习题2.3： 1.求解下列方程：

（8）（x+2y）dx+xdy=0 解：原方程可化为xdx+2ydx+xdy=0 方程两边同时积分有： ∫ xdx=0可得到方程的通解为(1/2)x^=c

(9){x*cos(x+y)+sin(x+y)}dx+xcos(x+y)dy=0

解：令xcos(x+y)+sin(x+y)=M, xcos(x+y)=N则

M对y求偏导有My=-xsin(x+y)+cos(x+y) N对x求偏导有Nx=cos(x+y)-xsin(x+y)

故原方程为恰当微分方程，通解为U(x,y)=c

现求通解Ux,∂U/∂x=xcos(x+y)+sin(x+y) ∂U/∂y=xcos(x+y) U= xsin(x+y)+Fy ∂U/∂y=xcos(x+y)+dF/dy=xcos(x+y) 故Fy=c 因此通解U=xsin(x+y)+c

(10)(ycosx-xsinx)dx+(ysinx+xcosx)dy=0 解：(ycosx-xsinx)=M, (ysinx+xcosx)=N ∂M/∂y=cosx ∂N/∂x=ycosx+cosx-xsinx,(∂M/∂y-∂N/∂x)/-M=1 故存在积分因子u=e^y 将u=e^y乘在方程(ycosx-xsinx)dx+(ysinx+xcosx)dy=0两边有：

e^y(ycosx-xsinx)dx+(ysinx+xcosx)dy=0， 故解得通解为(e^y)xcosx+(e^y)(y-1)sinx=c

（11)x(4ydx+2xdy)+y^3(3ydx+5xdy)=0

解： 用(x^2)y乘以方程两边得4x^2y^2dx+2x^4ydy+3x^2y^5dx+5x^3y^4dy=0

即：y^2d(x^4)+x^4dy^2+y^5dx^3+x^3dy^5=0

d(x^4y^2+x^3y^5)=0,两边积分即可得到方程的通解为x^4y^2+x^3y^5=c

4.设f(x,y)及∂X/∂y连续，试证方程dy-f(x,y)dx=0为线性微分方程的充分必要条件是它有仅依赖x的积分因子.

证明：1.先证必要性：若方程为线性微分方程，则有

dy/dx=P(x)y+Q(x)此方程有积分因子U(x)=e^(∫P(x)dx),U(x)只与x有关

2.再证充分性：若该方程有只与x有关的积分因子U(x)则U(x)dy-U(x)f(x,y)dx=0为恰当方程，从而（∂（-U(x)f(x,y))/∂y= dU(x)/dx,∂f/∂y=U'(x)/U（x)

f=-∫(U'(x)/U（x))dy+Q(x)=P(x)y+Q(x)其中P(x)=-（U'(x)/U（x)）于是方程化为dy-(P(x)y+Q(x))dx=0即为一线性微分方程

8.求出伯努力微分方程的积分因子

解：伯努力微分方程为dy/dx+p(x)*y=q(x)y^n，则：

将伯努利方程两边同乘以y^(-n)，得y^(-n)dy/dx+p(x)*y^(1-n)=q(x)

注意到y^(-n)dy/dx=[1/(1-n)]*d[y^(1-n)]/dx

即伯努利方程转化为了一次线性方程的形式,易知一次线性方程他的积分因子是exp[(1-n)*(∫p(x)dy)]

习题2.4

求解下列方程：

1.xy'^3=1+y'

解：令y’=dy/dx=1/p，则x*1/p^3=1+1/p,解得:x=p^3+p^2

又dy/dx=1/p，则dy=(1/p)dx=(1/p)(3p^2+2p)dp

对dy=(1/p)dx=(1/p)(3p^2+2p)dp两边积分得y=3/2(p^2)+2p+c

因此方程的解为x=p^3+p^2，y=3/2(p^2)+2p+c

$2. y'^3-x^3(1-y')=0$

解：令y’=dy/dx=tx,则原方程为(t^3)(x^3)-x^3(1-tx)=0,解得x=1/t-t^2

又dy/dx=tx,则dy=dx(tx)=(-1/t^2-2t)(1-t^3),对dy=dx(tx)=(-1/t^2-2t)(1-t^3)两边积分得:y’=1/t-1/2(t^2)=2/5(t^5)+c

3.y=y'^2e^y'

解：令y'=p,y=(p^2)e^p,对两边积分有x=(p+1)e^p+c,特解y=0

4.y(1+y'^2)=2a（a为常数)

解：令y'=tanb,则y=a(1+cos(2b)),又dy/dx=tanb,则对方程变形积分得x=-a(2b+sin2b)+c,特解y=2a

5.x^2+Y'^2=1

解：另y'=cost, 又dy/dx=cost,于是x=sint,y=t/2+1/4(sin2t)+c

6.y^2(y'-1)=(2-y')^2