Ecuaciones Diferenciales para ingeniería BAIN081

Ecuaciones diferenciales de primer orden

Una ecuación diferencial es una ecuación donde hay involucrado un operador diferencial y la incognita es una función.Un ejemplo clásico es la ecuación: $$y(x)=\dfrac{dy}{dx}(x)$$

en esta ecuación, deseamos encontrar una función $y(x)$ que sea igual a su derivada. De calculo I sabemos que la derivada de la función $y(x)=e^x$ es $\frac{dy(x)}{dx}=e^x$, por lo tanto $y(x)=e^x$ es una solución de ecuación diferencial anterior. También lo es $y(x)=2e^x$, $y(x)=3e^x$, $y(x)=100e^x$. En general la solución es $y(x)=Ce^x,\ \forall C\in \mathbb{R}$.

Para resolver una ecuación diferencial usaremos la librería simbólica de python $\textbf{sympy}$, para usar la librería debemos importar la librería de la sigiuente forma: $\textbf{import sympy}$, si además queremos darle un anacrónimo podemos escribir $\textbf{import sympy as sym}$.

para declarar una variable simbólica $x$ y una función simbólica $y(x)$, debemos usar los objetos $\textbf{Symbol}$ y $\textbf{Function}$, de la siguiente manera:

Para declarar la ecuación diferencia $y=y'$, usando el objeto simbólico $\textbf{Eq}$ de $\textbf{sympy}$,

Para resolver la ecuación, simplemente, llamamos a la función $\textbf{dsolve}$ de $\textbf{sympy}$ que resuelve ecuaciones diferenciales y tiene por parámetro de entrada la ecuación que declaramos anteriormente.

Si deseamos graficar, punto a punto, una solución en particular por ejemplo cuando $C_1=1$ podemos utilizar la función $\textbf{matplotlib}$ de $\textbf{pyplot}$. Por lo tanto importaremor la librería $\textbf{matplotlib.pyplot}$ con el anacrónimo $\textbf{plt}$. Para trabajar con arreglos(vectores), necesitaremos la librería $\textbf{numpy}$.

Los vectores $xp=[xp_1,...xp_n]^t$ y $yp=[yp_1,...,yp_n]^t$ forman el conjunto de pares ordenados $\{(xp_i,yp_i)\}_{i=1}^n$, con los cuales generaremos la gáfica de la función $y(x)=e^x$. En $\textbf{python}$ podemos declarar el vector $xp=[0,0.1,0.2,0.3,....,9.9,10]^t$ usando la función $\textbf{arange}$ de $\textbf{numpy}$. Para determinar la imagen de la función $y(x)=e^x$, usamos la función exponencial de $\textbf{numpy}$.

para gráficar usamos la función $\textbf{plot}$ y $\textbf{show}$.

Una forma más sencilla para graficar, es usando la librería simbólica $\textbf{simpy}$, mediante la función $\textbf{plot}$.

En ambos caso solo graficamos la solución cuando $C_1=1$, para graficar la familia de soluciones $y(x)=C_1e^x$, debemos graficar para diversos valores de $C_1$, por ejemplo para $C_1=0,\ C_1=1,.......$. Por lo tanto crearemos un arreglo de gráficas y luego las mostraremos todas juntas. Antes de eso debemos escribir la solución de la Edo como una función lambda de octave.

Ejercicios:

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales y grafique la familia de soluciones correspondiente.

(a) $xy'-y\tan(\ln(y))=0$

(b) $y=\frac{1}{4}y'x-1$

Notemos que la solución es un arreglo de ecuaciones (las dos ramas de la solución), si queremos que se muestre una rama simplificada de la solución, podemo aplicar el comando $\textbf{simplify}$, a una componente del arreglo.

Para poder graficar alguna de las soluciones debemos tener en cuenta que el dominio de la solución depende de $c_1$, de la siguiente manera:

*) Para estudiar distintas formas de construir graficos usando variable simbólica: https://docs.sympy.org/latest/modules/plotting.html

*) Para estudiar como utilizar variables simbólicas en python: https://docs.sympy.org/latest/index.html