Vázané extrémy

Definice.

Nechť je dána reálná funkce $n$ proměnných $f$, množina $M\subseteq\mathbb R^n$ a bod $a\in M\cap D_f.$ Řekneme, že funkce $f$ nabývá v bodě $a$ vázané lokální minimum (maximum) vzhledem k množině $M$, existuje-li okolí $U$ bodu $a$ takové, že pro každé $x\in U\cap M$ platí: $$f(a) \le f(x), \ \ (f(x) \le f(a)).$$ Lze-li uvedené nerovnosti nahradit pro $x\neq a$ ostrými nerovnostmi, potom hovoříme o tzv. ostrém lokálním minimu (resp. maximu) vzhledem k množině $M$.

Nutná podmínka

Věta. Nechť $f,g_1,\ldots,g_s,\ 1\le s < n$ jsou reálnými funkcemi třídy $\textrm{C}^1$ na otevřené množině $U\subseteq\mathbb R^n$ a nechť pro každé $x\in U$ má Jacobiho matice zobrazení $G = (g_1,\ldots,g_s):\mathbb R^n\supset\to\mathbb R$: $$\nabla G(x) = \left( \begin{matrix} \frac{\partial g_1}{\partial x_1}(x)&\ldots&\frac{\partial g_1}{\partial x_n}(x)\\ \cdots&\cdots&\cdots\\ \frac{\partial g_s}{\partial x_1}(x)&\ldots&\frac{\partial g_s}{\partial x_n} \end{matrix} \right)$$ maximální hodnost $s.$

Nechť $$M = \{x\in U: G(x) = 0\} = \{x\in U: g_1(x) = 0,\ldots,g_s(x) = 0\}$$ a funkce $f$ nabývá v bodě $a\in M$ lokální maximum nebo minimum vzhledem k množině $M.$ Potom existuje právě jedna $s-$tice reálných čísel $(\lambda_1,\ldots,\lambda_s)$ taková, že bod $a$ je stacionárním bodem tzv. Lagrangeovy funkce $$L(x) = f(x) + \sum_{i=1}^s \lambda_i g_i(x).$$

Příklad

Najděme extrémy funkce $f(x,y) = x^2 + 2y^2$ na kružnici o rovnici $x^2 + y^2 = 1.$

Řešení

Gradient $gradg$ zřejmě spojitě závisí na proměnných $x,y$. Tedy funkce $f,g$ jsou třídy $C^1$ na $\mathbb R^2.$ Dále $gradg \neq \vec 0$ všude mimo počátek.

Dále budeme hledat řešení soustavy: $$\nabla f = \lambda \nabla g\\ g = 0.$$ Tuto soustavu lze rozepsat takto: $$f_x = \lambda g_x\\ f_y = \lambda g_y \\ g = 0.$$

Funkce $f$ tedy může nabývat vázané lokální extrémy v bodech: $(1,0), (-1,0), (0,-1), (0,1).$

Odpověď. Funkce $f$ tedy nabývá na jednotkové kružnici maximum $f(0,\pm 1) = 2$ a minimum $f(\pm 1, 0) = 1.$

Postačující podmínky existence vázaného extrému

Věta (Weierstrass). Nechť $f:\mathbb R^n\supset\to\mathbb R$ je funkce spojitá na omezené a uzavřené množině $D\subseteq\mathbb R^n.$ Potom funkce nabývá na množině $D$ svého absolutního maxima i minima.

Věta. Předpokládejme, že funkce $f,g_1\ldots,g_s:\mathbb R^n\supset\to\mathbb R$ $(1\le s < n)$ jsou třídy $\textrm{C}^2$ na otevřené množině $U\subseteq\mathbb R^n$ a nechť v každém bodě $x\in U$ má Jacobiho matice vektorové funkce $G=(g_1,\ldots,g_s):\mathbb R^\supset\to\mathbb R$ $$\nabla G(x) = \left( \begin{matrix} \frac{\partial g_1}{\partial x_1}(x)&\ldots&\frac{\partial g_1}{\partial x_n}(x)\\ \cdots&\cdots&\cdots\\ \frac{\partial g_s}{\partial x_1}(x)&\ldots&\frac{\partial g_s}{\partial x_n} \end{matrix} \right)$$ maximální hodnost $s$. Dále nechť $a\in M,$ a $(\lambda_1,\ldots,\lambda_s)\in\mathbb R^s$ kde $$M = \{(x,y)\in U:\ G(x) = 0\}=\{(x,y)\in U:\ g_1(x) = 0,\ldots,g_s(x) = 0\}.$$ a nechť $a$ je stacionárním bodem Lagrangeovy funkce: $$L(x) = f(x) + \sum_{i=1}^s \lambda_i g_i(x).$$ Položme dále: $$T_a(M) = Lin\{\nabla g_1(a),\ldots,\nabla g_s(a)\}^{\bot}$$

a) Je-li kvadratická forma $d^2L_a$ na podprostoru $T_a(M)$ pozitivně definitní, pak funkce $f$ nabývá v bodě $a$ ostré lokální minimum vzhledem k množině $M.$

b) Je-li kvadratická forma $d^2L_a$ negativně definitní na podprostoru $T_a(M),$ pak funkce $f$ nabývá v bodě $a$ ostré lokální maximum vzhledem k množině $M.$

c) Je-li kvadratická forma $d^2L_a$ indefinitní na podprostoru $T_a(M),$ pak funkce $f$ v bodě $a$ nenabývá lokální extrém vzhledem k množině $M.$

Cvičení

a) Najděte vázané extrémy funkce $f(x,y) = xy$ s vazbou $x^2 +y^2 = 2.$

b) Rozložte číslo 64 na tři činitele, jejichž součet je minimální.

c) Najděte na sféře o rovnici $x^2 + y^2 + z^2 = 4$ body, které jsou nejbližší a nejvzdálenější od pevně zvoleného bodu $(3, 1, -1).$

d) Řešte pomocí metody Lagrangeových multiplikátorů následující úlohu, která byla již dříve řešena bez použití této metody:

má se vyrobit kartónová krabice hranolového tvaru z celkem 12 $m^2$ kartónu o maximálním možném objemu.