CoCalc -- 2-fev18 suites et séries.sagews

⁶⁹³ views

Thème 2 : suites et séries, programmation, représentation graphique.

Documentation : tutoriel-fr sagemath programmation, listes python, duckduckgo "sagemath suites" "sagemath sequences",...

Une suite finie peut être donnée par la liste de ses valeurs. Voir la documentation sur les listes Python ou tutorial-fr programmation.

Ex.1. Construire la liste des 10 premiers carrés d'entiers impairs. Représenter la graphiquement. Donner le 5ème terme.

l=[(2*n+1)^2 for n in range(10)] #cf google "sagemath listes par compréhention"
print l
print l[5] #affiche le 6ème terme !
print l[4]

[1, 9, 25, 49, 81, 121, 169, 225, 289, 361]
121
81

list_plot(l) #cf google "sagemath plot list"

#Alternative : "google sagemath point" puis point?
point([(i,l[i]) for i in range(len(l))])

Ex.2. Soient k et l les listes données par

k=[3, 2, 11, 10, 11, 11, 1, 14, 5, 7, 0, 14, 7, 7, 4, 4, 7, 3, 2, 4, 7, 9, 6, 14, 17, 14, 16, 7, 4, 1, 19, 11, 19, 13, 1, 15, 0, 1, 16, 7, 1, 16, 13, 11, 0, 8, 4, 8, 14, 11]
l=[9, 11, 14, 5, 19, 5, 2, 16, 12, 16, 14, 17, 14, 15, 4, 5, 4, 1, 14, 11, 11, 8, 9, 3, 10, 1, 2, 19, 5, 17, 15, 0, 17, 11, 5, 14, 3, 1, 16, 2, 5, 9, 18, 10, 0, 6, 4, 17, 12, 11]

Construire la liste sans répétition des éléments communs de k et l.

#Plusieurs réponses possibles
m=[i for i in k if i in l];print m #liste avec répétition
print list(set(m))#cf google "sagemath liste sans répétition" ou bien "sagemath list unique"
print uniq(m)

[3, 2, 11, 10, 11, 11, 1, 14, 5, 0, 14, 4, 4, 3, 2, 4, 9, 6, 14, 17, 14, 16, 4, 1, 19, 11, 19, 1, 15, 0, 1, 16, 1, 16, 11, 0, 8, 4, 8, 14, 11]
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 14, 15, 16, 17, 19]
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 14, 15, 16, 17, 19]

#Alternative : script
m=[]
for i in k:
    if i in l and not i in m:m=m+[i]
print m
m.sort();print m

[3, 2, 11, 10, 1, 14, 5, 0, 4, 9, 6, 17, 16, 19, 15, 8]
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 14, 15, 16, 17, 19]

Une suite peut être donnée par une expression.

ex.3. Calculer la limite qd $n\to+\infty$ de $\log(2n+1)-log(n)$ . Représenter graphiqement les 100 premiers termes de la suite.

#google "sagemath limit" puis limit?
limit(log(2*n+1)-log(n),n=oo)

log(19) - 2*log(3)

#Ce n'est pas correct ! Que se passe t-il ?
print n
var('n');limit(log(2*n+1)-log(n),n=oo)#conflit entre variable locale et globale !

9
n
log(2)

Une suite peut être définie par une relation récursive.

Ex.4. Soit $(u_n)$ la suite définie par : $u_0=0$ , $u_1=1$ , $u_{n+2}=u_{n+1}+u_{n}$ . Calculer $u_{10}$ . Représenter graphiquement les 100 premiers termes de $\log(u_n)$ . Conjecture sur le comportement ?

Plus généralement une fonction définie sur un ensemble muni d'une relation bien fondée peut être définie de façon récursive

Ex.5. Soit $(c_{n,k})_{n,k\in\mathbb{N}}$ défini par $c_{n,0}=1$ , $c_{n,k}=0$ si $k>n$ et par $c_{n+1,k+1}=c_{n,k+1}+c_{n,k}$ pour tout $n,k$ . Calculer $c_{10,5}$

#méthode itérative
a=0;b=1
for i in range(9):
    c=b;b=a+b;a=c
print b

55

#dessin
a=0;b=1;l=[(1,log(b))]
for i in range(99):
    c=b;b=a+b;a=c;l=l+[(i+2,log(b))]
point(l)

#On observe une progression linéaire de log(u_n) de pente
((l[99][1]-l[49][1])/50).n()

0.481211825059604

#Méthode récursive :
def u(n):
    if n==0:return(0)
    elif n==1:return(1)
    else:return(u(n-2)+u(n-1))
print u(10)

55

#c(n,k) définition récursive
def c(n,k):
    if k>n:return(0)
    elif k==0:return(1)
    else:return(c(n-1,k-1)+c(n-1,k))
print c(10,5)
print binomial(10,5)

252
252

#définition itérative : on construit le triangle de Pascal entier sous forme de liste de listes
c=[];n=10
for i in range(n+1):
    c=c+[[1]+[c[i-1][k]+c[i-1][k-1] for k in range(1,i+1)]+[0]]
    print c[i]
print(c[10][5])

[1, 0]
[1, 1, 0]
[1, 2, 1, 0]
[1, 3, 3, 1, 0]
[1, 4, 6, 4, 1, 0]
[1, 5, 10, 10, 5, 1, 0]
[1, 6, 15, 20, 15, 6, 1, 0]
[1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1, 0]
[1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1, 0]
[1, 9, 36, 84, 126, 126, 84, 36, 9, 1, 0]
[1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1, 0]
252

Séries

Ex.6. Calculer le 100ème terme de la série $\sum \frac{1}{1+n^2}$ . Ordre de grandeur ? Calculer la somme de cette série.

S=sum(1/(1+n^2) for n in range(100))
print S
print S.n()

1517024186778157128796852308091605406927992714443593192519549105603832112972065524497764524650026411946559956055721211528846639270782001602613505018759605436350145357886376985973299822229153/734059038271153602151391138846042145929882964724705953756202742727630169515041415417201983798063903104233254116883755940194590005545931033017987307218746292663489155184000258256242931637125
2.06662421915141

var('n');S=sum(1/(1+n^2),n,0,oo)
#cf sum?
print S
print S.n()

n
-1/2*I*psi(I) + 1/2*I*psi(-I)
2.07667404746858

#le résultat fait intervenir le nombre I et la fonction psi (qu'on ne connaît probablement pas)
#psi?
#difficile d'obtenir une documentation sur l'objet I
I^2

-1

Méthodes itératives pour la recherche d'un zéro ou d'un point fixe d'une fonction

Méthode itérative $u_{n+1}=f(u_n)$ pour la recherche d'un point fixe de $f$ . Essayer avec la fonction $f(x)=\sqrt{x+1}$ puis avec $g(x)=x^2-1$ . Représenter sur le graphe de la fonction les segments $[(u_n,u_n),(u_n,u_{n+1})]$ et $[(u_n,u_{n+1}),(u_{n+1},u_{n+1})]$ pour $n\in\{0..10\}$ .

Programmer la recherche par dichotomie du (des ?) zéro d'une fonction, illustration graphique

Méthode de Newton (documentation ?). Illustration graphique de la méthode.

Projet : recherche du maximum d'une fonction ; applications

p=point((1,1))
p=p+point((2,2))
show(p)

Thème 2 : suites et séries, programmation, représentation graphique.

Méthodes itératives pour la recherche d'un zéro ou d'un point fixe d'une fonction

Projet : recherche du maximum d'une fonction ; applications

Product

Resources

Company