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Kernel: SageMath (stable)

Sistemas de ecuaciones diferenciales

A continuación, bosquejaremos las soluciones de algunas ecuaciones diferenciales fundamentales en las ciencias

Ecuación logística

La función logística, curva logística o curva en forma de S es una función matemática que aparece en diversos modelos de crecimiento de poblaciones, propagación de enfermedades epidémicas y difusión en redes sociales. 

t,x = var("t,x")
r = 1
x_t = r*(1-x)*x
intervalo_t = (t,-10,10)
intervalo_x = (x,-1,2)
campo = plot_vector_field((1,x_t), intervalo_t, intervalo_x, color="red")
campo.show(gridlines=True)
Image in a Jupyter notebook

Sistemas gradientes

(x˙,y˙)=−∇V(x,y) (\dot{x},\dot{y}) = -\nabla V(x,y) 

x,y=var("x,y")
V(x,y)=x^2*(1-x)^2+y^2
xt = -V.diff(x)
yt = -V.diff(y)
intervalo_x = (x,-1,2)
intervalo_y = (y,-2,2)
campo = plot_vector_field((xt,yt), intervalo_x, intervalo_y, color="red")
campo += contour_plot(V(x,y), intervalo_x, intervalo_y, fill=False, cmap="jet", colorbar=True)
campo.show(gridlines=True)
Image in a Jupyter notebook
cm = colormaps.jet
def c(x,y): return x^2*(1-x)^2+y^2
print(latex(c(x,y)))
superficie = plot3d(V(x,y), (x,-.5,1.5), (y,-1,1), adaptative=True, color=(c,cm))
superficie.show(aspect_ratio=1)
superficie.save('tmp.png',aspect_ratio=1)
{\left(x - 1\right)}^{2} x^{2} + y^{2} 
heatmap = density_plot(V(x,y), intervalo_x, intervalo_y, cmap='jet')
heatmap.show(gridlines=True)
Image in a Jupyter notebook

Sistemas Hamiltonianos 

x,y=var("x,y")
H(x,y)=(1/2)*y^2+(1/2)*x^2
xt = H.diff(y)
yt = -H.diff(x)
intervalo_x = (x,-5,5)
intervalo_y = (y,-5,5)
show("H(x,y)=",H(x,y))
campo = plot_vector_field((xt,yt), intervalo_x, intervalo_y)
campo += contour_plot(H(x,y), intervalo_x, intervalo_y, fill=False, cmap="jet")
campo.show(gridlines=True)
Image in a Jupyter notebook
cm = colormaps.jet
def c(x,y): return (1/2)*y^2+(1/2)*x^2
print(latex(c(x,y)))
superficie = plot3d(H(x,y), (x,-1,1), (y,-1,1), adaptative=True, color=(c,cm))
superficie.show(aspect_ratio=1)
superficie.save('oscilador.png',aspect_ratio=1)
\frac{1}{2} \, x^{2} + \frac{1}{2} \, y^{2} 
x,y=var("x,y")
H(x,y)=(1/2)*y^2-x*y+(1/2)*x^2
xt = H.diff(y)
yt = -H.diff(x)
intervalo_x = (x,-10,10)
intervalo_y = (y,-5,5)
show("H(x,y)=",H(x,y))
campo = plot_vector_field((xt,yt), intervalo_x, intervalo_y)
campo += contour_plot(H(x,y), intervalo_x, intervalo_y, fill=False, cmap="jet")
campo.show(gridlines=True)
Image in a Jupyter notebook
x,y=var("x,y")
m = (1/2)^4
H(x,y)=(1/(2*m))*y^2-(1/2)*cos(2*pi*x)
xt = H.diff(y)
yt = -H.diff(x)
intervalo_x = (x,-2,2)
intervalo_y = (y,-1,1)
show("H(x,y)=",H(x,y))
campo = plot_vector_field((xt,yt), intervalo_x, intervalo_y, color="purple")
campo += contour_plot(H(x,y), intervalo_x, intervalo_y, fill=False, cmap="jet")
campo.show(gridlines=True)
Image in a Jupyter notebook