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Intersection of aan implicitely defined 4D manifold with a 3D space (in German)

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License: OTHER
Image: ubuntu2004
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Kernel: SageMath (stable)

Dieses Material ist lizensiert unter der Lizemz Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License Creative Commons License.

Implizit definierte 4-dimensionale "Flächen"

Wir betrachten nun die Situation eines Wesens in einem 3-dimensionalen Raum RR - nennen wir es R3D3 - der sich linear durch einen 4-dimensionalen Raum bewegt und dabei mit der Mannigfaltigkeit zusammenstößt, die durch die folgende Gleichung FlFl definiert ist.
var('d,p,q,r,u,v,x,y')
assume(x,'real');assume(y,'real');assume(u,'real');assume(v,'real')
dmin=-2;dmax=2
pmin=-4;pmax=4
qmin=-4;qmax=4
rmin=-4;rmax=4
xmin=-2;xmax=2
ymin=-2;ymax=2
umin=-2;umax=2
vmin=-2;vmax=2
# Ändern Sie das Folgende, um eine andere Definition zu verwenden
f(x,y,u,v)=x^3-y^3+u^2-v^2-2
#f(x,y,u,v)=x^2+y^2+u^2+v^2-1
Fl=f(x,y,u,v)==0
show(LatexExpr("Fl: "),Fl)
def N3(x): return N(x,digits=3)

Wir bestimmen als erstes die Bewegungsrichtung von RR durch einen Normalenvektor.

@interact
def _(n_x1=slider(xmin,xmax,default=1,label="$n_x$",step_size=0.1),n_y1=slider(ymin,ymax,default=1,label="$n_y$",step_size=0.1),n_u1=slider(umin,umax,default=1,label="$n_u$",step_size=0.1),n_v1=slider(vmin,vmax,default=1,label="$n_v$",step_size=0.1)):
    global n_x
    n_x=n_x1
    global n_y
    n_y=n_y1
    global n_u
    n_u=n_u1
    global n_v
    n_v=n_v1
    global vn
    vn=vector([n_x,n_y,n_u,n_v])
    show(LatexExpr("\\vec{n} = \\begin{pmatrix} n_x \\\\ n_y \\\\ n_u \\\\n_v\\end{pmatrix} ="),latex(n(vn.column(),digits=2)))

Die Norm und der Einheitsvektor von n⃗\vec{n} ergeben sich daraus:

d_n=vn.norm()
e_n=(1/d_n)*vn
e_nx=e_n[0]; e_ny=e_n[1]; e_nu=e_n[2]; e_nv=e_n[3]
show(LatexExpr("d_n="),N(d_n,digits=3),LatexExpr(", \\vec{e_n}="),N3(e_n.column()))

Die folgenden Vektoren ergänzen den Vektor en⃗\vec{e_n} zu einer Basis des 4-dimensionalen Raums.

M_n=matrix(RR,e_n.column())
B=M_n.kernel().basis()
a_1=B[0];a_2=B[1]; a_3=B[2]
show(LatexExpr("\\vec{a_1}="),N3(a_1.column()),LatexExpr(",\\vec{a_2}="),N3(a_2.column()),LatexExpr(",\\vec{a_3}="),N3(a_3.column()))

Aus diesen 3 Vektoren berechnen wir ein Orthonormalsystem, das den selben Raum aufspannt.

BB,CC=matrix(RDF,B).gram_schmidt(orthonormal=True)
b_1=BB[0]; b_2=BB[1]; b_3=BB[2]
b_1x=b_1[0];b_1y=b_1[1];b_1u=b_1[2]; b_1v=b_1[3]
b_2x=b_2[0];b_2y=b_2[1];b_2u=b_2[2]; b_2v=b_2[3]
b_3x=b_3[0];b_3y=b_3[1];b_3u=b_3[2]; b_3v=b_3[3]
show(LatexExpr("\\vec{b_1}="),N3(b_1.column()),LatexExpr(",\\vec{b_2}="),N3(b_2.column()),LatexExpr(",\\vec{b_3}="),N3(b_3.column()))

Die Richtungsvektoren vom Endpunkt von n⃗\vec{n} zu n⃗+b1⃗,n⃗+b2⃗,n⃗+b3⃗\vec{n}+\vec{b_1}, \vec{n}+\vec{b_2}, \vec{n}+\vec{b_3} bilden dann ein Koordinatensystem KnK_n, dessen Koordinatenachsen im 3-dimensionalen Raum RR von R3D3 liegen. Ein Punkt PP in RR, der bezüglich KnK_n eine Darstellung (pqr)\begin{pmatrix}p \\ q \\ r\end{pmatrix} hat, hat in dem Othonormalsystem für den 4-dimensionalen Raum, das aus KnK_{n} durch Ergänzung um den Richtungsvektor vom Endpunkt von n⃗\vec{n} nach n⃗+en⃗\vec{n}+\vec{e_n} ergänzten Vektor entsteht, die Darstellung (pqr0)\begin{pmatrix}p \\ q \\ r \\0\end{pmatrix}. Wir können die Koordinaten von PP im kanonischen Koordinatensystem als n⃗+(b1⃗b2⃗b3⃗en⃗)⋅(pqr0)\vec{n}+\begin{pmatrix} \vec{b_1} & \vec{b_2} & \vec{b_3} & \vec{e_n}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}p \\ q \\ r \\ 0\end{pmatrix} berechnen. Bewegt sich RR in Richtung des Normalenvektors n⃗=dnen⃗\vec{n}=d_n\vec{e_n} durch den Raum, so nimmt die Koordinatentransformation von KnK_n in das Standard-Koordinatensystem des 4-dimensionalen Raumes - für einen variablen Abstand d vom Ursprung - die folgende Form an. Px(d,p,q,r)=d⋅enx+b1xp+b2xq+b3xrPy(d,p,q,r)=d⋅eny+b1yp+b2yq+b3yrPu(d,p,q,r)=d⋅enu+b1up+b2uq+b3urPv(d,p,q,r)=d⋅env+b1vp+b2vq+b3vr P_x(d,p,q,r)=d\cdot e_{nx}+b_{1x}p+b_{2x}q+b_{3x}r \\ P_y(d,p,q,r)=d\cdot e_{ny}+b_{1y}p+b_{2y}q+b_{3y}r \\ P_u(d,p,q,r)=d\cdot e_{nu}+b_{1u}p+b_{2u}q+b_{3u}r \\ P_v(d,p,q,r)=d\cdot e_{nv}+b_{1v}p+b_{2v}q+b_{3v}r 

P_x(d,p,q,r)=d*e_nx+b_1x*p+b_2x*q+b_3x*r
P_y(d,p,q,r)=d*e_ny+b_1y*p+b_2y*q+b_3y*r
P_u(d,p,q,r)=d*e_nu+b_1u*p+b_2u*q+b_3u*r
P_v(d,p,q,r)=d*e_nv+b_1v*p+b_2v*q+b_3v*r

Betrachten wir nun die durch FlFl in RR im (p,q,r)(p,q,r)-System implizit definierte Mannigfaltigkeit. Dazu ersetzen wir in FlFl die Variablen x,y,u,vx,y,u,v durch diese Px,…,PvP_x,\ldots,P_v. Damit sehen Sie nun eine graphische Darstellung des Durchschnitts der Mannigfaltigkeit mit dem 3-dimensionalen Raum. Falls Sie nichts oder nur eine Fehlermeldung sehen, so ist dieser Durchschnitt gerade leer. Verschieben Sie in diesem Fall die Position von RR mit dem Schieberegler.

show(LatexExpr("Fl: "),Fl)
@interact
def _(d1=slider(dmin,dmax,default=d_n,label="$d_n$",step_size=0.1)):
    global d_n
    d_n=d1
    Fl_L(p,q,r)=f(P_x(d1,p,q,r), P_y(d1,p,q,r), P_u(d1,p,q,r),P_v(d1,p,q,r))
    show(implicit_plot3d(Fl_L(p,q,r)==0,(p,pmin,pmax),(q,qmin,qmax),(r,rmin,rmax)),viewer="threejs")

Hier können Sie den Durchgang des Raumes RR durch FlFl als Animation verfolgen. Die Berechnung kann etwas dauern.

frames=[implicit_plot3d(f(P_x(d1,p,q,r), P_y(d1,p,q,r), P_u(d1,p,q,r),P_v(d1,p,q,r))==0,(p,pmin,pmax),(q,qmin,qmax),(r,rmin,rmax)) for d1 in sxrange(dmin,dmax,0.5)]
anim=animate(frames)
show(anim)