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Kernel: SageMath (stable)

El cálculo sí es útil.

El cálculo es el fundamento de muchas disciplinas; una herramienta básica en la solución de problemas; y un lenguaje común en las ciencias e ingenierías.

En los siguientes ejercicios, desarrollaremos de manera intuitiva una aplicación del cálculo: Optimización

Problema de Optimización

Consideremos una granja en la que se quiere cercar un terreno bordeado por un río. Se cuentan con 20 metros de malla para cercar. ¿Cuál es el área máxima que puede bordearse con dicho material? 

 A continuación, mostramos un  script  para trazar la gráfica de dicha función 
# Creamos una variable para un lado del terreno, ortogonal al río.
x = var("x")
# Definimos el área en función de esta variable
A(x)=x*(20-2*x)
# Exploramos la función trazando su gráfica
# Primero definimos el intervalo adecuado
intervalo = (x,0,10)
# Ahora utilizamos la función "plot" para crear la gráfica
grafica = plot(A, intervalo)
# Finalmente mostramos la gráfica en pantalla, con el método "show"
grafica.show(gridlines = True)
Image in a Jupyter notebook

De manera intuitiva, podemos suponer que el máximo se alcanza alrededor de x=5x=5. Sin embargo, ¿Cómo podemos estar seguros?
La respuesta la podemos obtener observando que en el máximo, la recta tangente tiene pendiente m=0m=0.

Recordemos que la ecuación de una recta con pendientes mm, que pasa por el punto (x0,y0)(x_0,y_0) está dada por y=y0+m(x−x0)y=y_0+m(x-x_0). 

# Creamos una función que para cada punto x, nos de la pendiente de la recta tangente 
Ax(x) = A.diff(x)
# Vamos a crear una malla, es decir, una sucesión de puntos para tabular
# Importamos la función linspace del paquete de análisis numérico numpy
from numpy import linspace
malla = linspace(0,10,21)
# Graficamos una sucesión de rectas tangentes
for p in malla:
    color = (p+10)/20
    grafica += plot(A(p)+Ax(p)*(x-p), intervalo, color=hue(color))
# Mostramos la gráfica en pantalla
grafica.show(gridlines = True, ymax=60)
Image in a Jupyter notebook

La función que ocupamos para encontrar la pendiente m=Ax(x)m=A_x(x) de la recta tangente a la gráfica de y=A(x)y=A(x) se en el punto (x0,y0)(x_0,y_0) se le llama derivada.

Ahora, vamos a plantear la ecuación del punto crítico para encontrar exactamente el valor: 

#Definimos la ecuación
ecuacion = [Ax(x)==0]
# Utilizamos la función "solve" y guardamos las soluciones en una variable del mismo nombre
soluciones = solve(ecuacion,x)
# La mostramo en pantalla
show(soluciones)

#Finalmente evaluamos en la función
print A(5)
50

Concluímos que el área máxima es 50 metros cuando uno de los lados ortogonales mide 5 metros.

Laboratorio de cómputo

  1. Optimice la función f(x)=x3−xf(x)=x^3-x en el intervalo (−1,1).(-1,1). Trace la gráfica correspondiente.
  2. Ahora, intentelo en el intervalo (−2,3).(-2,3).
  3. ¿Son los mínimos y los máximos los mismo en ambos intervalos?
  4. ¿Qué hay de los mínimos y máximos locales?