Shareddifferentialregning - emneopg.4.htmlOpen in CoCalc
Jupyter html version of differentialregning - emneopg.4.ipynb
differentialregning - emneopg.4

Dette er koden for at vise det nedestående: "Differentialkvotienten for $f$ i $x_0$ beregnes som $$f'(x0) = \lim{x \to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$$"

Differentialkvotienten for f i x_0 beregnes som

f'(x_0) = \lim_{x \to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}

Opgave 2

  • Beviset for, at hvis f(x)=ax+b så er f'(x)=a

Vi ved:

  1. f(x)=ax+b er differentiabel
  2. f'(x)=a
  3. a-værdien til en lineær funktion findes ved formlen: a = \frac{y_2 - y_1}{x_2-x_1}

a_s = sekant hældning aka. differenskvotienten
Da vi arbejder med differenregning noterer man punkter anderledes, røringspunktet noteres som: (x_0, y_0) Et vilkårligt andet punkt: (x, y)

Formlen for at finde differenskvotienten:

a_s = \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}

Da f(x) = ax + b kan vi tillade os as bytte f(x) og f(x_0) ud med forskriften for en lineær funktion.

a_s = \frac{ax+b - (ax_0+b)}{x-x_0} = \frac{ax - ax_0}{x-x_0}

Vi omskriver nu tælleren, for at kunne få x og -x_0 til at gå ud med hinanden i brøken.

a_s = \frac{a(x - x_0)}{x-x_0} = a

Vi har fundet sekantens hældningen. Nu finder vi grænseværdien til tangentens hældning (aka. f mærkes hældning el. f'(x_0) = a )

f'(x_0) = a_t = \lim_{x \to x_0}a_s = \lim_{x \to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}

f'(x) = \lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

Da vi vil bevise, at når f(x) = ax+b så er f'(x) = a , kan vi af denne grund tillade os, at erstatte f(x) med " ax+b "

f'(x) = \lim_{x \to x_0}\frac{ax+b-(ax_0+b)}{x-x_0}

b'erne i tælleren går ud med hinanden

f'(x) = \lim_{x \to x_0}\frac{ax - ax_0}{x-x_0}

Vi omskriver nu tælleren til, at have a stående uden for en parentes

f'(x) = \lim_{x \to x_0}\frac{a(x-x_0)}{x-x_0}

Vi omskriver nu tælleren, for at kunne få x og -x_0 til at gå ud med hinanden i brøken.

f'(x) = \lim_{x \to x_0} a

Da man ikke kan tage grænseværdien af a fordi at det er en konstant, er grænseværdien af a af denne grund blot a

f'(x) = a