Dette er koden for at vise det nedestående: "Differentialkvotienten for \$f\$ i \$x_0\$ beregnes som \$\$f'(x0) = \lim{x \to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\$\$"

Differentialkvotienten for $f$ i $x_0$ beregnes som $$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$$

Opgave 2¶

Beviset for, at hvis $f(x)=ax+b$ så er $f'(x)=a$

Vi ved:

$f(x)=ax+b$ er differentiabel
$f'(x)=a$
a-værdien til en lineær funktion findes ved formlen: $a = \frac{y_2 - y_1}{x_2-x_1}$

$a_s$ = sekant hældning aka. differenskvotienten
Da vi arbejder med differenregning noterer man punkter anderledes, røringspunktet noteres som: $(x_0, y_0)$ Et vilkårligt andet punkt: $(x, y)$

Formlen for at finde differenskvotienten: $$a_s = \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}$$

Da $f(x) = ax + b$ kan vi tillade os as bytte $f(x)$ og $f(x_0)$ ud med forskriften for en lineær funktion. $$a_s = \frac{ax+b - (ax_0+b)}{x-x_0} = \frac{ax - ax_0}{x-x_0}$$

Vi omskriver nu tælleren, for at kunne få $x$ og $-x_0$ til at gå ud med hinanden i brøken. $$a_s = \frac{a(x - x_0)}{x-x_0} = a$$

Vi har fundet sekantens hældningen. Nu finder vi grænseværdien til tangentens hældning (aka. f mærkes hældning el. $f'(x_0) = a$)

$$f'(x_0) = a_t = \lim_{x \to x_0}a_s = \lim_{x \to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}$$

$$f'(x) = \lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

Da vi vil bevise, at når $f(x) = ax+b$ så er $f'(x) = a$, kan vi af denne grund tillade os, at erstatte $f(x)$ med "$ax+b$"

$$f'(x) = \lim_{x \to x_0}\frac{ax+b-(ax_0+b)}{x-x_0}$$

b'erne i tælleren går ud med hinanden

$$f'(x) = \lim_{x \to x_0}\frac{ax - ax_0}{x-x_0}$$

Vi omskriver nu tælleren til, at have a stående uden for en parentes

$$f'(x) = \lim_{x \to x_0}\frac{a(x-x_0)}{x-x_0}$$

Vi omskriver nu tælleren, for at kunne få $x$ og $-x_0$ til at gå ud med hinanden i brøken.

$$f'(x) = \lim_{x \to x_0} a$$

Da man ikke kan tage grænseværdien af $a$ fordi at det er en konstant, er grænseværdien af $a$ af denne grund blot $a$

$$f'(x) = a$$