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License: OTHER
ubuntu2004
Kernel: SageMath 9.7

Sample of QEPCAD

Some examples in Sagemath Reference. 2022/Oct/08.

%display latex var('a,b,c,d,x,y,z'); qf = qepcad_formula
ellipse = 3*x^2 + 2*x*y + y^2 - x + y - 7
F = qf.exists(y, ellipse == 0); F

(E y)[3 x^2 + 2 x y + y^2 - x + y - 7 = 0]\displaystyle \verb|(E|\verb| |\verb|y)[3|\verb| |\verb|x^2|\verb| |\verb|+|\verb| |\verb|2|\verb| |\verb|x|\verb| |\verb|y|\verb| |\verb|+|\verb| |\verb|y^2|\verb| |\verb|-|\verb| |\verb|x|\verb| |\verb|+|\verb| |\verb|y|\verb| |\verb|-|\verb| |\verb|7|\verb| |\verb|=|\verb| |\verb|0]|

qepcad(F)

8 x^2 - 8 x - 29 <= 0\displaystyle \verb|8|\verb| |\verb|x^2|\verb| |\verb|-|\verb| |\verb|8|\verb| |\verb|x|\verb| |\verb|-|\verb| |\verb|29|\verb| |\verb|<=|\verb| |\verb|0|

qepcad(qf.exists(x, ellipse == 0))

8 y^2 + 16 y - 85 <= 0\displaystyle \verb|8|\verb| |\verb|y^2|\verb| |\verb|+|\verb| |\verb|16|\verb| |\verb|y|\verb| |\verb|-|\verb| |\verb|85|\verb| |\verb|<=|\verb| |\verb|0|

circle = x^2 + y^2 - 3
F = qf.exactly_k(3, y, circle * ellipse == 0); F

(X3 y)[(3 x^2 + 2 x y + y^2 - x + y - 7) (x^2 + y^2 - 3) = 0]\displaystyle \verb|(X3|\verb| |\verb|y)[(3|\verb| |\verb|x^2|\verb| |\verb|+|\verb| |\verb|2|\verb| |\verb|x|\verb| |\verb|y|\verb| |\verb|+|\verb| |\verb|y^2|\verb| |\verb|-|\verb| |\verb|x|\verb| |\verb|+|\verb| |\verb|y|\verb| |\verb|-|\verb| |\verb|7)|\verb| |\verb|(x^2|\verb| |\verb|+|\verb| |\verb|y^2|\verb| |\verb|-|\verb| |\verb|3)|\verb| |\verb|=|\verb| |\verb|0]|

qepcad(F)

x^2 - 3 <= 0 /\ 8 x^2 - 8 x - 29 <= 0 /\ 8 x^4 - 26 x^2 - 4 x + 13 >= 0 /\ [ 8 x^4 - 26 x^2 - 4 x + 13 = 0 \/ x^2 - 3 = 0 \/ 8 x^2 - 8 x - 29 = 0 ]\displaystyle \verb|x^2|\verb| |\verb|-|\verb| |\verb|3|\verb| |\verb|<=|\verb| |\verb|0|\verb| |\verb|/\|\verb| |\verb|8|\verb| |\verb|x^2|\verb| |\verb|-|\verb| |\verb|8|\verb| |\verb|x|\verb| |\verb|-|\verb| |\verb|29|\verb| |\verb|<=|\verb| |\verb|0|\verb| |\verb|/\|\verb| |\verb|8|\verb| |\verb|x^4|\verb| |\verb|-|\verb| |\verb|26|\verb| |\verb|x^2|\verb| |\verb|-|\verb| |\verb|4|\verb| |\verb|x|\verb| |\verb|+|\verb| |\verb|13|\verb| |\verb|>=|\verb| |\verb|0|\verb| |\verb|/\|\verb| |\verb|[|\verb| |\verb|8|\verb| |\verb|x^4|\verb| |\verb|-|\verb| |\verb|26|\verb| |\verb|x^2|\verb| |\verb|-|\verb| |\verb|4|\verb| |\verb|x|\verb| |\verb|+|\verb| |\verb|13|\verb| |\verb|=|\verb| |\verb|0|\verb| |\verb|\/|\verb| |\verb|x^2|\verb| |\verb|-|\verb| |\verb|3|\verb| |\verb|=|\verb| |\verb|0|\verb| |\verb|\/|\verb| |\verb|8|\verb| |\verb|x^2|\verb| |\verb|-|\verb| |\verb|8|\verb| |\verb|x|\verb| |\verb|-|\verb| |\verb|29|\verb| |\verb|=|\verb| |\verb|0|\verb| |\verb|]|

qepcad(F, solution='geometric')

x = _root_1 8 x^2 - 8 x - 29\/}}\8 x^4 - 26 x^2 - 4 x + 13 = 0\/}}\x = _root_-1 x^2 - 3\displaystyle \begin{array}{l} \verb|x|\verb| |\verb|=|\verb| |\verb|_root_1|\verb| |\verb|8|\verb| |\verb|x^2|\verb| |\verb|-|\verb| |\verb|8|\verb| |\verb|x|\verb| |\verb|-|\verb| |\verb|29|\\ \verb|\/}}\|\verb|8|\verb| |\verb|x^4|\verb| |\verb|-|\verb| |\verb|26|\verb| |\verb|x^2|\verb| |\verb|-|\verb| |\verb|4|\verb| |\verb|x|\verb| |\verb|+|\verb| |\verb|13|\verb| |\verb|=|\verb| |\verb|0|\\ \verb|\/}}\|\verb|x|\verb| |\verb|=|\verb| |\verb|_root_-1|\verb| |\verb|x^2|\verb| |\verb|-|\verb| |\verb|3| \end{array}

F = qf.and_(ellipse < 0, circle < 0); F

[3 x^2 + 2 x y + y^2 - x + y - 7 < 0 /\ x^2 + y^2 - 3 < 0]\displaystyle \verb|[3|\verb| |\verb|x^2|\verb| |\verb|+|\verb| |\verb|2|\verb| |\verb|x|\verb| |\verb|y|\verb| |\verb|+|\verb| |\verb|y^2|\verb| |\verb|-|\verb| |\verb|x|\verb| |\verb|+|\verb| |\verb|y|\verb| |\verb|-|\verb| |\verb|7|\verb| |\verb|<|\verb| |\verb|0|\verb| |\verb|/\|\verb| |\verb|x^2|\verb| |\verb|+|\verb| |\verb|y^2|\verb| |\verb|-|\verb| |\verb|3|\verb| |\verb|<|\verb| |\verb|0]|

qepcad(F)

y^2 + 2 x y + y + 3 x^2 - x - 7 < 0 /\ y^2 + x^2 - 3 < 0\displaystyle \verb|y^2|\verb| |\verb|+|\verb| |\verb|2|\verb| |\verb|x|\verb| |\verb|y|\verb| |\verb|+|\verb| |\verb|y|\verb| |\verb|+|\verb| |\verb|3|\verb| |\verb|x^2|\verb| |\verb|-|\verb| |\verb|x|\verb| |\verb|-|\verb| |\verb|7|\verb| |\verb|<|\verb| |\verb|0|\verb| |\verb|/\|\verb| |\verb|y^2|\verb| |\verb|+|\verb| |\verb|x^2|\verb| |\verb|-|\verb| |\verb|3|\verb| |\verb|<|\verb| |\verb|0|

qepcad(F, solution='geometric')

[  [    x = _root_-2 8 x^4 - 26 x^2 - 4 x + 13    \/}}\    x = _root_2 8 x^4 - 26 x^2 - 4 x + 13    \/}}\    8 x^4 - 26 x^2 - 4 x + 13 < 0  ]  /\}}\  y^2 + 2 x y + y + 3 x^2 - x - 7 < 0  /\}}\  y^2 + x^2 - 3 < 0]\/}}\[  x > _root_2 8 x^4 - 26 x^2 - 4 x + 13  /\}}\  x < _root_-2 8 x^4 - 26 x^2 - 4 x + 13  /\}}\  y^2 + x^2 - 3 < 0]\displaystyle \begin{array}{l} \verb|[|\\ \verb| |\verb|[|\\ \verb| |\verb|x|\verb| |\verb|=|\verb| |\verb|_root_-2|\verb| |\verb|8|\verb| |\verb|x^4|\verb| |\verb|-|\verb| |\verb|26|\verb| |\verb|x^2|\verb| |\verb|-|\verb| |\verb|4|\verb| |\verb|x|\verb| |\verb|+|\verb| |\verb|13|\\ \verb| |\verb|\/}}\|\verb| |\verb|x|\verb| |\verb|=|\verb| |\verb|_root_2|\verb| |\verb|8|\verb| |\verb|x^4|\verb| |\verb|-|\verb| |\verb|26|\verb| |\verb|x^2|\verb| |\verb|-|\verb| |\verb|4|\verb| |\verb|x|\verb| |\verb|+|\verb| |\verb|13|\\ \verb| |\verb|\/}}\|\verb| |\verb|8|\verb| |\verb|x^4|\verb| |\verb|-|\verb| |\verb|26|\verb| |\verb|x^2|\verb| |\verb|-|\verb| |\verb|4|\verb| |\verb|x|\verb| |\verb|+|\verb| |\verb|13|\verb| |\verb|<|\verb| |\verb|0|\\ \verb| |\verb|]|\\ \verb| |\verb|/\}}\|\verb| |\verb|y^2|\verb| |\verb|+|\verb| |\verb|2|\verb| |\verb|x|\verb| |\verb|y|\verb| |\verb|+|\verb| |\verb|y|\verb| |\verb|+|\verb| |\verb|3|\verb| |\verb|x^2|\verb| |\verb|-|\verb| |\verb|x|\verb| |\verb|-|\verb| |\verb|7|\verb| |\verb|<|\verb| |\verb|0|\\ \verb| |\verb|/\}}\|\verb| |\verb|y^2|\verb| |\verb|+|\verb| |\verb|x^2|\verb| |\verb|-|\verb| |\verb|3|\verb| |\verb|<|\verb| |\verb|0|\\ \verb|]|\\ \verb|\/}}\|\verb|[|\\ \verb| |\verb|x|\verb| |\verb|>|\verb| |\verb|_root_2|\verb| |\verb|8|\verb| |\verb|x^4|\verb| |\verb|-|\verb| |\verb|26|\verb| |\verb|x^2|\verb| |\verb|-|\verb| |\verb|4|\verb| |\verb|x|\verb| |\verb|+|\verb| |\verb|13|\\ \verb| |\verb|/\}}\|\verb| |\verb|x|\verb| |\verb|<|\verb| |\verb|_root_-2|\verb| |\verb|8|\verb| |\verb|x^4|\verb| |\verb|-|\verb| |\verb|26|\verb| |\verb|x^2|\verb| |\verb|-|\verb| |\verb|4|\verb| |\verb|x|\verb| |\verb|+|\verb| |\verb|13|\\ \verb| |\verb|/\}}\|\verb| |\verb|y^2|\verb| |\verb|+|\verb| |\verb|x^2|\verb| |\verb|-|\verb| |\verb|3|\verb| |\verb|<|\verb| |\verb|0|\\ \verb|]| \end{array}

F = qf.exists(y, qf.and_(circle == 0, x + y > 0)); F

(E y)[x^2 + y^2 - 3 = 0 /\ x + y > 0]\displaystyle \verb|(E|\verb| |\verb|y)[x^2|\verb| |\verb|+|\verb| |\verb|y^2|\verb| |\verb|-|\verb| |\verb|3|\verb| |\verb|=|\verb| |\verb|0|\verb| |\verb|/\|\verb| |\verb|x|\verb| |\verb|+|\verb| |\verb|y|\verb| |\verb|>|\verb| |\verb|0]|

qepcad(F)

x^2 - 3 <= 0 /\ [ x > 0 \/ 2 x^2 - 3 < 0 ]\displaystyle \verb|x^2|\verb| |\verb|-|\verb| |\verb|3|\verb| |\verb|<=|\verb| |\verb|0|\verb| |\verb|/\|\verb| |\verb|[|\verb| |\verb|x|\verb| |\verb|>|\verb| |\verb|0|\verb| |\verb|\/|\verb| |\verb|2|\verb| |\verb|x^2|\verb| |\verb|-|\verb| |\verb|3|\verb| |\verb|<|\verb| |\verb|0|\verb| |\verb|]|

qepcad(F, solution='extended')

x^2 - 3 <= 0 /\ x > _root_1 2 x^2 - 3\displaystyle \verb|x^2|\verb| |\verb|-|\verb| |\verb|3|\verb| |\verb|<=|\verb| |\verb|0|\verb| |\verb|/\|\verb| |\verb|x|\verb| |\verb|>|\verb| |\verb|_root_1|\verb| |\verb|2|\verb| |\verb|x^2|\verb| |\verb|-|\verb| |\verb|3|