Riemannův integrál v $\mathbb R^n$

Riemannův integrál přes 2-rozměrný interval

Definice. Dvourozměrným uzavřeným obdélníkem budeme rozumět jakoukoli množinu $$B = \langle a_1, b_1\rangle\times\langle a_2,b_2\rangle,$$ kde $a_i\le b_i,\ i=1,2.$ Obsah obdélníka $B$ se definuje vztahem $$\nu(B) = (b_1-a_1)\cdot(b_2-a_2).$$

Je-li $I = \langle a,b\rangle$, $a < b$

jednorozměrný interval, pak dělením intervalu $I$ rozumíme jakoukoli množinu $P = \{x_0,x_1,\ldots,x_n\}\subset\langle a,b\rangle,\ \ n\ge 1$, kde platí: $$a = x_0 < x_1 < \ldots < x_{n-1} < x_n = b.$$

Systém všech dělení intervalu $\langle a,b\rangle$ označíme symbolem $\mathcal P(\langle a,b\rangle).$ Dílčím intervalem dělení $P = \{x_0,x_1,\ldots,x_n\}$ rozumíme jakýkoli interval $I = \langle x_j, x_{j+1}\rangle,$ kde $0\le j < n.$ Dělením dvourozměrného obdélníka $B = \langle a_1, b_1\rangle\times\langle a_2,b_2\rangle$ rozumíme jakoukoli množinu $P \subset B,$ pro kterou existují dělení $P_1\in\mathcal P(\langle a_1,b_1\rangle)$ a $P_2\in\mathcal P(\langle a_2,b_2\rangle)$ taková, že $$P = P_1\times P_2.$$

Systém všech dělení dvojrozměrného intervalu $B$ označíme ve shodě s jednorozměrným případem symbolem $\mathcal P(B).$ Dílčím intervalem příslušným dělení $P$ dvojrozměrného intervalu $B = \langle a_1, b_1\rangle\times\langle a_2,b_2\rangle$ rozumíme interval $J = I_1\times I_2,$, kde $I_1$ resp. $I_2$ jsou dílčími intervaly dělení $P_1\in\mathcal P(\langle a_1,b_1\rangle)$ resp. $P_2\in \mathcal P(\langle a_2,b_2\rangle).$ Mějme dále dánu omezenou reálnou funkci $f:B\to\mathbb R$ na dvojrozměrném intervalu $B\subset\mathbb R^2$ a nechť $P\in\mathcal P(B).$ Potom pro každý dílčí interval $I$ dělení zavedme označení $$m_I(f) := \inf_{x\in I}f(x),\ \ \ M_I(f) := \sup_{x\in I}f(x).$$ Nyní budeme definovat dolní resp. horní integrální součet příslušný funkci $f$ a dělení $P$ vztahy $$L(f,P) := \sum_I m_I(f)\nu(I),\ \ \ U(f,P) := \sum_I M_I(f)\nu(I),$$ kde sčítáme přes všechny dílčí intervaly $I$ dělení $P.$

Řekneme, že funkce Riemannovsky integrabilní, jestliže platí: $$\sup_P L(f,P) = \inf_P U(f,P),$$ kde suprémum a infimum je bráno přes všechna dělení $P\in\mathcal P(B).$ Je-li funkce Riemannovsky integrabilní, potom společnou hodnotu $\sup_P L(f,P) = \inf_P U(f,P)$ nazveme Riemannovým integrálem funkce $f$ přes uzavřený interval $B$. Tuto hodnotu označíme symbolem $\int_B f.$

Alternativně se značí hodnota Riemannova integrálu takto: $\int_B f(\vec x)d\vec x$ nebo $\iint_B f(x_1,x_2)dx_1dx_2.$

Poznámky k definici

1. Pro libovolné dělení $P\in\mathcal P(B)$ zřejmě platí: $$L(f,P) \le U(f,P).$$

2. Pro dvě libovolná dělení $P_1,P_2\in\mathcal P(B)$ platí nerovnost $$L(f,P_1) \le U(f,P_2).$$

3. Množina dolních integrálních součtů $$\{L(f,P): P\in\mathcal P(B)\}$$ a množina horních integrálních součtů $$\{U(f,P): P\in\mathcal P(B)\}$$ jsou omezenými množinami.

4. Platí: $$\sup\{L(f,P):P\in\mathcal P(B)\} \le \inf\{U(f,P):P\in\mathcal P(B)\}.$$

5. Je-li $B\subset\mathbb R^2$ uzavřený dvojrozměrný interval a $f:\mathbb R^2\supset\to\mathbb R,$ přičemž platí $B\subset D_f$, potom je funkce $f$ Riemannovsky integrabilní na obdélníku $B$, je-li zúžení $f\vert_B$ funkce $f$ na obdélník $B$ Riemannovsky integrabilní, přičemž $\int_B f :=\int_Bf\vert_B.$

Postačující podmínka integrability

Věta. Je-li $B\subset\mathbb R^2$ uzavřený dvojrozměrný interval a $f:B\to\mathbb R$ je omezená funkce, potom je funkce $f$ Riemannovsky integrabilní, je-li spojitá všude s vyjímkou bodů ležících na konečném počtu hladkých křivek.

Riemannův integrál přes omezenou množinu

Předpokládejme, že $S\subset\mathbb R^2$ je omezenou množinou. Tedy existuje uzavřený obdélník $B\subset\mathbb R^2$ takový, že $S\subset B.$ Uvažujme nyní funkci $f:S\to\mathbb R.$ Potom symbol $f_S$ značí funkci, která je rozšířením funkce $f$ nulou a danou předpisem: $$f_S(x) = \begin{cases} f(x), & x\in S\\ 0, & x\notin S. \end{cases}$$

Je-li $f:S\to\mathbb R$ omezenou funkcí na množině $S$, potom řekneme, že funkce $f$ je Riemannovosky integrabilní na obdélníku, je-li rozšíření $f_S$ Riemannovsky integrabilní funkcí na obdélníku $B\subset\mathbb R^2,$ který obsahuje množinu $S$ jako svoji podmnožinu. Pak definujeme: $$\int_S f := \int_B f_S.$$

Poznámky k definici

Platí následující pomocná věta:

Lemma. Nechť $S\subset\mathbb R$ je omezená množina a $f:S\to\mathbb R$ je omezenou funkcí, takovou, že existuje Riemannův integrál $\int_B f_S$ na uzavřeném dvojrozměrném obdélníku $B$ obsahujícím množinu $S$ jako svoji podmnožinu. Potom existuje Riemannův integrál $\int_{B'}f_S$ pro jakýkoli uzavřený dvojrozměrný interval $B'$ obsahující množinu $S$ jako svoji podmnožinu a platí: $$\int_B f_S = \int_{B'} f_S.$$

Předchozí lemma vlastně říká, že existence ani hodnota Riemannova intrgrálu $\int_Sf$ nezávisí na volbě uzavřeného dvojrozměrného intervalu $B$ takového, že $S\subset B.$

Vlastnosti Riemannova integrálu

Věta (Linearita). Je-li $B$ uzavřený dvojrozměrný interval v $\mathbb R^2$ a $f,g:B\to\mathbb R$ Riemannovsky integrabilní funkce a jsou-li $\alpha,\beta\in\mathbb R,$ potom je funkce $\alpha f + \beta g$ Riemannovsky integrabilní funkcí a platí: $$\int_B (\alpha f + \beta g) = \alpha\int_B f + \beta\int_B g.$$

Odhad hodnoty dvojného integrálu.

Věta. Předpokládejme, že $B = \langle a,b\rangle\times\langle c,d\rangle.$ Dále nechť pro $m,n\in\mathbb N$ je $\Delta x = (b-a)/m,\ \Delta y = (d-c)/n.$ Dále pak $\Delta B = \Delta x\cdot\Delta y$ a pro každé $i\in\{0,1,\ldots,m\},\ j\in\{0,1,\ldots,n\}$ je $x_i = a + i\cdot \Delta x,\ y_j = c + j\cdot\Delta y.$ Pak $$\iint_B f(x,y)dxdy \approx \sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n f(\bar x_i,\bar y_j)\Delta B.$$ Zde je $\bar x_i$ resp. $\bar y_j$ střed intervalu $\langle x_{i-1}, x_i\rangle$ resp. intervalu $\langle y_{j-1}, y_j\rangle.$

Popišme nyní podrobně, jak budeme počítat uvedený odhad. Nejdříve sestrojme rovnoměrné dělení intervalu $\langle a,b\rangle$ a pak rovnoměrné dělení intervalu $\langle c,d\rangle.$

Příklad.

Uvažujme funkci $f(x,y) = x-3y^2.$ Odhadněmě hodnotu dvojného integrálu $$I = \iint_B(x-3y^2)dxdy,$$ kde $B = \{(x,y)\mid 0\le x\le 2,\ 1\le y\le 2\}.$

Částečné integrály (Fubiniova věta na obdélníku)

Předpokládejme, že funkce $f$ je na intervalu $B=\langle a,b\rangle\times\langle c,d\rangle$ integrabilní. Dále pro každé $x\in\langle a,b\rangle$ uvažujme integrál $$I(x) = \int_c^d f(x,y) dy.$$ Tento integrál budme nazývat částečným (parciálním) integrálem funkce $f$ vzhledem k proměnné $y.$

Uvažujme opět funkci $z = f(x,y) = x - 3y^2$ a počítejme částečný integrál: $$I(x) = \int_1^2 (x - 3y^2)dy.$$

Nyní počítejme integrál $\int_0^2 I(x)dx.$

Věta (Fubiniova věta).

Předpokládejme, že funkce $z = f(x,y)$ je spojitá na obdélníku $$B = \{(x,y) \mid a\le x\le b,\ c\le y\le d\}.$$ Potom platí: $$\iint_B f(x,y)dB = \int_a^b\int_c^d f(x,y)dydx = \int_c^d\int_a^b f(x,y)dxdy.$$ Tedy z předpokladu spojitosti funkce $f$ plyne existence obou tzv. dvojnásobných integrálů napravo stejně jako tzv. dvojného integrálu vlevo a platí uvedené rovnosti.

Z uvedené Fubiniovy věty nyní plyne, že $$I = \iint_B(x-3y^2)dxdy = -12.$$ Porovnejte aproximace tohoto integrálu pomocí "midpoint rule" s přesnou hodnotou tohoto integrálu.

Příklad

Spočítejme dvojný integrál $\int_{\langle 0,2\rangle\times\langle 1,2\rangle}(x-3y^2)dxdy$ jiným způsobem než jsme tak učinili výše.

Řešení

Vyjádřeme funkci $J(y) = \int_0^2 f(x,y)dx.$

Nyní podle fubiniovy věty je hodnota dvojného integrálu $I$ rovna integrálu $\int_1^2 J(y)dy.$

Příklad

Vypočítejme dvojný integrál $\iint_B$

Objem tělesa omezeného grafem funkce

Věta. Je-li $f(x,y)\ge 0,$ potom je objem $V$ tělesa omezeného uzavřeným dvojrozměrným obdélníkem $B$ a plochou o rovnici $z = f(x,y)$ roven dvojnému integrálu: $$V = \iint_B f(x,y)dxdy.$$

Příklad

Vypočítejme objem tělesa omezeného grafem funkce $z = 16 - x^2 - 2y^2$ nad intervalem $B = \langle 0,2\rangle\times\langle 0,2\rangle.$

Řešení