Finding a non-shard real brick.sagews

load('brick_functions.sage')

# Defining the quiver for which we will find a real brick which is not a shard module.
defining_dict = {1:{4:['e14']}, 2:{4:['e24']}}
defining_dict.update({i:{i+1:['e{0}{1}'.format(i, i+1)]} for i in range(3, 6)})
Ds6 = DiGraph(defining_dict, multiedges=True)

Ds6.show()

# And here is the dimension vector beta of the representation we'll construct,
# followed by a list of roots which cut the associated hyperplane.
plane_and_fractures(cartan(Ds6), 6, [5, 4, 2, 1, 4, 5, 3, 4, 2, 1])

([3 3 2 4 2 1], [[2 2 2 3 1 0], [2 2 1 3 1 0], [2 1 1 2 1 0], [1 2 1 2 1 0], [1 1 1 1 1 0], [1 1 0 1 1 0], [1 1 1 1 0 0], [1 1 0 1 0 0], [0 1 0 0 0 0], [1 0 0 0 0 0]])

# Now we obtain a list of sign vectors representing the shards of this hyperplane.
# Each sign vector specifies, for each of the cutting hyperplanes listed above,
# which side our shard lies on.
R = region_signs(cartan(Ds6), 6, [5, 4, 2, 1, 4, 5, 3, 4, 2, 1])
R

['++++++++++', '++++-+++++', '++++++-+++', '++++-+-+++', '+++++-++++', '++++--++++', '+++++++-++', '++++++--++', '+++++-+-++', '+++++++++-', '++++-++++-', '++++++-++-', '++++-+-++-', '+++++-+++-', '++++--+++-', '+++++++-+-', '++++++--+-', '+++++-+-+-', '++-+++++++', '++-+-+++++', '++-++-++++', '++-+--++++', '++-++++++-', '++-+-++++-', '++-+++-++-', '++-+-+-++-', '++-++-+++-', '++-+--+++-', '++-+---++-', '++-++++-+-', '++-+++--+-', '++-+-+--+-', '++-++-+-+-', '++-+--+-+-', '++-++---+-', '++-+----+-', '++++++++-+', '++++-+++-+', '++++++-+-+', '++++-+-+-+', '+++++-++-+', '++++--++-+', '+++++++--+', '++++++---+', '+++++-+--+', '++++++++--', '++++-+++--', '++++++-+--', '++++-+-+--', '+++++-++--', '++++--++--', '++++---+--', '+++++++---', '++++++----', '++++-+----', '+++++-+---', '++++--+---', '+++++-----', '++++------', '++-+-+-+--', '++-+--++--', '++-+---+--', '++-+++----', '++-+-+----', '++-++-+---', '++-+--+---', '++-++-----', '++-+------', '+++-++++++', '+++--+++++', '+++-+-++++', '+++---++++', '++----++++', '++----+++-', '+++-++++-+', '+++--+++-+', '+++-++-+-+', '+++--+-+-+', '+++-+-++-+', '+++---++-+', '+++----+-+', '+++-+++--+', '+++-++---+', '+++--+---+', '+++-+-+--+', '+++---+--+', '+++-+----+', '+++------+', '+++--+-+--', '+++---++--', '+++----+--', '+++-++----', '+++--+----', '+++-+-+---', '+++---+---', '+++-+-----', '+++-------', '++----++-+', '++----++--', '++-----+--', '++----+---', '++--------', '-+++++++++', '-+++-+++++', '-+++++-+++', '-+++-+-+++', '-+++++--++', '-+++++-++-', '-+++-+-++-', '-+++++--+-', '-+-+++++++', '-+-+-+++++', '-+-+++-+++', '-+-+-+-+++', '-+-+--++++', '-+-++++++-', '-+-+-++++-', '-+-+++-++-', '-+-+-+-++-', '-+-+--+++-', '-+-+---++-', '-+-+++--+-', '-+-+-+--+-', '-+-+----+-', '-+++++-+-+', '-+++-+-+-+', '-+++++---+', '-+++++-+--', '-+++-+-+--', '-+++++----', '-+++-+----', '-+-+-+-+--', '-+-+---+--', '-+-+++----', '-+-+-+----', '-+-+------', '-++-++++++', '-++--+++++', '-++-++-+++', '-++--+-+++', '-++---++++', '-+---+++++', '-+---+-+++', '-+----++++', '-+-----+++', '-+---+-++-', '-+----+++-', '-+-----++-', '-++-++++-+', '-++--+++-+', '-++-++-+-+', '-++--+-+-+', '-++---++-+', '-++----+-+', '-++-++---+', '-++--+---+', '-++------+', '-++--+-+--', '-++----+--', '-++-++----', '-++--+----', '-++-------', '-+---+-+-+', '-+----++-+', '-+-----+-+', '-+---+-+--', '-+----++--', '-+-----+--', '-+---+----', '-+--------', '----------', '----+-----', '------+---', '----+-+---', '-----+----', '----++----', '-------+--', '------++--', '-----+-+--', '---------+', '----+----+', '------+--+', '----+-+--+', '-----+---+', '----++---+', '-------+-+', '------++-+', '-----+-+-+', '--+-------', '--+-+-----', '--+--+----', '--+-++----', '--+------+', '--+-+----+', '--+---+--+', '--+-+-+--+', '--+--+---+', '--+-++---+', '--+-+++--+', '--+----+-+', '--+---++-+', '--+-+-++-+', '--+--+-+-+', '--+-++-+-+', '--+--+++-+', '--+-++++-+', '--------+-', '----+---+-', '------+-+-', '----+-+-+-', '-----+--+-', '----++--+-', '-------++-', '------+++-', '-----+-++-', '--------++', '----+---++', '------+-++', '----+-+-++', '-----+--++', '----++--++', '----+++-++', '-------+++', '------++++', '----+-++++', '-----+-+++', '----++-+++', '-----+++++', '----++++++', '--+-+-+-++', '--+-++--++', '--+-+++-++', '--+---++++', '--+-+-++++', '--+--+-+++', '--+-++-+++', '--+--+++++', '--+-++++++', '---+------', '---++-----', '---+-+----', '---+++----', '--++++----', '--++++---+', '---+----+-', '---++---+-', '---+--+-+-', '---++-+-+-', '---+-+--+-', '---+++--+-', '---++++-+-', '---+---++-', '---+--+++-', '---++-+++-', '---+-+-++-', '---+++-++-', '---+-++++-', '---++++++-', '---++-+-++', '---+++--++', '---++++-++', '---+--++++', '---++-++++', '---+-+-+++', '---+++-+++', '---+-+++++', '---+++++++', '--++++--+-', '--++++--++', '--+++++-++', '--++++-+++', '--++++++++', '+---------', '+---+-----', '+-----+---', '+---+-+---', '+-----++--', '+-----+--+', '+---+-+--+', '+-----++-+', '+-+-------', '+-+-+-----', '+-+---+---', '+-+-+-+---', '+-+-++----', '+-+------+', '+-+-+----+', '+-+---+--+', '+-+-+-+--+', '+-+-++---+', '+-+-+++--+', '+-+---++-+', '+-+-+-++-+', '+-+-++++-+', '+-----+-+-', '+---+-+-+-', '+-----+++-', '+-----+-++', '+---+-+-++', '+-----++++', '+---+-++++', '+-+-+-+-++', '+-+-+++-++', '+-+---++++', '+-+-+-++++', '+-+-++++++', '+--+------', '+--++-----', '+--+--+---', '+--++-+---', '+--+++----', '+-+++-----', '+-+++-+---', '+-++++----', '+-+++++---', '+-+++-+--+', '+-++++---+', '+-+++++--+', '+--+----+-', '+--++---+-', '+--+--+-+-', '+--++-+-+-', '+--+++--+-', '+--++++-+-', '+--+--+++-', '+--++-+++-', '+--++++++-', '+--++-+-++', '+--++++-++', '+--+--++++', '+--++-++++', '+--+++++++', '+-+++-+-+-', '+-++++--+-', '+-+++++-+-', '+-+++-+-++', '+-++++--++', '+-+++++-++', '+-+++-++++', '+-++++++++']

# For each shard, we do the following:
#     - compute the associated shard module using reflection functors
#     - when possible, flip a sign in the sequence of reflection functors,
#         producing a different real brick
#     - check whether the sign vector obtained by flipping this sign represents
#         a shard: if it does not, we've found a real brick which isn't a shard module!
for s in [s for s in R if s[0] == '+']:
    M = shard_module(Ds6, 6, [5, 4, 2, 1, 4, 5, 3, 4, 2, 1], s)
    wall_candidates = shard_module_walls(M, (6, [5, 4, 2, 1, 4, 5, 3, 4, 2, 1]))[2]
    for i in wall_candidates:
        index = i[0]
        if s[index] == '+':
            modified_s = s[:index] + '-' + s[index+1:]
        elif s[index] == '-':
            modified_s = s[:index] + '+' + s[index+1:]
        if modified_s not in R:
            print(modified_s)

+++---+++- ++-+--++-+ ++-+--++-+ ++-+--++-+ +++---+++- +++---+++- +++---+++- ++-+--++-+ +--++-+--+ +-+-+-+-+- +-+-+-+-+- +-+-+-+-+- +--++-+--+ +--++-+--+ +--++-+--+ +-+-+-+-+-

# Now we check the first of these sign vectors.
# First, we verify that it actually does give a well-defined sequence of reflection functors
# and thus a real brick of the appropriate dimension.
# (If this were not the case, the "shard_module" method would throw an error.)
shard_module(Ds6, 6, [5, 4, 2, 1, 4, 5, 3, 4, 2, 1], '+++---+++-')

Representation with dimension vector (3, 3, 2, 4, 2, 1)

# On the other hand, this sign vector does not describe a shard.
'+++---+++-' in R

False

# We can verify this in more detail by computing the dual cone of the stability domain of the brick.
# If it were a shard module, its stability domain would have codimension 1, so its dual cone would contain only one line.
# Here, the dual cone contains four lines, implying that the stability domain has codimension 4.
dual_shard(cartan(Ds6), 6, [5, 4, 2, 1, 4, 5, 3, 4, 2, 1], '+++---+++-').lines()

(A line in the direction (0, 0, 0, 0, 0, 1), A line in the direction (0, 0, 1, 2, 1, 0), A line in the direction (0, 1, 0, 0, 0, 0), A line in the direction (1, 0, 0, 0, 0, 0))