# Kaip papildyti vektorių sistemą iki erdvės bazės?

def papildom_poerdviai(W, V):
    """
    Gražina tiesinės erdvės V poerdvio W papildinio iki V bazę.
    Kitaip sakant, randa tokį poerdvį U, kad V yra W ir U tiesioginė
    suma ir gražina jo bazę.
    """
    Q, pi, lift = V.quotient_abstract(W)
    Basis = [lift(v) for v in Q.basis()]
    return Basis

# pi   yra projekcijos atvaizdis iš erdvės V į faktorerdvę V/W: pi(v) = v + W.
# lift yra "atvirkštinis" atvaizdis iš faktorerdvės Q = V/W  į  erdvę V, tenkinantis
# lygybę pi(lift(u)) = u  su visais u iš Q.


def papildom(vec, V):
    """
    Tiesinės erdvės V vektorių šeimą vec papildo vektoriais v1,..., vn iki
    erdvės V bazės ir gražina papildytus vektorius v1,..., vn.
    """
    return papildom_poerdviai(V.span(vec), V)

# 2 pavyzdys. Rasime matricos

A = matrix(QQ, 4, 4, [[1, 1, -2, 0],
                      [2, 1, 0, 2],
                      [1, 0, 1, 1],
                      [0,-1,2,1]])
show(A)

# Žodano formą ir atitinkamą bazę.

# Randame matricos charakteristinį polinomą:

p = A.charpoly(var = 't')
show(p)
show(p.factor())

# Nagrinėjame matricą B := A-1*E. Ieškome mažiausoi p: rg(B^p)=4-4=0:
B = A - 1*matrix.identity(4)
show(B)

# Matricos B laipsnių rangai:
B.rank()
(B**2).rank()

# Taigi, p=2. Matricos B branduolys ker B ir jo dimensija:
L1 = B.left_kernel()
L1.dimension()

# Matricos B^2 branduolys ker B^2 ir jo dimensija:
L2 = (B**2).left_kernel()
L2.dimension()

# Poerdvio L1 bazę pildant iki erdvės L2 bazės, reikia pridėti 2 vektorius v11 ir v12:
L = papildom(L1.basis(), L2)
v11 = L[0]
v12 = L[1]
v11
v12

# Suskaičiuojame vektorius v11B ir v12B:
v11*B
v12*B

# Taigi radome Žordano bazę v11,v11B,v21,v22. 
# Perėjimo matrica (iš standartinės bazės į Žordano bazę):

T = matrix(QQ,4,4,[v11,v11*B,v12,v12*B])
show(T)

# Pradinės matricos Žordano matrica:

show(T*A*(T^(-1)))