CoCalc Logo Icon
StoreFeaturesDocsShareSupportNewsAboutSign UpSign In

Real-time collaboration for Jupyter Notebooks, Linux Terminals, LaTeX, VS Code, R IDE, and more,
all in one place.

| Download

Try doing some basic maths questions in the Lean Theorem Prover. Functions, real numbers, equivalence relations and groups. Click on README.md and then on "Open in CoCalc with one click".

Project: Xena
Views: 18536
License: APACHE
oleanfile3.4.2, commit cbd2b6686ddb�|�]�initordercomplete_latticeorderboundsorderorder_iso�Rexport_decloptionnonenonesomesomeexport_declboolffffttttexport_declhas_andthenandthenandthenexport_declhas_powpowpowexport_declhas_appendappendappendexport_decldecidableis_trueis_trueis_falseis_falseto_boolto_boolexport_declhas_purepurepureexport_declhas_bindbindbindexport_declhas_monad_lift_tmonad_lift!monad_liftexport_declmonad_functor_tmonad_map$monad_mapexport_declmonad_runrun'runexport_decllistmmap*mmapmmap'*mmap'mfilter*mfiltermfoldl*mfoldlexport_declnativenat_map3rb_mapmkexport_declname_mapnativerb_mapmkexport_declexpr_mapnativerb_mapmkexport_decltacticinteraction_monadfailedfailexport_decltactic_resultinteraction_monadresultexport_decltacticFtransparencyreducibleGreduciblesemireducibleGsemireducibleexport_decltacticmk_simp_attrLmk_simp_attrexport_declmonad_exceptthrowOthrowcatchOcatchexport_declmonad_except_adapteradapt_exceptTadapt_exceptexport_declmonad_state_adapteradapt_stateWadapt_stateexport_declmonad_readerreadZreadexport_declmonad_reader_adapteradapt_reader]adapt_readerexport_declis_lawful_functormap_const_eq`map_const_eqid_map`id_mapcomp_map`comp_mapexport_declis_lawful_applicativeseq_left_eqgseq_left_eqseq_right_eqgseq_right_eqpure_seq_eq_mapgpure_seq_eq_mapmap_puregmap_pureseq_puregseq_pureseq_assocgseq_assocexport_declis_lawful_monadbind_pure_comp_eq_maptbind_pure_comp_eq_mapbind_map_eq_seqtbind_map_eq_seqpure_bindtpure_bindbind_assoctbind_assocexport_decltraversabletraverse}traversedeclgalois_connectionuvα�β�_inst_1preorder_inst_2preorderlau�������
a	b	iffhas_lelepreorderto_has_le��!	�PInfo�VMR�VMC�������doc�A Galois connection is a pair of functions `l` and `u` satisfying
 `l a ≤ b ↔ a ≤ u b`. They are closely connected to adjoint functors
 in category theory.decl�equations_eqn_1��������
eq���	(-������
eqrefl<�PInfo�ATTR_refl_lemma���EqnL�SEqnL�declorder_isoto_galois_connection����_inst_1_inst_2oiorder_iso( #((6(coe_fnN #(coe_fn_transkorder_embeddingejcoe_base_auxksorder_isohas_coeejorder_embeddinghas_coe_to_funej�order_isoje���je����je�je�symmej�����Zbgeqmpr		_N	 #�m�o	��u��x	��	��(���	�����	������	���	���	��(����id5��eqrec�_a5_N!&m�o!&u��x!&!&(&(��!&��-�!&��-�3�!&�!&�!&�(F��propext��order_isoord'	��(������5��d�	�_a	5�(�&�$�I�(�&F�order_isoapply_symm_apply	��(iffrefl��PInfo�doc�Makes a Galois connection from an order-preserving bijection.nspacegalois_connectiondecl�monotone_intro����_inst_1_inst_2lu
humonotone	(hlmonotone	(hula! #��hlua!����	��6	��!	������
������������a��b���intro
����! #����h��le_trans��(!��(��(��h��le_trans����������	(���PInfo�decl�l_le��������
gc<ab�������������
�<���mpr!!	��(�PInfo�#decl�le_u��������
�<ab�� ��#��!(�������
�<���mp�����PInfo�&decl�le_u_l��������
�<a&(��������
�<�galois_connectionle_u!	(��le_refl���PInfo�)decl�l_u_le��������
�<a	)������
�<�	�l_le!	()le_refl!	)�PInfo�,decl�monotone_u��������
�<��	������
�<a	bH�
�G����!	������	��(�l_u_le����!	(�PInfo�/decl�monotone_l��������
�<��������
�<ab!H���i����!	(	����!(���le_u_l����!	�PInfo�2decl�upper_bounds_l_image_subset��������
�<ssethas_subsetsubsetsetsethas_subsetupper_boundssetimage!�preimage!(upper_bounds!	������
�<���bhbhas_memmem!��!�has_mem!��!	����!c��thishas_memmem����������G��������!	(���mem_image_of_mem����!�PInfo�5decl�lower_bounds_u_image_subset��������
�<s��	���!�!lower_bounds!	�!(�!lower_bounds������
�<��>a!ha�����������E���H!��c�����������
���i��������!	(������PInfo�8decl�is_lub_l_image��������
�<s��a!his_lub��is_lub��������	(��������
�<�	���
!���andintro��������
�������������S����mem_upper_bounds_image����(!	�monotone_l����!	andelim_left��������������!(���E��!��b��hb�t����!�������~andelim_right�������������������E������(��upper_bounds_l_image_subset��������!	�PInfo�;decl�is_glb_u_image��������
�<s�>bhis_glb!	is_glb��!�H����(�������
�<��>�����������$�1���2mem_lower_bounds_image����(!�monotone_u����!	������(�I���Ja��ha��E�����H����	�'����������
���S�����`�������c(���lower_bounds_u_image_subset��������!	�PInfo�?decl�is_glb_l��������
�<a�set_ofb����������
�<�%������
���U��������b�i��!	(bh�
�S!	��!�'!�#������(�PInfo�$Cdecl�is_lub_u��������
�<b	��!	�&!a!�
��)������
�<�,	���!�@�!)�������G��b!�G��!	(b!h�f���������-����	(�����PInfo�+Fdecl�u_l_u_eq_u����_inst_1partial_order_inst_2partial_orderlu
gc8partial_orderto_preorder	�:(eqa	!functioncomp		�>		(���2��4��6�7
�8�funext	x	!�x	le_antisymm!	�!(�!()�@!�!	�
(�9��!�A�D(��!�A�D()�PInfo�1Odecl�l_u_l_eq_l�����2��4��6�7
�8��;�<�>	(�>	((���2��4��6�7
�8�funext�@�v(xle_antisymm�k!!�p!!(���R����!�A�D(���\�PInfo�CRdecl�u_top����_inst_1latticeorder_top_inst_2�Jlu
gc8��Jto_partial_order	��O(�;�Ihas_toptop	�Jto_has_top	�Q�R���H���K���L�M
�N��eq_of_is_glb_of_is_glb�����H	has_emptycemptyc�>�has_emptyc	��galois_connectionis_glb_u_image	����
	��	(����is_glb_empty	��������true�5���eqtrans'����has_emptycemptyc��sethas_emptyc���_inst_1s�@�b�be_2�u��a���e��e_3����congr'
��	�(congr_arg..����e�	������
�image_empty	��������T��α_inst_1��iff_true_intro�����	�������is_glb_emptytrivial�PInfo�G[decl�l_bot����_inst_1�Iorder_bot_inst_2�qlu
gc8��qto_partial_order	��v(�;	(�Ihas_botbot�qto_has_bot�x	�y	���p�s�r�u�s�t
�u��eq_of_is_lub_of_is_lub	������	(�
�{	galois_connectionis_lub_l_image	���v����(�
��is_lub_empty���	��������5��������������a	s���~�e_2�-���e���e��e_3�����g'������	��(�h00�����e��	���������i	(�����	���T����j_inst_1�t�J���
�{����������is_lub_empty	�h�PInfo�oddecl�l_sup����a₁a₂(_inst_1latticesemilattice_sup_inst_2��l�		u�gc6!�@��to_partial_order!�C��(��!(��has_supsup����to_has_sup��	��!��!((	������(���%���'���(������6
����has_insertinsert!��has_insert!�Hsingleton!���!�[�J�(�����b���������b����l	
eqsymm���B���D��!�8���:��	!�/���
���0���W�����Z����^����������������������is_lub_iff_sup_eq���������������h�����k��!�o������������5�����-����_a��5�����
���0��	�W���p�Z�����^���p������!�8���:����!����F��������������+��	��(����is_lub_insert_sup��!��	is_lub_singleton����AnnotcheckpointAnnothave��x��5�x���x�Vinsert!��[�H�d��a�����e_1���p�e�\�e����e_2�����g2'������#	�&(���#�e�#	�&�e�latticeinsert_of_has_insert!�H�d�w��\2��w��g�u��G�g�����b�l�u�Ifa������������e_1�h������s��������e_2��'�gu-2���#���`�	�e(�huv52���`�`���a���`	�e((�:�U(�v�Q�����u�image_insert_eq��!(�u_inst_1has_insert!��e���e��e_2�����e��e��e_3���#�g22�o�o��`�o	��(�h2�`�e�o��	���[�H�H��!�H�H�d�image_singleton��!(	�T��eq_self_iff_true���h�PInfo��mdecl�u_inf����b₁b₂_inst_1��semilattice_inf_inst_2��l�(u�gc�*�@��to_partial_order!�C��(������has_infinf!��to_has_inf!	��������	�����������������(�������
����b�m�	�t�	�j�\�c	
eqsymm����������	(!�H(��������!�/�������	���	!���H�	+�����	#�	+is_glb_iff_inf_eq���	+�H�	!	��	5�	0�"(��!���	+�5�	5�	I�3-���	3_a��5�����������h����k�����o�������	Y���������	��!�	V�	kF�	5�	G�������	/������(�	F�	*is_glb_insert_inf��!�	Eis_glb_singleton���	~Annot��Annot����	��5�	���	�	�O�	�	�	�����b����e_1���e���e�[e_2�^�g>'�a���a	�	�(�&�a�e�a	�	��	�	����	�	�	�	��\>�b�	�	��	�	�	��	��	��	�	�����!����������e_1����������\���e_2�!�g->�#�a�H��`	�	�(�h@>��������#����	�	��A�	��	�	��?�	��!���	�������b�e���e��e_2�����e�[�e�'e_3��a�g>>�	��	��L���	�	�
(�h>���e�	���	�
�l�	�	�B���	�	��	��!��	�T�	����u�b�	��h�PInfo��xdecl�l_supr��x���_inst_1��complete_lattice(_inst_2��(l�u�gc6	�����Ibounded_latticeto_order_bot��to_bounded_lattice������	��	(f�	���7��suprE����to_has_Sup��	��suprE!��!i�����
V���
X���
Z���
[���
\���
r���
s�y!�
��
|�/��!�
!�{!�
h!�
j!�rangeE!�
��
|�7�
�j�
��
|��is_lub_iff_supr_eqE!�
��
|
��
��
��>E��!�
|��
��
����E���
|�5�
��
�����
�_a�5�����{���
h���
j��	�
���!�
�!�����
t��!�
w���
��
�F�
��
��range_compE��!��
��
���Sup���
y�
��5�
��
��3���
{_a��5�
����
���!�
��
��F�
��
��	���
��
{��Sup_rangeE���
y����!����v���
_���
a��	�
�(�
��
���is_lub_Sup��	�
�Annotshow�PInfo�̃decl�u_infi���������
V���
X���
Z���
[���
\���
rf���(��infiE!��to_has_Inf!��infiE������	i�
������
V���
X���
Z���
[���
\���
r�����X�M�/����)�
��W�M���Uj�V�M��is_glb_iff_infi_eqE��	�W�M
��f�
��>E!��(�M���f�j(�
��M�5����	N�b�}_a�b5����v���
_���
a����w!�����E��!�H��	����F�����E!��(�����(��Inf!�J���5�����i!�L_a!5���"�
�������F�����
����L��Inf_rangeE!�J����!�)�
�(������is_glb_Inf!��Annot���PInfo��decl�l_Sup����_inst_1�
W_inst_2�
Ylu
gc8��w�
_	�
a	��|�
h�
j(s�����
�!�
w!	��!�
�a!��!�f�
�	H�����������������
���	������"��5�"���"�
���!�������!�����!e_1���e���e��e_2��������	�;(������	�;��4�\����!a��������(�
�!H�X�4�T��3!!�
��!�U����
x���b�!���e_1�	7�h����(��p��Sup_eq_supr!	galois_connectionl_suprJ!!	(�o_inst_1��has_Sups�U��Ve_2�Z�h79a������(��������!�n�3��!�@!!x!���
!����	���((��!���!�	(�m�!�!���!�T�5�4����4�h�PInfo���decl�u_Inf����������������
���	s�>��!(���H��!�R!	a�����
�SH�����������������
���	��>�����5������������������������!����e_1�u�e���e��e_2�����	�

(�
��)	�

���
�\!������a!������(��H�
*�
�
&(������
'!���I	����
4��!e_1�:�h����(	���
B��Inf_eq_infi�u_infiM!	(�
A_inst_1��has_Inf!s�	���	�e_2�	��h�������(�����������
@�
�(�@���
�
v�
��������I((�����!��	(�
?�����B!���T�
	�
��
D!�
�h�PInfo��decl�id��pαgalois_connectionid�
����
�ab(��QR(�
��
��
�x�
�x�
��PInfo��prt�decl�compose��w��γ�#_inst_1(_inst_2(_inst_3preorderO(l1�(u1�l2�iu2���gc1��	(gc2galois_connectionO����	(galois_connectionO�������>O������	�>P������(���$�
��%�
��&�
��'�
��)�(�*��+�i�,�
��-�
��.�
���
�a��b����O���O�����
������	! �#����
������������������5��"�	�	��_a5�
���������
��`�����( �`#�`��(�
�����`!	�CF�� �T�)� �(��"�����5�"�Y�	� _a5���������C�GF�"�W�T� �W�����W�PInfo�"�prt�"decl�dual����pαpβlu
gc<galois_connectionorder_dual	order_dualorder_dualpreorder	�?(���6�7�8�9
�:<a��b��!�symm����)�PInfo�5�prt�5decl�dfun���#ια�β��
�_inst_1i()_inst_2i�
�)li����ui	����gci�
���������)�
�galois_connectionOi!!i!��pipreorder!�R!��i!���UO!�S!���V!��a��i�����
�b��i�����
��D�E���F���G���I���K���M���O��a��b�S����forall_congr��i���
��S��������V�����W�R�����X�����
�(�
��^���R�������V����)�Y�S�����Z�����
�i����)�
��PInfo�C�prt�Cdeclnatgalois_connection_mul_divknathgt�nathas_lthas_zerozero�nathas_zerogalois_connection���:�ordered_comm_monoidto_partial_order�ordered_cancel_comm_monoidto_ordered_comm_monoid�ordered_semiringto_ordered_cancel_comm_monoid�natordered_semiring�6n�has_mulmul��fhas_mul(n�has_divdiv�nathas_div(�b��d�&x�y���has_lele�nathas_le�E�N�<�`le_div_iff_mul_le(�PInfo�a�PInfogalois_insertion�
indlu_1u_2��_inst_1preorderV_inst_2preorderXlu
Cn������	(��e_1choicex��V!�V!	�=!gcgalois_connectionVX!	(le_l_ux!�X���X����choice_eqa��h�q���s����	���;Y�������mkZ[������!	(���h!	()���������b���c���e���g����
WY�����b���c���e���g����
����	��q�s)���{	(������!��!	�����������q���s��!����������h����!	���b���c���e���g����
���p��������!��q���s���������{��!	��������������!�����������q���s��������������(�nspace��prt��recdecl��sizeof�������b���c���e���g����
x�n����b���c���e���g����
��rec'����	(x�n�����������������has_addadd�nathas_add�8�8�8has_oneone�nathas_onesizeofWY���������default_has_sizeofWY�@���{����!	���N(�H��P��H���������������P�`�PInfo���
ATTRreducibility����prt��decl��has_sizeof_inst�������b���c���e���g����
has_sizeof]�n���b���c���e���g����
has_sizeofmk]�n��^_	(�PInfo���
ATTRinstance����class������prt��decl��sizeof_spec�������b���c���e���g����
����������������4��{����!	������!	(�<���b���c���e���g����
����������������E����PInfo���
ATTR�����EqnL��prt��gind����decl��choice�������b���c���e���g����
c�n�z���b���c���e���g����
���n
Proj�����������z��recWY����	(���h	(�����z�������������PInfo���
ATTR������proj����decl��gc�������b���c���e���g����
���n�����b���c���e���g����
���n
Proj��������������cd	(���������z������������(�PInfo���
ATTR������proj����decl��le_l_u�������b���c���e���g����
���n��	�����^���b���c���e���g����
���n
Proj�����������������������z�������������PInfo���
ATTR������proj����decl��choice_eq�������b���c���e���g����
���n�����x��!��cd��!	(����b���c���e���g����
���n
Proj������	�����!��������!�������������!	(�����z�������������PInfo���
ATTR������proj����decl��rec_on���������b���c���e���g����
���p��������������������	����������!(����b���c���e���g����
���p�������U��rec��������!	(�PInfo���
ATTR������auxrec��prt��auxrec��rec_ondecl��cases_on�������^�q�PInfo���
ATTR������auxrec��doc�� A Galois insertion is a Galois connection where `l ∘ u = id`. It also contains a constructive
choice function, to give better definitional equalities when lifting order structures.decl��no_confusion_type���������b���c���e���g����
P�ov1��v2���o���b���c���e���g����
���o������������������!	���h��!	�o��������������N����������������!�����������q���s����!�����������{����������!���h����������!�o��������q��s�����������{�������������������`���`���������������q�
 �s�
 �`�������
 ����choice_eq�cd���
 ��q�s���������!�����PInfo���
ATTR������prt��decl��no_confusion���������b���c���e���g����
���o��������h12����������������!	(���b���c���e���g����
���o�������������ocd��(a��h1a���h������!	����������!	h11����((��opq������!	����#�������������{��������!����������������������������q�`�s�`���������`������������`��q���s������������pq��������
 �PInfo�ý
ATTR������no_conf��prt��decl��inj�������b���c���e���g����
�������������������@���{������!	�����������������������������������������h������������������������!	��(�_�����b���c���e���g����
�������������������@�����������������no_confusion^_�`��������������`�����������!	��(�����PInfo�Ƚ
decl��inj_arrowl�������b���c���e���g����
�������������������@���������������P�o�����e��	���b���c���e���g����
�������������������@������������������o�����inj�����
 ���`�����������!	(�PInfo�ʽ
decl��inj_eq�������b���c���e���g����
�������������������@������������5���������N�`!���b���c���e���g����
����������������choice_1�@gc_1��le_l_u_1��choice_eq_1���T��� ����� h�����`��������`�Y����!	(a� ���f�����������������������q�s�I�
 ���I�����I��q�s�R���=�Re_4�����R��q�s�[�I���[���{�[�R�I	���{�[�R	�����m�����t���������t�����|�����������q�s���|������������������q�s�����L�������Q���f��������������������q�s��������������q�s�����=��e_4��������q �s�����������{������	��������!����!�����"���q#�s�����������eqdrecWY������q$�s��������	��������������q%�s�����������h��������������������������!(��WY������q&�s����L�!���������q'�s����Z������(�c�h��������!����������!	(���	�������������������	�c��	��������!	��������!(	�PInfo�ν
declgalois_insertionmonotone_intro_proof_1u_1u_2α�bβ�c_inst_1�e_inst_2�glu
humonotone����	(hlmonotone}|	(hula!����hlub!�)���N���b���c���e���g����
����������������galois_connectionmonotone_intro}|����!	(b��le_of_eq|��!��
��PInfo���decl��_proof_2�������b���c���f���((���(������(�
�b��	��	�^���b���c��������������������	�^�;symm|	�^�
��PInfo���decl��_proof_3�������b���c���e��������_x_x�le}	����	���b���c���e��������������rfl~	�PInfo���decl���������b���c���e���g����
���������������������b���c���e���g����
������������������x��_x��������������������!	(����������	����������!	�PInfo���VMR��VMC���������������������������doc��A constructor for a Galois insertion with the trivial `choice` function.decl��equations_eqn_1�������b���c���e���g����
�����������������)����������!	(�.���b���c���e���g����
�����������������c���C�PInfo���ATTR�����EqnL��SEqnL��declorder_isoto_galois_insertion_proof_1����_inst_1_inst_2oiZg(_N	 	#	�_m�ho	�f�_u�h�nx	�f�_	�f�_��	�_�f����	�_�f������	�_�f�	�_�f�	�f�_������Z�le_of_eq(���yequivto_fun	order_isoto_equiv	�f�_�inv_fun��	��equivright_inv��	���PInfo���decl��_proof_2��������Zbh�f���~����������Z��
��rfl	��PInfo��decl����������Zgalois_insertion(��������Z��(��bh����to_galois_connection(����(���(�PInfo���prt��VMR��_lambda_1VMR��VMC��a�VMC��	������������to_order_embeddingdoc��Makes a Galois insertion from an order-preserving bijection.decl��equations_eqn_1��������Z�h������(�
������Z������PInfo��ATTR����EqnL�SEqnL��declgalois_connectionlift_order_bot_proof_1u_1u_2α�bβ�c_inst_1�q�_inst_2partial_order�lu
gc�{	�:�	�v�	�:�(b	�����5�qbot�!	��b��c��)� �+�"�#
�$�:�%	galois_connectionl_le��!�.!�0!	�<(�A�Ibot_le�!	)�PInfo��decl�����b��c��)� �+�"�#
�$�:�q�	��b��c��)� �+�"�#
�$�:�qmk�	(�x��y�partial_orderle�	�+lt�	�+le_refl�	�+le_trans�	�+lt_iff_le_not_le�	�+le_antisymm�	���	(�PInfo��VMR�VMC���$�#�"� ���doc�Lift the bottom along a Galois connectiondecl�equations_eqn_1����b��c��)� �+�"�#
�$�:���i���	(����b��c��)� �+�"�#
�$�:���i���PInfo�3�ATTR����3EqnL�3SEqnL�declgalois_insertionl_u_eq����_inst_1�l��u��_inst_2gi��	�(b	�
�����6���7���8���9���:���;	��	���M(�C	galois_insertiongc!(���<le_l_u!(���PInfo�5�decl�4lift_semilattice_sup_proof_1�����6���7���8��_inst_2�$gi����+	��(a	b�
��
��C��has_supmk!a!b��!����	������6���7���8���A���B���C	�D��!��	������!�"�+����	(����!�$��	����!�$��	(��9�;�����le_sup_left������PInfo�@�decl�?_proof_2�����6���7���8���A���B��a	b�����6���7���8���A���B���K	�L�����)�9���>��le_sup_right������PInfo�J�decl�?_proof_3�����6���7���8���A���B��a	bc!hac������partial_ordermk��partial_orderle��!�Ult��!�Ule_refl��!�Ule_trans��!�Ult_iff_le_not_le��!�Ule_antisymm��!(hbc�������r���t�����x�����|����������������������(�����
�������8���:��!!(���6���7���8���A���B���O	�P�Q!�R���\���w����+������!������������!	��(��sup_le������!(�@����������!��(��(�PInfo�N�decl�?�����6���7���8���A���B���&	���6���7���8���A���B����mk	�G	�H	�>�t	�x	�|	��	��	��	�@��	(�J��	(�N��	(�PInfo�?�VMR�?	VMC�?	�	�H�G�B�A�8�7�6��doc�?Lift the suprema along a Galois insertiondecl�?equations_eqn_1�����6���7���8���A���B�������?��	(�5���6���7���8���A���B�������E�PInfo�`�ATTR����`EqnL�`SEqnL�?decl�4lift_semilattice_inf_proof_1�����6���7���8��_inst_2��gi�����	��(a	b�����"����	��������h���6���7���8���c�X�d�_�e	�f��le_inf���j����@��!�b��	�3�b��	(�i���b��	���h��inf_le_left�����������inf_le_right������PInfo�b�decl�a_proof_2�����6���7���8���c�X�d�_a	b�
��
��r!�t!�x!�|!��!��!��!����has_infmk!�e!�f��galois_insertionchoice�����	R�	S	����!��������	����v��	!������@��������!����������!���i��������!��������	�����������	������6���7���8���c�X�d�_���k	�l���i�5��forall_congr_eq	�k	��k	��k	�!�l��l��lchas_le!�e���e��e_2���e���e��e_3������`�`	�4(���e�`	�4����i�ochoice_eq��!�b��	(�h����a	b���PInfo�j�decl�a_proof_3�����6���7���8���c�X�d�_a	b�
���6���7���8���c�X�d�_��n�z	�{��5�n�y�"�z	�m�z	�x�z	�'�{�l�{�w�{�W��a	b���PInfo�y�decl�a_proof_4�����6���7���8���c�X�d�_a	bc!a�������������r���t�����x�����|�������������������������������e���f���������������
��������!�������������v��������������@������������������������!���i�������������������������������������(���6���7���8���c�X�d�_���	����!�������������������������5���"�	��	��	�'���������!!��!���!���!imp_congr_eq���������	e�����e���f���������������!�
����������������!����v��!�����B����@�����5�8�����������5�8�����F�i�����5�8�����W�B����!����Y�b����!���(��������!��(�F���-�����	%�����e���f������������������!	������v��!����������������!��������!	���w������!�����������������������������	�	����F���r�,���e���e���t���e���e��u���`������	��(�����e��	����((����(�����M�������	-��!	���v��	�������B����	����������	��������	���������������������a	bc!hac��hbc�������������������������!	������������!����������������W(�PInfo�~�decl�a�����6���7���8���c�X�d�_��	���6���7���8���c�X�d�_��mk	�e	�f����!�b��	(�h�b����!	(�
�
�����j��	(�y��	(�~��	(�PInfo�a�VMR�a	VMC�a	�	�f�e�d�c�8�7�6��doc�aLift the infima along a Galois insertiondecl�aequations_eqn_1�����6���7���8���c�X�d�_���m�a��	(�����6���7���8���c�X�d�_���m���PInfo���ATTR�����EqnL��SEqnL�adecl�4lift_lattice_proof_1�����6���7���8��_inst_2��latticegi����Y��to_semilattice_inf	��(a	has_lemk��le�>!	��to_semilattice_sup!(���6���7���8������������le_refl	�C���PInfo���decl��_proof_2�����6���7���8����������a	bc!a�����������>����!	����(�������������>������!����	(�����������>��������!����	(���6���7���8������������le_trans	���PInfo���decl��_proof_3�����6���7���8����������auto_parama	bhas_ltlt!has_ltmk!��lt!�>��!	����(and�
��!��!�Ynot�enamemk_string
Strorder_laws_tacnameanonymous���6���7���8������������lt_iff_le_not_le	���PInfo���decl��_proof_4�����6���7���8����������a	b���
�preordermk!�c�Z��!�Y�@!�Y�!�Y������������O���������@�������(����(���6���7���8������������le_antisymm	���PInfo���decl��_proof_5�����6���7���8����������a	b�
��
����c�Z��������!�Y�C���sup!�Y���6���7���8������������le_sup_left	���PInfo���decl��_proof_6�����6���7���8����������a	b�������6���7���8������������le_sup_right	���PInfo���decl��_proof_7�����6���7���8����������a	bc!���������s��������������(������������O���������@������������(���������/�O���.�����.�@���.����.�����.�B����������.(���6���7���8������������sup_le	���PInfo���decl��_proof_8�����6���7���8�����������k	�l�
��
�����le!����!	����(��lt!�_��le_refl!�_��le_trans!�_��lt_iff_le_not_le!�_��le_antisymm!�_������inf!�_���6���7���8������������inf_le_left	�����PInfo���decl��_proof_9�����6���7���8�����������z	�{�����6���7���8������������inf_le_right	���PInfo���decl��_proof_10�����6���7���8�����������	����!���������s�U��������!	�����b�����f�����j�����n�����r����(�����������U����������!����	�b�����f�����j�����n�����r�������������U������������!����	�b�����f�����j�����n�����r���������y����(���6���7���8������������le_inf	���PInfo���decl�������6���7���8������������	���6���7���8������������mk	��	����	���O	������	(����	(����	(����	(����	(����	(����	(�y	������	(����	(����	(�PInfo���VMR��_lambda_1VMR��VMC�������VMC��������8�7�6�����?���adoc��Lift the suprema and infima along a Galois insertiondecl��equations_eqn_1�����6���7���8�������������*����	(�����6���7���8�������������*���PInfo���ATTR�����EqnL��SEqnL��decl�4lift_order_top_proof_1�����7��8�_inst_2��bc���(���������7���8�������Ile_top���PInfo���decl��_proof_2�����6���7���8������gi�������(a	�C�r�t	�x	�|	��	��	��	���Ihas_topmk��!�@��!(����!��!(��!(�	���6���7���8��������������	���
�5���"��	���	���	�r�,�e!�e��e_2���e���e��e_3�;����_	�.(����)	�.������
�M!����	�b	�������
������������������	����PInfo���decl�������6���7���8������������	���6���7���8�����������Jmk	��	������(��������	(�
�
��������	(�PInfo���VMR��VMC��������8�7�6��doc��Lift the top along a Galois insertiondecl��equations_eqn_1�����6���7���8�������������}����	(�����6���7���8�������������}���PInfo���ATTR�����EqnL��SEqnL��decl�4lift_bounded_lattice_proof_1�����6���7���8��_inst_2��gi����w����(��	����le��!	��to_lattice!(���6���7���8������������le_refl	�����PInfo���decl��_proof_2�����6���7���8������������	����!���������������!	����(�����������������!����	(���$��������������!����	(���6���7���8������������le_trans	���PInfo���decl��_proof_3�����6���7���8�����������J��	���L�N��lt!����!	����(�`�
�a��!� J�i� T�v���6���7���8������������lt_iff_le_not_le	���PInfo���decl��_proof_4�����6���7���8������������	�����
���� R� K��!� J� 6!� J� h!� J��������� � @��� ����� � 6��� � h��� (�����6���7���8������������le_antisymm	���PInfo���decl��_proof_5�����6���7���8������������	���
��
���� R� K� u� x� {� �!� J�C���sup!� J���6���7���8������������le_sup_left	���PInfo���decl��_proof_6�����6���7���8������������	��� �� ����6���7���8������������le_sup_right	���PInfo���decl��_proof_7�����6���7���8������������	����!���������s� � �� �� �� �� ���� (����������� � @��� ����� � 6��� � h��� � ���� (��������� %� @��� $����� $� 6��� $� h��� $� ���� $�5�6� ���� $(���6���7���8������������sup_le	���PInfo���decl��_proof_8�����6���7���8�����������k	�l� �������inf!� J���6���7���8������������inf_le_left	���PInfo���decl��_proof_9�����6���7���8�����������z	�{�!=���6���7���8������������inf_le_right	���PInfo���decl��_proof_10�����6���7���8�����������	����!��� ����!�!�����!6��� $(���6���7���8������������le_inf	���PInfo���decl��_proof_11�����6���7���8������������	�C���Jle��!	��to_order_top!(�Jlt�!��Jle_refl�!��Jle_trans�!��Jlt_iff_le_not_le�!��Jle_antisymm�!������Jtop�!����6���7���8�����������Jle_top	���!��PInfo���decl��_proof_12�����6���7���8�����������
^�����
`��(���6���7���8������������	�!���(�PInfo��decl��_proof_13�����6���7���8����������a	�C���qle��lift_order_bot!�
_!(	���@�v!�!����qlt�!��qle_refl�!��qle_trans�!��qlt_iff_le_not_le�!��qle_antisymm�!����Ihas_botmk�qbot�!����6���7���8�����������qbot_le	�!�	�!�(�!��PInfo�	�decl�������6���7���8������������	���6���7���8������������mk	� �	����	��� @	������	(����	(����	(����	(����	(����	(����	(�!6	������	(����	(����	(�!�	�!�����	(�"	�"+���	(�	��	(�PInfo���VMR��_lambda_1VMR��_lambda_2VMR��_lambda_3VMR��VMC������_fresh4���_fresh4���_fresh4���_fresh4���_fresh4������
VMC������VMC�������� �#�&�)����
VMC��"������8�7�6����������doc��Lift the top, bottom, suprema, and infima along a Galois insertiondecl��equations_eqn_1�����6���7���8�������������"6����	(�"����6���7���8�������������"6�"��PInfo�+�ATTR����+EqnL�+SEqnL��decl�4lift_complete_lattice_proof_1�����6���7���8��_inst_2�
Wgi����w������(��	����le�"�!	�
a!(���6���7���8���.�"��/�"���le_refl	�"��
b�PInfo�-�decl�,_proof_2�����6���7���8���.�"��/�"���	����!������"����"�����!	��(������"����"�������!�
a��	(���$�"����"���������!�
a��	(���6���7���8���.�"��/�"���le_trans	�#�PInfo�2�decl�,_proof_3�����6���7���8���.�"��/�"��J��	���L�N��lt!�"���!	�%(�`�
�a�"�!�#b�i�#l�v���6���7���8���.�"��/�"���lt_iff_le_not_le	�#�PInfo�4�decl�,_proof_4�����6���7���8���.�"��/�"���	�����
����#j�#c�#
!�#b�#O!�#b�#�!�#b���������# �#Y���#�#
���#�#O���#�#����#(�����6���7���8���.�"��/�"���le_antisymm	�#�PInfo�7�decl�,_proof_5�����6���7���8���.�"��/�"���	���
��
����#j�#c�#��#��#��#�!�#b�C���sup!�#b���6���7���8���.�"��/�"���le_sup_left	�#�PInfo�9�decl�,_proof_6�����6���7���8���.�"��/�"���	���#��#����6���7���8���.�"��/�"���le_sup_right	�#�PInfo�<�decl�,_proof_7�����6���7���8���.�"��/�"���	����!���������s�# �#��#��#��#��#����#(�����������#/�#Y���#.�#
���#.�#O���#.�#����#.�#����#.(���������#>�#Y���#=�#
���#=�#O���#=�#����#=�#����#=�5�6�#����#=(���6���7���8���.�"��/�"���sup_le	�#�PInfo�>�decl�,_proof_8�����6���7���8���.�"��/�"��k	�l�#�������inf!�#b���6���7���8���.�"��/�"���inf_le_left	�#�PInfo�@�decl�,_proof_9�����6���7���8���.�"��/�"��z	�{�$U���6���7���8���.�"��/�"���inf_le_right	�#�PInfo�C�decl�,_proof_10�����6���7���8���.�"��/�"��	����!���$���$�$/�����$N���#=(���6���7���8���.�"��/�"���le_inf	�#�PInfo�E�decl�,_proof_11�����6���7���8���.�"��/�"���	�C���"��#Y�"��#
�"��#O�"��#��"��#��"�������top�"����6���7���8���.�"��/�"���le_top	�#�PInfo�G�decl�,_proof_12�����6���7���8���.�"��/�"��
	�$��"�"��bot�"����6���7���8���.�"��/�"���bot_le	�#�PInfo�J�decl�,_proof_13�����6���7���8���.�"��/�"�s�>"$�@�!��!��"�����(b���SH�����$����6���7���8���.�"��/�"��N�>��le_infi!(�$��$�b�Q�����$�	����!�$��O!�����
*�R��H�
*�hb���B�������#��	��%��	�������%�O�������u�R��	�S�u�����%��	�%"�%/��infi_le_of_le�����%.���U���
�S�
����s���%���PInfo�M�decl�,_proof_14�����6���7���8���.�"��/�"�s�>aha���������������
�b���U���u�
w��	�%,���6���7���8���.�"��/�"��W�>�X�Y���������%l�������%��	���%��	�%"���%k��le_supr_of_le�����%j���[���
�%E���%K�PInfo�V�decl�,_proof_15�����6���7���8���.�"��/�"�s�>ahsb!H�
*�������{���
h���">���#����#.�#/�$
�$
�$�$�$�#����#.�#����#.�$D���#.�$N���#.�$`���#.�$t���#.�$����#.�$����#.�$����#.�$����#.�$����#.(�%]�%l���6���7���8���.�"��/�"��]�>�^�_�%��%7�%k��supr_le�����%j��b���b���u	�%,�hb�u�����v���
_���#;����!���%�����!	��PInfo�\�decl�,_proof_16�����6���7���8���.�"��/�"�s�>aH���������
��
��">���#����#�# �#��#��#��#��$�#����#�#����#�$D���#�$N���#�$`���#�$t���#�$����#�$����#�$����#�$����#�$����#�������%��	�%/�$������%.	�%0�R���%���u	�%,!�������%*�O�������_�R���S�&a��T�u�&���
m�&d�O�����������
��	�R��!�S�&t���w�%�����!�&�&|�%:�����&{���%A���_�S�&������s���%������6���7���8���.�"��/�"���&��f�>�g�h���&I�%0�5�&��&��q-�>�f�>�&��f�>�&��f�>�'�g�&��g�&��g�-���
��
��
��
��">!�#��#j�#c�#��#��#��#��#�!�#b�#�!�#b�$D!�#b�$P�$`!�#b�$t!�#b�$�!�#b�$�!�#b�$�!�#b�$�!�#b�$�!�#b�x�"�#�$�#`��	(�%�$���!�%�%�R!�%���
*�%�&V�T�
*���	R�v���
_���#,��!���'��!�&j���'��!�'�&i�%:����	�&h��%A���s	�S�'"����s���'����&��%F���I�&��'4�%�O�&���	(�%�'3��s�>aha���%N�PInfo�e�decl�,_proof_17�����6���7���8���.�"��/�"�s�>a�b!H�
*�%�(�&I�&����6���7���8���.�"��/�"���'f�m�>�n��'a�'b�%0�5�'f�'r�&��m�>�'e�m�>�'q�m�>�'�n�'d�n�'p�n�-�'a�&��'4�'a�'��%F�'a�'>���'4�%�'Gs�>ahs�'a�%{�%0�%��%��%/�&U��b��
� ��#���'��%-�&[�hb�u�&�Annot���PInfo�l�decl�,�����6���7���8���.�"��/�"��
Y	���6���7���8���.�"��/�"���mk	�#�	�#�"�	�#�#Y	�#�-��	(�2��	(�4��	(�7��	(�9��	(�<��	(�>��	(�$N	�#�@��	(�C��	(�E��	(�$�	�#�G��	(�$�	�#�J��	(s�>�%_!�(�Z�i���
x�$��N�>���$����$��M��!	(�V��	(�\��	(�e��	(�l��	(�PInfo�,�VMR�,_lambda_1VMR�,_lambda_2VMR�,_lambda_3VMR�,_lambda_4VMR�,_lambda_5VMR�,_lambda_6VMR�,_lambda_7VMR�,_lambda_8VMR�,_lambda_9VMR�,VMC�x������_fresh4�%T�_fresh4�%S�_fresh4�%R�_fresh4�%Q�_fresh4�%P����
VMC�y�����VMC�z�������������������
VMC�{��P�_fresh4�%\��VMC�|
��Z�����{����VMC�}�	�w�������|����VMC�~��P�_fresh4�%_��VMC�
��O�����~����VMC���	�N�����������VMC�,,��/�.�8�7�6���x�z����
����
�}��doc�,Lift all suprema and infima along a Galois insertiondecl�,equations_eqn_1�����6���7���8���.�"��/�"����'��,��	(�(����6���7���8���.�"��/�"����'��(��PInfo���ATTR�����EqnL��SEqnL�,EndFile