HladanieNormalnehoRozdelenia.sagews

Hľadanie tvaru normálneho rozdelenia

# 1. krok - zvonovitý tvar ("slon pod kobercom, Kilimanjaro")
f0(x) = exp(-x^2/2)
f0(x).show()
plot(f0(x),-3,3)

$\displaystyle e^{\left(-\frac{1}{2} \, x^{2}\right)}$

# 2. krok - normovanie - jednotková pravdepodobnosť pod krivkou hustoty
A0 = integral(f0(x),x,-oo,oo)
A0.show()
A0

$\displaystyle \sqrt{2} \sqrt{\pi}$

sqrt(2)*sqrt(pi)

# dx "zmenšíme" na dx/A0, alebo zmenšíme hustotu A0 krát
f0n(x) = 1/A0*f0(x)
# kontrola normovania
integral(f0n(x),x,-oo,oo)

1

# 3. miery rozdelenia - parametre stredná hodnota, smerodajná odchýlka
m0 = integral(x*f0n(x),x,-oo,oo)
m0.show()
s0 = sqrt(integral(x^2*f0n(x),x,-oo,oo))
s0.show()

$\displaystyle 0$

$\displaystyle 1$

# tvar a graf hustoty rozdelenia s nulovou strednou hodnotou a jednotkou odchýlkou
show(f0n(x))
plot(f0n(x),-3,3)

$\displaystyle \frac{\sqrt{2} e^{\left(-\frac{1}{2} \, x^{2}\right)}}{2 \, \sqrt{\pi}}$

Štandarné normálne rozdelenie

$\Large f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$

$0$ je stredná hodnota rozdelenia $1$ je smerodajná odchýlka rozdelenia

# 4. ľubovoľná odchýlka s
%var s
assume(s>0)

f1(x) = 1/s*f0n(1/s*x)
f1(x).show()

$\displaystyle \frac{\sqrt{2} e^{\left(-\frac{x^{2}}{2 \, s^{2}}\right)}}{2 \, \sqrt{\pi} s}$

# 5. kontrola normovania
integral(f1(x),x,-oo,oo).simplify()

1

# kontrola smerodajnej odchýlky
s1 = sqrt(integral(x^2*f1(x),x,-oo,oo)).simplify()
s1.show()

$\displaystyle s$

# 6. ľubovoľná stredná hodnota m
%var m
f2(x) = f1(x-m)

# kontrola strednej hodnoty a smerodajnej odchýlky
m2 = integral(x*f2(x),x,-oo,oo); m2.simplify()
s2 = sqrt(integral((x-m)^2*f2(x),x,-oo,oo)); s2.simplify()

m s

f2(x).show()

$\displaystyle \frac{\sqrt{2} e^{\left(-\frac{{\left(m - x\right)}^{2}}{2 \, s^{2}}\right)}}{2 \, \sqrt{\pi} s}$

Normálne rozdelenie

$\Large f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} e^{-\frac{{\left(x-\mu \right)}^{2}}{2 \, \sigma^{2}}}$

$\mu$ je stredná hodnota rozdelenia $\sigma$ je smerodajná odchýlka rozdelenia