Aplicación a un Sistema masa - resorte

Datos:
$m = 1$ kg
$k = \pi^{2}$ N/m
$x_{0}= 1$ m
$x^{'}_{0}=\pi$ m/s

Buscamos:
$x(t) = A\cos{(\omega t - \phi)}?$

Triangulo de relaciones trgonometricas — **Fig1.** - Sistema Masa - Resorte para éste problema.

Modelando la Ecuación Diferencial

De acuerdo a la ley de Hooke:
$F = -k x$
Además:
$F = m \ddot x$

Por tanto:
$m \ddot x = -k x$
De donde obtenemos:
$\Large m \ddot x + k x = 0$

Solución:

In [1]:

## Resolvoendo la ED: mx''-kx = 0
t = var('t')
x = function("x")(t)
m = 1
k = pi^2
ED = m*diff(x,t,2) + k*x==0
sol = desolve(ED, x, ivar=t)
show(sol)

Out[1]:

Resolviendo el PVI

Valores iniciales:

x_{0}=1

x_{0}^{'}=\pi

m/s

In [2]:

## Resolvoendo la ED: mx''-kx = 0
t = var('t')
x = function("x")(t)
m = 1
k = pi^2
ED = m*diff(x,t,2) + k*x==0
sol = desolve(ED, x, [0,-1,pi], ivar=t)
show(sol)

Out[2]:

Expresando el resultado forma: Amplitud - fase

Tenemos:

Utilizaremos las formulas:

$A = \displaystyle \sqrt {a^{2}+b^{2}}\,$
$\tan{\phi} = -\frac{b}{a}$

\large a\cos{\theta} + b\sin{\theta}=A\cos{(\theta-\phi)}

In [3]:

### alculando: A
a = -1
b = 1
A = sqrt(a^2+b^2)
show(A)

Out[3]:

In [4]:

### Calculando: phi
a = -1
b = 1
phiRadianes = arctan(n(b/a))
phiRadianes

Out[4]:

-0.785398163397448

In [5]:

# Transformando de radianes a grados
phiGrados = phiRadianes * 57.2958
phiGrados

Out[5]:

-45.0000160903875

In [6]:

# Ángulo suplemantario para el 2o cuadrante: 
angComplement = 180 + phiGrados
angComplement

Out[6]:

134.999983909612

In [7]:

# Grados a radianes escritos con pi
show(135*(pi/180))

Out[7]:

In [0]:

Aplicación a un Sistema masa - resorte

Modelando la Ecuación Diferencial

Resolviendo el PVI

Expresando el resultado forma: Amplitud - fase

Utilizaremos las formulas:

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