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Espaces-temps anti-de Sitter et cylindres d'Einstein en dimension arbitraire.
This notebook was written under the supervision of Éric Gourgoulhon (LUTH) as part of my physics internship in July 2023.
Author : Nicolas Seroux
Espace-temps anti-de Sitter et cylindre d'Einstein
Nous donnons ici quelques propriétés géométriques des espaces-temps anti-de Sitter et des espaces-temps d'Einstein . On essaiera d'énoncer la théorie dans le cas général , et on illustrera cette théorie par les calculs explicites dans les cas et .
Cylindre d'Einstein
Pour, pour , on appelle espace-temps d'Einstein universel en dimension la variété définie comme un produit muni de la métrique :
où est la métrique usuelle sur .
L'exemple classique dans le cas est le cylindre d'Einstein , dont la métrique est donnée dans des coordonnées naturelles par :
Pour , on choisit de manière analogue des coordonnées pour lesquelles :
Définition de la variété d'espace-temps et des coordonnées adaptées :
Définition de la métrique :
On peut désormais calculer les tenseurs d'Einstein associés aux métriques et . Pour :
On voit donc que le cylindre d'Einstein en dimension est une solution des équations d'Einstein en présence d'un fluide parfait sans pression de densité suivant des orbites de , dont le tenseur énergie-impulsion est donné par :
Pour :
On voit donc que :
ce qui montre que le cylindre d'Einstein en dimension est une solution des équations d'Einstein avec constante cosmologique en présence d'un fluide parfait sans pression de densité suivant des orbites de , dont le tenseur énergie-impulsion est donné par :
On peut également voir le cylindre d'Einstein en dimension comme une solution des équations d'Einstein avec une constante cosmologique quelconque et un fluide parfait de densité et de pression sont le tenseur énergie impulsion est donné par :
En particulier, l'espace-temps d'Einstein en dimension a une courbure scalaire constante :
En général, pour , on a :
ce qui implique que la courbure scalaire est donnée par , et donc : ce qui signifie que le cylindre d'Einstein de dimension est une solution des équations d'Einstein avec constante cosmologique et un fluide parfait de densité et de pression avec : En particulier, si l'on impose une condition d'énergie forte, qui se traduit par , , on obtient une borne sur la constante cosmologique :
Alternativement, on peut supposer que l'espace-temps d'Einstein est solution des équations d'Einstein pour une matière sans pression - hypothèse raisonnable pour une situation cosmologique - ce qui fixe alors la valeur de la constante cosmologique et de la densité :
Pour tout , est simplement connexe. L'espace-temps d'Einstein universel est en fait le recouvrement universel de l'espace-temps d'Einstein. La forme de la métrique de est similaire à celle de :
On dispose d'une projection naturelle , qui est de plus une isométrie. On aurait également pu partir de et définir la métrique sur le recouvrement universel comme un tiré-en-arrière par .
Espace-temps anti-de Sitter
Espace pseudo-minkowskien
On définit l'espace-temps pseudo-minkowskien en munissant de coordonnées globales et d'une métrique pseudo-riemannienne plate.
La forme de la métrique mime la métrique de Minkowski, à ceci près qu'on ajoute une seconde direction temporelle :
Cette métrique permet de définir une forme quadratique sur dont l'expression est naturellement :
On introduit aussi des formes quadratiques pour la norme usuelle de :
Espace-temps anti-de Sitter
L'espace-temps anti-de Sitter est usuellement défini comme une sous-variété de . Plus précisément, est l'ensemble des points tels que , où est un paramètre qu'on peut supposer positif :
Dans tout les calculs et illustrations, on prendra .
On choisit plutôt de définir comme une variété lorentzienne abstraite difféomorphe à que l'on munit de coordonnées sphériques sur le facteur . On a donc des coordonnées . On voit donc que n'est pas simplement connexe, et on introduit aussi son revêtement universel .
Le recouvrement universel est donné par la projection évidente .
La variété abstraite se plonge dans selon :
où est muni de coordonnées sphériques sur .
On vérifie que envoie dans l'ensemble des points vérifiant .