_lub_Ioc�������h�/���Ioc�������E�/��������������xhx�-�����Z�yhy�-������������[�right_mem_Ioc��PInfo�DBdecleq_of_is_least_of_is_least�����_inst_1partial_orderHaipartial_orderto_preorderHbi����������M���O���R�le_antisymm������������������!�����PInfo�LJdeclis_least_iff_eq_of_is_least������M��Ha���'��L�����M���U��iffintro��9eq_of_is_least_of_is_leasth�9eqsubst�_x�i�����PInfo�TMdecleq_of_is_greatest_of_is_greatest������M��Ha���Hb��������M���^�e�_�i��&����*��r��w� �s�PInfo�]Pdeclis_greatest_iff_eq_of_is_greatest������M��Ha�e�6�i�9�����M���a�e�A�i�9eq_of_is_greatest_of_is_greatesth�9�M_x����P�PInfo�`Sdecleq_of_is_lub_of_is_lub������M����������������M���D�����PInfo�eVdeclis_lub_iff_eq_of_is_lub������M������6���9�����M��is_least_iff_eq_of_is_least���PInfo�fYdeclis_lub_le_iff������M��h���6���������M���i���A����hl��upper_bounds_mono�����w���rhr�����w���PInfo�h\declle_is_glb_iff������M��h�����6�����������M���n��A�
�hl�
lower_bounds_mono�������q�hr�����$�PInfo�m_decleq_of_is_glb_of_is_glb������M�������������M���������PInfo�rbdeclis_glb_iff_eq_of_is_glb������M�����6�:�9�����M��is_greatest_iff_eq_of_is_greatest�F�PInfo�sedeclnonempty_of_is_lub�����M��_inst_2no_bot_order��hs����setnonempty����M�a�v�f�x�j_aExistsa'�G�H�Existsdcases_on��}��(��*��O��{�t����k�w�h��id_rhs�k��iffmpne��has_emptycemptyc�������ne_empty_iff_nonempty��h����
this�V�V���V��
lt_irrefl�u���u��Vlt_of_le_of_lt�u���V�VAnnotcheckpointAnnothave���[�+�V�����C�V�������[������h�����J�����V��V����V�����V�X��u��ve_2���z�
�e_3)�
P��������������P���Z���V������X������V��u��v�v�v������v�}�z���z�V��������X���V�$��V��u��e_2)�z������+������)��V���)������uPe_1)��vP�����/�z�#���)�V��VP��V��u��v��z�/�z���/���z���������u����V�J�q��u��v�����W�u��u�!��u����u�J�!�false� ��imp_congr_eq��v�v���v������mem_empty_eq�vu���jh'�������k��forall_prop_of_false������� �not����not_false_ifftrueintro�j��u�������u���V��trivialno_bot��PInfo�uhdeclnonempty_of_is_glb�����M�a_inst_2no_top_order�ehs���g�m����M�a��������_a�ua'�x�~�������������������������h��
�����
��lt_of_lt_of_le�u���V�VAnnot��Annot��������������	�����	����h�	
���J�	
������	����	����V��u������	���)�	��-��.��e_2�2�6C������)�4�V���)�W�	���\��V��u��v��e�k����V�J�	:�x���{��u�	�~��u�J�	����	���������	I��u�	I�j���������	5���������	��������no_top���PInfo��ndeclis_glb_empty��_inst_1latticeorder_top�����to_partial_order������has_toptop��to_has_top����	����	�����h�	������P�	��	�U�������	�U�	�����	�+�	��	��	��	���	��	��	��	��	��	�C�	��	��	��	����	��	��	����	��	��	������We_2)���e_3������P����	������P�	��	��	��	���	��	����[��W�������	��	��4�	��	���P�Qe_1)�����+�	��	��)�P���������	��	���J�
#�����i��	��m��J�	�����	������	������d�	����
8��u�
8�j���������
���������	������	��	����	��-�	��	��	����	������	�����	����J�	���m���
l���
6�	��
n�
l�	��	���
s�
u����e_2�[����e_3)��
�P����
������P�
��	��	��	��
Y�	��
y�	��	��	����[����	��
y��	��	��
�
��
x�
�����+����
����	���i��
���
r��J�
�����
������
������
��
r���
r����u�
r�j���������
�
�forall_prop_of_true���
����
f�
t�W��������	��	��	��
g��j���α_inst_1�	�a�{���le_top�j��������j�	���and_self�����PInfo��xdeclis_lub_empty��_inst_1��order_bot��	���to_partial_order�	���has_botbot��to_has_bot����/���=����h�=�����	��<�=�	����GU�	��<�	��J�	��4�	��	��Gi�4�	��<�P�G�T�	��4�	��<�V�	��6�[���4�	��<�����We_2�	����e_3�	��	�i���h�	��h�4�Z�	��	��Z�	�����	������1�	��
��4�	��
���	��
�����
��1�	���J�������i����m��J����������
1�����d�1�����
=u���j�������������������������<�<�
X�<���4�	��<���K���
e�<�
g�O���J�O�
n���������<�
n���J�	�������
��<�<���N���	��N�	�����
������
�4�	��
�����
�����
����������i��������J����������������
��������
�u���j�����������
���������
�������
��1�7�9�
g��j�>����_inst_1�/a�{�>��bot_le��'���PInfo��{declis_lub_union_sup�����tW_inst_1latticesemilattice_suphs�����to_partial_orderht����a����O�a�has_unionunion��has_union���has_supsup���to_has_sup��������W���`���g���n������%�r�z���m�r��c�h�
���t��v�orcases_on�[����������a�V�|�V�~�V��h����le_sup_left_of_le�u�V����u�.�u�V+�u���a�u���C�u����h����le_sup_right_of_le�u�V���������������c�hc��+�����a�����sup_le�V�������������������d�Vhd����orinl���
����[����
���
d�Vhd�
��orinr�
�
�PInfo��~declis_glb_union_inf�������W_inst_1��semilattice_infhs�7���to_partial_orderht����
.����O�
.��z��has_infinf���to_has_inf��������W���
-���
4���
;����
I�m�
?�z�
S�%�
?�
Uc�h�����������
.�V�
B�V�
D�V��h����inf_le_left_of_le�u�V����������
.�u������
s�
uh����inf_le_right_of_le�u�V������
t����
x�
�c�hc��C����
.�����le_inf�V���������
^������
^�
��
���
�
��
�
��
��
�PInfo��declis_lub_insert_sup�����_inst_1�_h�����a����binsert��2�|�~�������
����
����
��
��t��v�4�
���h�
��
�eqrec��
�_a�h�h��i�
�������|��~��
��u�
��
��insert_eqis_lub_union_sup�4is_lub_singleton�
��PInfo���declis_lub_iff_sup_eq�����_inst_1�
��6�
�has_insertinsert��
�[�|�~������
�is_lub_iff_eq_of_is_lub�5�,�
�is_lub_insert_sup�
��
��PInfo��declis_glb_insert_inf�����_inst_1�
,h�����
.�7��
/�
��
B�
D������T��Z���e�]�
��d��h�e�n�
�_a�h�
5��
6�
��
B��
D��u�|u�e�
��is_glb_union_inf�4is_glb_singleton�\�PInfo�
�declis_glb_iff_inf_eq�����_inst_1�T�6�X�,�[�
B�
D������Tis_glb_iff_eq_of_is_glb���,�Vis_glb_insert_inf�
���W�PInfo��decllt_is_lub_iff�����_inst_1linear_orderh����linear_orderto_partial_order�6�(�*����uaExists�H������O��������������������u�U���G�H������h����aP�Pe_1��bP�Pe_2�����6�6���6����u������p��!��Pe_1)��P��	�P�t������)�P���h���������j�+��exists_prop����eqmp�6��������������u�.��A���j�A��not_le�F�I�J�F�ux��x���#�[���)�h�����������V��I�Y�����������maP�+Pe_1����P���E�w�J�E���!����������������������e_2����X��.e_3)��
�/P�^�������/P������D����������j���)�*�[�h�mnot_ball�)���)�*���uclassicaldec�u�(���#�����uxh�����u�$���.�)���.�(�J���+���!���P�!��Pe_1g���P����[�PP�������*������P�����������#���j�����P��5not_congr�@�Eis_lub_le_iff���PInfo��declis_glb_lt_iff��������h�����6���ua��H������������8�1���;�4�u�9������h�;�H��3�3u�3�:�G�$�9�F�)����#���6��E�9�j�V�E�3�D�<�6���>��������4�u�Y��g�3�j�g�3�R�l�o�J�l�u�(�\�#�[���)��*�]�b��o�|�������s�����k���J�k���!�������������j���4�������j���)�*�[�������)�*�������u�(���#�������2�3�������$���Y�)���Y�(�J���V�E�����U����������6�#���j���6�
�^��f�kle_is_glb_iff���PInfo�7�declis_glb_Ioi������_inst_2densely_ordered�
�����d���Ioi��������=����Z^�����{���xhx������le_of_lt���yhy����ordcases_on������_xor�&�+�6�7���le_or_lth�&h�+�~a�U����O����Ca_0���J�p�q�A�dense��1z�h_1�I�dcases_on�(��*��������a�PU�c�f�������^��az�czy�(�V�*�V�kabsurd�(�u�*�u�����u���u�u�~��Vnot_lt_of_le�u�~��PInfo�<�declis_lub_Iio�������=������Iio��������=������
������xhx����yhy�����decidableby_contradiction�$classicalprop_decidable��h�����~�L�U�C�G�a_1�������V�����3�G�H�1�P�z�h_1���[�a�e��cU������az��zy�w����~����~�����PInfo�V�declis_glb_Ioo��������=���d��hab�(�*���U��latticeto_semilattice_inf��lattice_of_decidable_linear_orderclassicalDLO�7��
/����Ioo�)������=��g�!�����)�/���)�9xhx���+���
6���������O�
=�������������U��Zyhy����H�Kle_of_not_lt��h����O����}��L�U�s�t���
\��V��V��V���~min�V�x�a_2������S����
�����������������\�]�����U�������h������P��_aPh���u�����j����lt_min_iff�����������z�h_1���[�z�{���
q��u��u��u��V�����u����yU������az��zy�(�v�*�v���
.�v��v��v��v����v���V���z��
.�z��z��z��z�V����z��������(�z�*�z��v��u������<����z���u�U�����_aPh�(���*���h�
.������������u�����&�v�u���j�����z���u������D�PInfo�f�declis_glb_Ioc�������=�hab�!�*���)������=��~�!����8�a��<�jxhx�����H�X�]�p�q�Uyhy���f�r�mh�s��a_3������z�h_1����az��zy��������}���u��z��u�E�K�PInfo�}�declis_lub_Ioo�������=�hab�!���)�/������=����!�����<�/���8��xhx�L�V���\�_yhy����H�K�kh�q�t�L�U�~max�V�x����a_4����������������������������h��������_aPh���u�����j����max_lt_iff���������z�h_1���[�����u���V�����U����az�zy���V����z������
���<����z���v�U�
����_aPh�,�����&�z�u���j�����z���v�������
��7�PInfo���declis_lub_Ico�������=�hab�!���B�)������=����!�����<�U���8�^xhx���T�H�����u��_yhy�����f��h����a_5������z�h_1���
az�zy���9�������v����v�<�PInfo���declbdd_above��_inst_1sP������tx~�PInfo���VMR��VMC�������doc��A set is bounded above if there exists an upper bound.decl��equations_eqn_1������h����������u���PInfo���ATTR�����EqnL��SEqnL��declbdd_below������s��xa�PInfo���VMR��VMC�������doc��A set is bounded below if there exists a lower bound.decl��equations_eqn_1������h����������u���PInfo���ATTR�����EqnL��SEqnL��declbdd_abovemk�������aH[�������������������~intro���-��PInfo���nspace��declbdd_belowmk���������aH[�����������������������-��PInfo���nspace��declbdd_above_empty����_inst_3nonempty�������������nonemptydcases_on�������	�val���t�����
������[|�	�����h����J��
�����W��e_2�����e_3)�X�
�.P�������u��.P�Y����
��W��
�����-����0�:�
���	�����e_1)�������?�
��)�P�������������p�q��
���J�d�������W��=�����J�=����<�����;�M���x��u�x�j���������^���������<���j��������
����PInfo���ATTRsimp����declbdd_below_empty����_inst_3����������������������	������������
�����[_�	�����h�����J���
����4���
��7���
�����;�9�
��4�	��S���
��X�����\�^�
���J���k���n����q��J����������w �����}u���j�������������������������
����PInfo���ATTR������declbdd_above_singleton���������������������[����W�	����������������h�#�(�J�#��
�'������$���"�.��"
����	�.���&�G�'�,�����-�3�6�7������J�Y����M�U�a�X��E���\�D����@�_�n�_�j�@�n�ou�_�j���n��S�a���`���5���PInfo���ATTR������declbdd_below_singleton�������������������[�����������(��h���(�J����
��2a���;�������
����@�B���5��&�����,�����Q�S���]��J������e�����X������n����r���n���yu���j���n����������������PInfo���ATTR������declbdd_above_subset�����������sthas_subsetsubsetW�has_subset���������������������}����������a_wa_h����t�������������)y�ys�����PInfo���declbdd_below_subset�����������st���������������������A��������C���a_wa_h�M���%������
���,�Z�4�PInfo���declbdd_above_inter_left���������������
has_interinter�has_inter����������bdd_above_subset�lW�nsetinter_subset_left�PInfo���declbdd_above_inter_right�������������j�s������������setinter_subset_right�PInfo���	declbdd_below_inter_left���������������@�r����������bdd_below_subset����PInfo���declbdd_below_inter_right�������������������������������PInfo���declbdd_above_of_bdd_above_of_monotone����������_inst_2�f�hf��� bdd_above��6��������������������������}�������&���������8�a_w�a_h�����~�����)�V�+�V�.�V�3�V��6�u�V���������)��+��.����3��6�V��y�������}�va�vU�a�ueq�v���)�u�+�u�.�u�6�v�u��V�K�v�M�v��x�va_h��[�������v��z���U�1�6�K���M���u�V�x_bnd�1rfl����V�����u�����K���M���z�v��V���PInfo���doc��The image under a monotone function of a set which is bounded above is bounded abovedeclbdd_below_of_bdd_below_of_monotone��������������f��hf����Rbdd_below�������������������������s��������W������t���a_w�a_h������������q�V�������������q��y������!�%�'x�va_h��7���9�=�?x_bnd�1rfl�G�K�����O�Q�V��X�PInfo���doc��The image under a monotone function of a set which is bounded below is bounded belowdeclbdd_below_iff_subset_Ici����s�6����a�
�������iffrfl���PInfo���declbdd_above_iff_subset_Iic����s�6����a���}���������PInfo��declbdd_below_bdd_above_iff_subset_Icc����s�6U������a��b����������������h�����J���6U����U��x����x����������������j����bdd_below_iff_subset_Ici�����j����bdd_above_iff_subset_Iic����J�����U��������nU��x�������!Q�!�e_1���P�u���*�,�����"��������n��J�����U���.�&�Q�!��!���I��P�����Y�X�����X��J�����p�U�%�Xchas_subset����e_2�
�����Xe_3)�.�
�P����z�����P�z��4���neqsymm�n���Ici_inter_Iic�j�o�X�subset_inter_iff�U�%�j����W�N�Qexists_and_distrib_left���'�j���U�2�(�6exists_and_distrib_right����j������iff_self�����PInfo��declbdd_above_top��_inst_1�	�s���
����	�����[{�
4�aha\��le_top�PInfo��%doc�When there is a global maximum, every set is bounded above.ATTR�����declbdd_below_bot��_inst_1�/s���6���/� ���[^���<aha\��bot_le�PInfo��)doc�When there is a global minimum, every set is bounded below.ATTR�����declbdd_above_union�������_inst_1�_�6���d�a�tW�vU�
�
�������%��A��
����U�����
�����
S� 

T���b
�����i�,Annot��Annot���y�
��'���H�9����h�<���j�<��αs��t�{���t�vsetsubset_union_right��Annot��Annot���y�t�v������j����h�n���j�n���(s��t�{�F�Lsetsubset_union_left��Annotshow
������jH�_a�#�[�(�)�3U���)�,�t��v�left��right�/���������������4���O�p����������left_w�left_h���}�V���V�
���������5���V���������u���t�.�v�u�V�right_w�Vright_h�������v���a�v��t��v�v�u�V
Bsb�vH�a�v�f�g�h�a���u�|���~���u

Btb�zH�/�v���������a���v�|���~���v�

���������t���v���z�vbdd_abovemk����������/���7���b��H_1�������t���v�����z�"������������C��t���v���������������a�����|���~�������C��C� Annot�1Annot��Annot���>�zH_1����������^����������h�T���j�T��α_inst_1�_ab�{�����d��|�~latticele_sup_right���v���Annot��Annot���;�vH_1���������������������h�����j�����E�F�\�G�H�{�`�glatticele_sup_left���u��Annot�1�PInfo�$�4doc�$The union of two sets is bounded above if and only if each of the sets is.ATTR�����$declbdd_above_insert�����%��6�
�
�W������%��A����z���	����������h�����j�����(xs�{�G�
���setsubset_insert��h�����
����h�?��h�����
���_ah�(�
��(u���������U��?�"��h�������_aPh�(�
��Pu����j���bdd_above_union�?����"bdd_above_singleton��PInfo�N�Ldoc�NAdding a point to a set preserves its boundedness above.ATTR�����Ndeclbdd_below_union�������_inst_1�
,�6���d�
.�U�D�D�������Y�@�A�E�J
����EU�����U�T���E
S�U

T�B��
/
���Q��
6�aAnnot��Annot�����9�\�]Annot��Annot�����j�S��Annot�1
����J�T�jH�J_a�X�[�]�^�]U���^�a���4���5�d��������
����
���4���O�
=��������left_w�left_h�������V�
�����
q���5���V���
\�����u����right_w�Vright_h�������v�������
Bsb�vH���f�g�h�"�u�
B���
D���u

Btb�zH���������
.���v�
B���
D���v�

���������bdd_belowmk����������/���	!���b��H_1��!�k�'�(�)�*�
.�����
B���
D�������=�AAnnot�1Annot��Annot���f�zH_1���L������������h�����j����α_inst_1�
,ab�{�����d�A�
B�
Dlatticeinf_le_right���v����QAnnot��Annot���c�vH_1����������������h�3���j�3���m�n��o�p�{�latticeinf_le_left���u����Annot�1�PInfo�X�]doc�XThe union of two sets is bounded below if and only if each of the sets is.ATTR�����Xdeclbdd_below_insert�����Y�@�6�D���I����Y�@�A�h�I
����h�W�����C��Annot�1
����I�T�����{��I�T����h�{��
�W��_aWh��W�]���W�]u�{�
���������h����J���I�����c�I�D���I��u�I_h�I�J�~�	�����U�T�?�W�	��j�~��bdd_below_union�?�������j�����������{��bdd_below_singleton�S�W���j�W���{�W�'�j�������I��Annot�1�PInfo�v�udoc�vAdding a point to a set preserves its boundedness below.ATTR�����vEndFile