Point critiques

Comme pour les fonctions d'une variable, les points candidats pour trouver les maximums et les minimums relatifs d'une fonction de plusieurs variables se trouvent parmi :

• Les points critiques, c'est à dire les points poù $\nabla f = 0$ ou $\nabla f$ n'existe pas

• Le bord du domaine sur lequel on cherche à maximiser / minimiser $f$.

Pour déterminer la nature d'un point critique, on utilise le Hessien de la fonction en ce point. Un point critique peut être :

• maximum local

• minimum local

• point de selle (ni max ni min)

Exemple

Trouver les points critiques de $f : (x,y)\mapsto x \sin y$, et déterminer leur nature.

Cette fonction admet une infinité de points critiques, de la forme $(0, k\pi)$ avec $k\in\mathbb{Z}$. Ils sont tous des points de selle. Un regard au diagramme des courbes de niveau est illustratif : les points critiques correspondent aux points où le champ gradient $\nabla f$ s'annule.

Exemple

Trouver les maximums et minimums locaux et globaux de $f: (x,y) \mapsto x^4+y^4-4xy+1$ sur la région $(x,y)\in \mathbb{R}^2$ tels que $0\leqslant x \leqslant 3, 0\leqslant y \leqslant 2$

Exemple

Voons un point de selle