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Etude de la solution de Reissner-Nordström, et intégration numérique de géodésiques.

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This notebook was written under the supervision of Éric Gourgoulhon (LUTH) as part of my physics internship in July 2023.

Author : Nicolas Seroux

Solution de Reissner-Nordström

Définition de la variété d'espace-temps et de la métrique de Reissner-Nordström

On définit la métrique de Reissner-Nordström sur une variété M\mathscr{M} difféomorphe à R×R+×S2\mathbb{R}\times\mathbb{R}^*_+\times\mathbb{S}_2 que l'on munit des coordonnées de Schwarzschild (t,r,θ,φ)(t,r,\theta,\varphi) adaptées à la symétrie sphérique :

M = Manifold(4, 'M', latex_name=r'\mathscr{M}', structure='Lorentzian')
X.<t,r,th,ph> = M.chart(r"t r:(0,+oo) th:(0,pi):\theta ph:(0,2*pi):\varphi:periodic")

La métrique gg de Reissner-Nordström est définie en fonction des paramètres mm et QQ représentant respectivement la masse et la charge totale du trou noir. On supposera de plus que Q<m|Q|<m.

m = var('m') assume(m>=0) Q = var('Q') assume(abs(Q)<m)

On introduit également le polynôme Δ=r22mr+Q2\Delta=r^2-2mr+Q^2 qui simplifie l'expression de la métrique.

Del = r^2-2*m*r+Q^2

La métrique de Reissner-Nordström a une forme analogue à celle de la métrique de Schwarzschild :

g = M.metric() g[0,0] = -Del/r^2 g[1,1] = r^2/Del g[2,2] = r^2 g[3,3] = r^2*sin(th)^2 g.display()

g=(Q22mr+r2r2)dtdt+(r2Q22mr+r2)drdr+r2dθdθ+r2sin(θ)2dφdφ\displaystyle g = \left( -\frac{Q^{2} - 2 \, m r + r^{2}}{r^{2}} \right) \mathrm{d} t\otimes \mathrm{d} t + \left( \frac{r^{2}}{Q^{2} - 2 \, m r + r^{2}} \right) \mathrm{d} r\otimes \mathrm{d} r + r^{2} \mathrm{d} {\theta}\otimes \mathrm{d} {\theta} + r^{2} \sin\left({\theta}\right)^{2} \mathrm{d} {\varphi}\otimes \mathrm{d} {\varphi}

Equations d'Einstein

Tenseurs de courbure

On peut désormais calculer les tenseurs de Riemann et de Ricci liés à gg :

Riem = g.riemann() Rc = g.ricci() R = g.ricci_scalar()

L'espace-temps de Reissner-Nordstrom n'est pas Ricci-plat à cause du champ électromagnétique :

Rc.display()

Ric(g)=(Q42Q2mr+Q2r2r6)dtdt+(Q2Q2r22mr3+r4)drdr+Q2r2dθdθ+Q2sin(θ)2r2dφdφ\displaystyle \mathrm{Ric}\left(g\right) = \left( \frac{Q^{4} - 2 \, Q^{2} m r + Q^{2} r^{2}}{r^{6}} \right) \mathrm{d} t\otimes \mathrm{d} t + \left( -\frac{Q^{2}}{Q^{2} r^{2} - 2 \, m r^{3} + r^{4}} \right) \mathrm{d} r\otimes \mathrm{d} r + \frac{Q^{2}}{r^{2}} \mathrm{d} {\theta}\otimes \mathrm{d} {\theta} + \frac{Q^{2} \sin\left({\theta}\right)^{2}}{r^{2}} \mathrm{d} {\varphi}\otimes \mathrm{d} {\varphi}

On peut également calculer le tenseur d'Einstein associé :

G = Rc - R*g/2 G.set_name('G', latex_name=r'G') G.display()

G=(Q42Q2mr+Q2r2r6)dtdt+(Q2Q2r22mr3+r4)drdr+Q2r2dθdθ+Q2sin(θ)2r2dφdφ\displaystyle G = \left( \frac{Q^{4} - 2 \, Q^{2} m r + Q^{2} r^{2}}{r^{6}} \right) \mathrm{d} t\otimes \mathrm{d} t + \left( -\frac{Q^{2}}{Q^{2} r^{2} - 2 \, m r^{3} + r^{4}} \right) \mathrm{d} r\otimes \mathrm{d} r + \frac{Q^{2}}{r^{2}} \mathrm{d} {\theta}\otimes \mathrm{d} {\theta} + \frac{Q^{2} \sin\left({\theta}\right)^{2}}{r^{2}} \mathrm{d} {\varphi}\otimes \mathrm{d} {\varphi}

En outre, ce alcul du scalaire de Kretschman montre qu'il y a une singularité de courbure en r=0r=0 :

K = Riem.down(g)['_{abcd}']*Riem.up(g)['^{abcd}'] K.expr()

8(7Q412Q2mr+6m2r2)r8\displaystyle \frac{8 \, {\left(7 \, Q^{4} - 12 \, Q^{2} m r + 6 \, m^{2} r^{2}\right)}}{r^{8}}

Tenseur énergie-impulsion

On commence par exprimer le champ électromagnétique dans le co-repère associé aux coordonnées de Schwarzschild. On suppose que le potentiel électromagnétique AA à une forme simple où la symétrie sphérique est manifeste, et qui se réduit à l'expression usuelle du potentiel dans un espace-temps plat :

A = M.diff_form(1, name='A') A[M.default_frame(), 0] = -Q/r A.display()

A=Qrdt\displaystyle A = -\frac{Q}{r} \mathrm{d} t

Le champ électromagnétique est défini comme la différentielle extérieure du potentiel AA :

F = A.exterior_derivative() F.set_name('F') F.display()

F=Qr2dtdr\displaystyle F = -\frac{Q}{r^{2}} \mathrm{d} t\wedge \mathrm{d} r

Le tenseur énergie-impulsion TT est défini à partir du champ FF par :

Tμν=14πFαμFνα14FαβFαβgμν.T_{\mu\nu}=\frac{1}{4\pi}F_{\alpha\mu}F^\alpha_\nu-\frac{1}{4}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}g_{\mu\nu}.
Fuu = F.up(g) F2 = F['_ab']*Fuu['^ab'] Fud = F.up(g,0) T = 1/(4*pi)*( F['_k.']*Fud['^k_.'] - 1/4*F2 * g ) T.set_name('T',latex_name=r'T') T.display()

T=(Q42Q2mr+Q2r28πr6)dtdtQ28(πQ2r22πmr3+πr4)drdr+Q28πr2dθdθ+Q2sin(θ)28πr2dφdφ\displaystyle T = \left( \frac{Q^{4} - 2 \, Q^{2} m r + Q^{2} r^{2}}{8 \, \pi r^{6}} \right) \mathrm{d} t\otimes \mathrm{d} t -\frac{Q^{2}}{8 \, {\left(\pi Q^{2} r^{2} - 2 \, \pi m r^{3} + \pi r^{4}\right)}} \mathrm{d} r\otimes \mathrm{d} r + \frac{Q^{2}}{8 \, \pi r^{2}} \mathrm{d} {\theta}\otimes \mathrm{d} {\theta} + \frac{Q^{2} \sin\left({\theta}\right)^{2}}{8 \, \pi r^{2}} \mathrm{d} {\varphi}\otimes \mathrm{d} {\varphi}


En utilisant les calculs précédents, il est facile de vérifier que la métrique de Reissner-Nordström est une solution des équations d'Einstein :

G == 8*pi*T

True\displaystyle \mathrm{True}

Géodésiques dans l'espace-temps de Reissner-Nordström

On introduit un espace euclidien E3\mathbb{E}^3 dans lequel on projettera les géodésiques.

E3.<x,y,z> = EuclideanSpace() X3 = E3.cartesian_coordinates() to_E3 = M.diff_map(E3, {(X, X3): [r*sin(th)*cos(ph), r*sin(th)*sin(ph), r*cos(th)]}) to_E3.display()

ME3(t,r,θ,φ)(x,y,z)=(rcos(φ)sin(θ),rsin(φ)sin(θ),rcos(θ))\displaystyle \begin{array}{llcl} & \mathscr{M} & \longrightarrow & \mathbb{E}^{3} \\ & \left(t, r, {\theta}, {\varphi}\right) & \longmapsto & \left(x, y, z\right) = \left(r \cos\left({\varphi}\right) \sin\left({\theta}\right), r \sin\left({\varphi}\right) \sin\left({\theta}\right), r \cos\left({\theta}\right)\right) \end{array}

Une géodésique est caractérisée par un point p0p_0 de M\mathscr{M} et un vecteur v0Tp0Mv_0\in\mathrm{T}_{p_0}\mathscr{M}.

p0 = M((0,8*m,pi/2,0), name='p_0') v0 = M.tangent_space(p0)((1.4,0,0,0.06/m), name='v_0') v0.display()

v0=1.40000000000000t+0.0600000000000000mφ\displaystyle v_0 = 1.40000000000000 \frac{\partial}{\partial t } + \frac{0.0600000000000000}{m} \frac{\partial}{\partial {\varphi} }

On introduit un paramètre affine ss avant d'intégrer numériquement l'équation des géodsiques :

s = var('s') geod = M.integrated_geodesic(g, (s, 0, 500), v0) sol = geod.solve(parameters_values={m: 1, Q:1/2}) interp = geod.interpolate()

La projection des coordonnées de Schwarzschild dans E3\mathbb{E}^3 permet d'obtenir une visualisation des géodésiques :

graph = geod.plot_integrated(chart=X3, mapping=to_E3, plot_points=500, thickness=2, label_axes=False) graph += p0.plot(chart=X3, mapping=to_E3, size=4, parameters={m: 1, Q:1/2}) graph += sphere(size=2, color='grey') show(graph)

Le caractère répulsif du centre de symétrie r=0r=0 est manifeste si l'on trace une géodésique de même condition initiale dans l'espace-temps de Schwarzschild, i.e. pour Q=0Q=0.

s = var('s') geod_sch = M.integrated_geodesic(g, (s, 0, 90), v0) sol_sch = geod_sch.solve(parameters_values={m: 1, Q:0}) interp_sch = geod_sch.interpolate() graph_sch = geod_sch.plot_integrated(chart=X3, mapping=to_E3, plot_points=500, thickness=2, label_axes=False) # the geodesic graph_sch += p0.plot(chart=X3, mapping=to_E3, size=4, parameters={m: 1, Q:0}) # the starting point graph_sch += sphere(size=2, color='grey') # the event horizon show(graph_sch)