Shareddifferentialregning - emneopg.4.htmlOpen in CoCalc
Jupyter html version of differentialregning - emneopg.4.ipynb
differentialregning - emneopg.4

Dette er koden for at vise det nedestående: "Differentialkvotienten for $f$ i $x_0$ beregnes som $$f'(x0) = \lim{x \to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$$"

Differentialkvotienten for ff i x0x_0 beregnes som f(x0)=limxx0f(x)f(x0)xx0f'(x_0) = \lim_{x \to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}

Opgave 2

  • Beviset for, at hvis f(x)=ax+bf(x)=ax+b så er f(x)=af'(x)=a

Vi ved:

  1. f(x)=ax+bf(x)=ax+b er differentiabel
  2. f(x)=af'(x)=a
  3. a-værdien til en lineær funktion findes ved formlen: a=y2y1x2x1a = \frac{y_2 - y_1}{x_2-x_1}

asa_s = sekant hældning aka. differenskvotienten
Da vi arbejder med differenregning noterer man punkter anderledes, røringspunktet noteres som: (x0,y0)(x_0, y_0) Et vilkårligt andet punkt: (x,y)(x, y)

Formlen for at finde differenskvotienten: as=f(x)f(x0)xx0a_s = \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}

Da f(x)=ax+bf(x) = ax + b kan vi tillade os as bytte f(x)f(x) og f(x0)f(x_0) ud med forskriften for en lineær funktion. as=ax+b(ax0+b)xx0=axax0xx0a_s = \frac{ax+b - (ax_0+b)}{x-x_0} = \frac{ax - ax_0}{x-x_0}

Vi omskriver nu tælleren, for at kunne få xx og x0-x_0 til at gå ud med hinanden i brøken. as=a(xx0)xx0=aa_s = \frac{a(x - x_0)}{x-x_0} = a

Vi har fundet sekantens hældningen. Nu finder vi grænseværdien til tangentens hældning (aka. f mærkes hældning el. f(x0)=af'(x_0) = a)

f(x0)=at=limxx0as=limxx0f(x)f(x0)xx0f'(x_0) = a_t = \lim_{x \to x_0}a_s = \lim_{x \to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}

f(x)=limxx0f(x)f(x0)xx0f'(x) = \lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

Da vi vil bevise, at når f(x)=ax+bf(x) = ax+b så er f(x)=af'(x) = a, kan vi af denne grund tillade os, at erstatte f(x)f(x) med "ax+bax+b"

f(x)=limxx0ax+b(ax0+b)xx0f'(x) = \lim_{x \to x_0}\frac{ax+b-(ax_0+b)}{x-x_0}

b'erne i tælleren går ud med hinanden

f(x)=limxx0axax0xx0f'(x) = \lim_{x \to x_0}\frac{ax - ax_0}{x-x_0}

Vi omskriver nu tælleren til, at have a stående uden for en parentes

f(x)=limxx0a(xx0)xx0f'(x) = \lim_{x \to x_0}\frac{a(x-x_0)}{x-x_0}

Vi omskriver nu tælleren, for at kunne få xx og x0-x_0 til at gå ud med hinanden i brøken.

f(x)=limxx0af'(x) = \lim_{x \to x_0} a

Da man ikke kan tage grænseværdien af aa fordi at det er en konstant, er grænseværdien af aa af denne grund blot aa

f(x)=af'(x) = a