# Kaip papildyti vektorių sistemą iki erdvės bazės?

def papildom_poerdviai(W, V):
    """
    Grąžina tiesinės erdvės V poerdvio W papildinio iki V bazę. 
    Kitaip sakant, randa tokį poerdvį U, kad V yra W ir U tiesioginė 
    suma ir grąžina jo bazę.
    """
    Q, pi, lift = V.quotient_abstract(W)
    Basis = [lift(v) for v in Q.basis()]
    return Basis

# pi   yra projekcijos atvaizdis iš erdvės V į faktorerdvę V/W: pi(v) = v + W.
# lift yra "atvirkštinis" atvaizdis iš faktorerdvės Q = V/W  į  erdvę V, tenkinantis 
# lygybę pi(lift(u)) = u  su visais u iš Q.


def papildom(vec, V):
    """
    Tiesinės erdvės V vektorių šeimą vec papildo vektoriais v1,..., vn iki 
    erdvės V bazės ir grąžina papildytus vektorius v1,..., vn.
    """
    return papildom_poerdviai(V.span(vec), V)

# Pavyzdys. Erdvėje R^3 rasime tokį vektorių v, kad vektorių šeimą (1,2,1), (3,5,1), v sudarytų 
#           šios erdvės bazę. 

vec = [vector([1,2,1]),vector([3,5,1])]
v = papildom(vec, QQ^3)[0]
v

# Pavyzdys. Erdvės R^3 vektorių v1 = (1,2,7,4), v_2 = (1,3,2,2), v3 = (4,1,2,1) tiesiniame 
#           apvalkale L(v1,v2,v3) rasime tokius vektorius u1 ir u2, kad vektorių šeima 
#           (2,5,9,6), u1, u2 sudarytų poerdvio L(v1,v2,v3) bazę. 

vec = [vector([1,2,7,4]),vector([1,3,2,2]),vector([4,1,2,1])]

L = (QQ^4).span(vec)  # Pasidarome tiesinį apvalkalą L(v1,v2,v3)

vektoriai = papildom([vector([2,5,9,6])], L)
u1 = vektoriai[0]
u2 = vektoriai[1]
u1
u2

# Patikriname:

L == (QQ^4).span([vector([2,5,9,6]),u1,u2])