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Intersection of aan implicitely defined 4D manifold with a 3D space (in German)

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License: OTHER
Image: ubuntu2004
Kernel: SageMath (stable)

Dieses Material ist lizensiert unter der Lizemz Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License Creative Commons License.

Implizit definierte 4-dimensionale "Flächen"

Wir betrachten nun die Situation eines Wesens in einem 3-dimensionalen Raum RR - nennen wir es R3D3 - der sich linear durch einen 4-dimensionalen Raum bewegt und dabei mit der Mannigfaltigkeit zusammenstößt, die durch die folgende Gleichung FlFl definiert ist.
var('d,p,q,r,u,v,x,y') assume(x,'real');assume(y,'real');assume(u,'real');assume(v,'real') dmin=-2;dmax=2 pmin=-4;pmax=4 qmin=-4;qmax=4 rmin=-4;rmax=4 xmin=-2;xmax=2 ymin=-2;ymax=2 umin=-2;umax=2 vmin=-2;vmax=2 # Ändern Sie das Folgende, um eine andere Definition zu verwenden f(x,y,u,v)=x^3-y^3+u^2-v^2-2 #f(x,y,u,v)=x^2+y^2+u^2+v^2-1 Fl=f(x,y,u,v)==0 show(LatexExpr("Fl: "),Fl) def N3(x): return N(x,digits=3)
Fl:x3−y3+u2−v2−2=0\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}Fl: x^{3} - y^{3} + u^{2} - v^{2} - 2 = 0

Wir bestimmen als erstes die Bewegungsrichtung von RR durch einen Normalenvektor.

@interact def _(n_x1=slider(xmin,xmax,default=1,label="$n_x$",step_size=0.1),n_y1=slider(ymin,ymax,default=1,label="$n_y$",step_size=0.1),n_u1=slider(umin,umax,default=1,label="$n_u$",step_size=0.1),n_v1=slider(vmin,vmax,default=1,label="$n_v$",step_size=0.1)): global n_x n_x=n_x1 global n_y n_y=n_y1 global n_u n_u=n_u1 global n_v n_v=n_v1 global vn vn=vector([n_x,n_y,n_u,n_v]) show(LatexExpr("\\vec{n} = \\begin{pmatrix} n_x \\\\ n_y \\\\ n_u \\\\n_v\\end{pmatrix} ="),latex(n(vn.column(),digits=2)))

Die Norm und der Einheitsvektor von n⃗\vec{n} ergeben sich daraus:

d_n=vn.norm() e_n=(1/d_n)*vn e_nx=e_n[0]; e_ny=e_n[1]; e_nu=e_n[2]; e_nv=e_n[3] show(LatexExpr("d_n="),N(d_n,digits=3),LatexExpr(", \\vec{e_n}="),N3(e_n.column()))
dn=2.00,en⃗=(0.5000.5000.5000.500)\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}d_n= 2.00 , \vec{e_n}= \left(\begin{array}{r} 0.500 \\ 0.500 \\ 0.500 \\ 0.500 \end{array}\right)

Die folgenden Vektoren ergänzen den Vektor en⃗\vec{e_n} zu einer Basis des 4-dimensionalen Raums.

M_n=matrix(RR,e_n.column()) B=M_n.kernel().basis() a_1=B[0];a_2=B[1]; a_3=B[2] show(LatexExpr("\\vec{a_1}="),N3(a_1.column()),LatexExpr(",\\vec{a_2}="),N3(a_2.column()),LatexExpr(",\\vec{a_3}="),N3(a_3.column()))
a1⃗=(1.000.0000.000−1.00),a2⃗=(0.0001.000.000−1.00),a3⃗=(0.0000.0001.00−1.00)\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\vec{a_1}= \left(\begin{array}{r} 1.00 \\ 0.000 \\ 0.000 \\ -1.00 \end{array}\right) ,\vec{a_2}= \left(\begin{array}{r} 0.000 \\ 1.00 \\ 0.000 \\ -1.00 \end{array}\right) ,\vec{a_3}= \left(\begin{array}{r} 0.000 \\ 0.000 \\ 1.00 \\ -1.00 \end{array}\right)

Aus diesen 3 Vektoren berechnen wir ein Orthonormalsystem, das den selben Raum aufspannt.

BB,CC=matrix(RDF,B).gram_schmidt(orthonormal=True) b_1=BB[0]; b_2=BB[1]; b_3=BB[2] b_1x=b_1[0];b_1y=b_1[1];b_1u=b_1[2]; b_1v=b_1[3] b_2x=b_2[0];b_2y=b_2[1];b_2u=b_2[2]; b_2v=b_2[3] b_3x=b_3[0];b_3y=b_3[1];b_3u=b_3[2]; b_3v=b_3[3] show(LatexExpr("\\vec{b_1}="),N3(b_1.column()),LatexExpr(",\\vec{b_2}="),N3(b_2.column()),LatexExpr(",\\vec{b_3}="),N3(b_3.column()))
b1⃗=(−0.707−0.000−0.0000.707),b2⃗=(0.408−0.8160.0000.408),b3⃗=(0.2890.289−0.8660.289)\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\vec{b_1}= \left(\begin{array}{r} -0.707 \\ -0.000 \\ -0.000 \\ 0.707 \end{array}\right) ,\vec{b_2}= \left(\begin{array}{r} 0.408 \\ -0.816 \\ 0.000 \\ 0.408 \end{array}\right) ,\vec{b_3}= \left(\begin{array}{r} 0.289 \\ 0.289 \\ -0.866 \\ 0.289 \end{array}\right)

Die Richtungsvektoren vom Endpunkt von n⃗\vec{n} zu n⃗+b1⃗,n⃗+b2⃗,n⃗+b3⃗\vec{n}+\vec{b_1}, \vec{n}+\vec{b_2}, \vec{n}+\vec{b_3} bilden dann ein Koordinatensystem KnK_n, dessen Koordinatenachsen im 3-dimensionalen Raum RR von R3D3 liegen. Ein Punkt PP in RR, der bezüglich KnK_n eine Darstellung (pqr)\begin{pmatrix}p \\ q \\ r\end{pmatrix} hat, hat in dem Othonormalsystem für den 4-dimensionalen Raum, das aus KnK_{n} durch Ergänzung um den Richtungsvektor vom Endpunkt von n⃗\vec{n} nach n⃗+en⃗\vec{n}+\vec{e_n} ergänzten Vektor entsteht, die Darstellung (pqr0)\begin{pmatrix}p \\ q \\ r \\0\end{pmatrix}. Wir können die Koordinaten von PP im kanonischen Koordinatensystem als n⃗+(b1⃗b2⃗b3⃗en⃗)⋅(pqr0)\vec{n}+\begin{pmatrix} \vec{b_1} & \vec{b_2} & \vec{b_3} & \vec{e_n}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}p \\ q \\ r \\ 0\end{pmatrix} berechnen. Bewegt sich RR in Richtung des Normalenvektors n⃗=dnen⃗\vec{n}=d_n\vec{e_n} durch den Raum, so nimmt die Koordinatentransformation von KnK_n in das Standard-Koordinatensystem des 4-dimensionalen Raumes - für einen variablen Abstand d vom Ursprung - die folgende Form an. Px(d,p,q,r)=d⋅enx+b1xp+b2xq+b3xrPy(d,p,q,r)=d⋅eny+b1yp+b2yq+b3yrPu(d,p,q,r)=d⋅enu+b1up+b2uq+b3urPv(d,p,q,r)=d⋅env+b1vp+b2vq+b3vr P_x(d,p,q,r)=d\cdot e_{nx}+b_{1x}p+b_{2x}q+b_{3x}r \\ P_y(d,p,q,r)=d\cdot e_{ny}+b_{1y}p+b_{2y}q+b_{3y}r \\ P_u(d,p,q,r)=d\cdot e_{nu}+b_{1u}p+b_{2u}q+b_{3u}r \\ P_v(d,p,q,r)=d\cdot e_{nv}+b_{1v}p+b_{2v}q+b_{3v}r

P_x(d,p,q,r)=d*e_nx+b_1x*p+b_2x*q+b_3x*r P_y(d,p,q,r)=d*e_ny+b_1y*p+b_2y*q+b_3y*r P_u(d,p,q,r)=d*e_nu+b_1u*p+b_2u*q+b_3u*r P_v(d,p,q,r)=d*e_nv+b_1v*p+b_2v*q+b_3v*r

Betrachten wir nun die durch FlFl in RR im (p,q,r)(p,q,r)-System implizit definierte Mannigfaltigkeit. Dazu ersetzen wir in FlFl die Variablen x,y,u,vx,y,u,v durch diese Px,…,PvP_x,\ldots,P_v. Damit sehen Sie nun eine graphische Darstellung des Durchschnitts der Mannigfaltigkeit mit dem 3-dimensionalen Raum. Falls Sie nichts oder nur eine Fehlermeldung sehen, so ist dieser Durchschnitt gerade leer. Verschieben Sie in diesem Fall die Position von RR mit dem Schieberegler.

show(LatexExpr("Fl: "),Fl) @interact def _(d1=slider(dmin,dmax,default=d_n,label="$d_n$",step_size=0.1)): global d_n d_n=d1 Fl_L(p,q,r)=f(P_x(d1,p,q,r), P_y(d1,p,q,r), P_u(d1,p,q,r),P_v(d1,p,q,r)) show(implicit_plot3d(Fl_L(p,q,r)==0,(p,pmin,pmax),(q,qmin,qmax),(r,rmin,rmax)),viewer="threejs")
Fl:x3−y3+u2−v2−2=0\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}Fl: x^{3} - y^{3} + u^{2} - v^{2} - 2 = 0

Hier können Sie den Durchgang des Raumes RR durch FlFl als Animation verfolgen. Die Berechnung kann etwas dauern.

frames=[implicit_plot3d(f(P_x(d1,p,q,r), P_y(d1,p,q,r), P_u(d1,p,q,r),P_v(d1,p,q,r))==0,(p,pmin,pmax),(q,qmin,qmax),(r,rmin,rmax)) for d1 in sxrange(dmin,dmax,0.5)] anim=animate(frames) show(anim)