Laboratorio 1

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Kernel: SageMath (stable)

Práctica 1 de SAGE

Veamos algunas funciones sobre enteros, y algunas propiedades de los objetos SAGE (Python). Vamos a empezar por la asignación: $a=20!+1$ .

In [1]:

a=factorial(20)+1

In [0]:

Veamos su valor:

In [2]:

Out[2]:

2432902008176640001

Otras funciones sobre enteros:

In [3]:

factor(a)

Out[3]:

20639383 * 117876683047

In [4]:

euler_phi(a)

Out[4]:

2432901890279317572

Doble asignación

In [5]:

a,b=123211413,32423124

In [6]:

Out[6]:

123211413

In [7]:

Out[7]:

32423124

Máximo común divisor

In [8]:

gcd(a,b)

Out[8]:

3

Identidad de Bézout: (usando triple asignación)

In [9]:

[d,alpha,beta]=xgcd(a,b)

In [10]:

d, alpha, beta

Out[10]:

(3, 4496651, -17087765)

In [11]:

alpha*a+beta*b==d

Out[11]:

True

In [13]:

True or False and True

Out[13]:

True

Congruencias:

In [14]:

s = 1449

In [15]:

Mod(s,5), Mod(s,9), Mod(s,2), Mod(s,19)

Out[15]:

(4, 0, 1, 5)

Las funciones que hemos visto son “globales”. Pyton tiene otro tipo de funciones, las que son propias de cada objeto.

In [16]:

a=Mod(11,15)
type(a)

Out[16]:

<type 'sage.rings.finite_rings.integer_mod.IntegerMod_int'>

In [17]:

parent(a)

Out[17]:

Ring of integers modulo 15

In [19]:

a+4

Out[19]:

0

In [20]:

a^14

Out[20]:

1

In [21]:

a=38975239857938475

In [0]:

In [0]:

In [22]:

a.is_prime()

Out[22]:

False

In [0]:

In [24]:

Out[24]:

32423124

In [25]:

b.is_prime()

Out[25]:

False

In [27]:

a=13^2
a.is_prime_power()

Out[27]:

True

In [28]:

a.next_prime()

Out[28]:

173

In [0]:

Una forma de encontrar un número primo de $k$ cifras (o quizá $k+1$ ):

In [30]:

ZZ

Out[30]:

Integer Ring

In [31]:

k=6
a=ZZ.random_element(10^(k-1), 10^k)
p=next_prime(a)
p

Out[31]:

263489

Más directo, y usando la ayuda

In [0]:

random_prime?

In [36]:

random_prime(10^k, lbound=10^(k-1))

Out[36]:

124577

A veces hay funciones “repetidas”

In [37]:

a.factorial() == factorial(a)

Out[37]:

True

In [38]:

a.binomial(2)

Out[38]:

34710723460

In [39]:

binomial(a,2)

Out[39]:

34710723460

In [40]:

a.xgcd(b)

Out[40]:

(4, 3209210, -26079)

Más sobre congruencias

In [44]:

a=Mod(1,28)

$a$ "parece" un entero, pero en realidad es otra cosa, un "entero modular"

In [45]:

type(a)

Out[45]:

<type 'sage.rings.finite_rings.integer_mod.IntegerMod_int'>

Un poco más claro:

In [46]:

parent(a)

Out[46]:

Ring of integers modulo 28

In [47]:

a+27

Out[47]:

0

Otra forma de definir el mismo $a$ , usando el anillo $\mathbb{Z}/\mathbb{Z}28$

In [48]:

ZZ28 = IntegerModRing(28)
ZZ28

Out[48]:

Ring of integers modulo 28

Así se “fuerza” a convertir un entero en un elemento del anillo:

In [49]:

ZZ28=IntegerModRing(28)

In [51]:

b=ZZ28(1)+ZZ28(13)
b

Out[51]:

14

In [52]:

parent(b)

Out[52]:

Ring of integers modulo 28

In [53]:

b^123413

Out[53]:

0

In [0]:

b.is_unit()

In [0]:

c=b+1
c.is_unit()

In [0]:

ZZ28.multiplication_table('digits')

Algunas funciones sobre anillos

In [0]:

ZZ28.is_field()

In [0]:

ZZ28.is_integral_domain()

La lista de las unidades:

In [0]:

L=ZZ28.list_of_elements_of_multiplicative_group()
L

In [0]:

parent(L[4])

In [0]:

In [0]:

c.is_unit()

Como $c$ es una unidad, tiene inverso

In [0]:

c^(-1)

Pero $b$ ...

In [0]:

In [0]:

b^(-1)

## Anillos de polinomios

In [0]:

R.<x,y,z>=PolynomialRing(QQ) # = QQ[x,y,z]

In [0]:

f1=x^2+y^2-z
f2=2*z-x*y

In [0]:

parent(f1)

In [0]:

y*f1-x*f2

Veamos un anillo con algo más de estructura: polinomios en una variable

In [0]:

K.<x>=PolynomialRing(QQ)

Cociente y resto:

In [0]:

g=x^12-x^4-1
h=x^5+x^4-2*x^3+6*x^2+24*x+1
q,r=g.quo_rem(h)

In [0]:

q,r

Grupos simétricos

Veamos primero cómo se definen los grupos simétricos en SAGE.

In [0]:

G=SymmetricGroup(4)

In [0]:

In [0]:

order(G)

Para ver los elementos de G, podemos pedirle que nos los enseñe en una lista

In [0]:

list(G)

SAGE presenta los elementos como producto de ciclos disjunto. Para manejar los elementos del grupo, podemos pedirle los elementos de la lista. SAGE numera las listas EMPEZANDO POR EL ELEMENTO CERO.

In [0]:

L=list(G)

In [0]:

L[0]

In [0]:

L[1]

In [0]:

L[1]*L[2]

Cuidado! Sage compone de izquierda a derecha, y no como estamos habituados de derecha a izquierda!

In [0]:

L[2]^(-1)

Si queremos dar un elemento de S_4 directamente, debemos escribirlo como una lista de ciclos disjuntos [C_1, C_2, ..., C_k]. Tenemos que especificar que esta lista debe mirarse como un elemento de G, usando la expresión G(...).

In [0]:

G([(1, 2)])

In [0]:

G([(1, 2)])*G([(1, 3, 2)])

In [0]:

G([(1, 2), (3, 4)])

Operaciones con elementos:

In [0]:

sigma= G([(1, 2), (3, 4)])

Para ver qué cosas se pueden hacer con sigma, tecleamos sigma. y utilizamos la tecla autocompletar:

In [0]:

sigma.

In [0]:

sigma.order()

In [0]:

sigma.sign()

Si queremos información sobre un comando concreto, lo escribimos, seguido por una interrogación ?

In [0]:

sigma.sign?

Las permutaciones son funciones, y, como tales, se pueden evaluar:

In [0]:

sigma(2)

Subgrupos

Calculamos todos los subgrupos de G.

In [0]:

G.subgroups()

Para definir un subgrupo, especificamos los generadores.

In [0]:

H=G.subgroup([(3,4), (2,4,3)])

In [0]:

In [0]:

order(H)

De nuevo, podemos pedirle a SAGE que nos de una lista con los elementos de H.

In [0]:

H.list()

También podemos pedirle un conjunto de generadores.

In [0]:

H.gens()

SAGE recuerda que H está definido como un subgrupo de G.

In [0]:

H.ambient_group()

Predicados para grupos

In [0]:

G.is_commutative()

In [0]:

G.is_cyclic()

In [0]:

H.is_normal()

In [0]:

G.exponent()

In [0]:

G.random_element()

Un comando muy útil es cayley_table, que nos da la tabla de multiplicar del grupo

In [0]:

G.cayley_table()

Como podéis ver, SAGE ha reemplazado los elementos por letras. Para saber a qué elemento se corresponde cada letra, podéis usar:

In [0]:

T = H.cayley_table()
headings = T.row_keys()
headings[2]

Algunos predicados relacionados con la asignatura de Estructuras Algebraicas

In [0]:

H.is_simple()

In [0]:

G.is_solvable()

In [0]:

G.center()

In [0]:

G.normalizer(H)

In [0]:

G.centralizer(H)

Cuando trabajamos con un grupo muy grande, la cantidad de subgrupos es enorme. A veces puede ser útil tener una lista de subgrupos salvo conjugación.

In [0]:

G.conjugacy_classes_subgroups()

Grupo cociente

Para construir grupos cociente, lo primero que tenemos que hacer es encontrar los subgrupos normales de un grupo

In [0]:

G.normal_subgroups()

In [0]:

V = G.subgroup(G([(1,3), (2, 4)]), G([(1, 4), (2,3)]))

In [0]:

[(1,3)(2,4), (1,4)(2,3)]

In [0]:

gamma1=G([(1,3), (2, 4)])
gamma2= G([(1, 4), (2,3)])
V= G.subgroup([gamma1, gamma2])

In [0]:

V.is_normal()

In [0]:

Q=G.quotient(V)

In [0]:

In [0]:

list(Q)

SAGE nos da un grupo isomorfo al grupo cociente, pero no conserva el morfismo natural G -> G/V.

In [0]:

Q.is_abelian()

Luego sabemos por teoría de grupos que Q debe ser isomorfo al grupo simétrico de 3 elementos.

In [0]:

Q.is_isomorphic(SymmetricGroup(3))

Homomorfismos

Para definir homomorfimos entre grupos de permutaciones o subgrupos de éstos, debemos dar una lista ordenada con las imagenes de los generadores del grupo de origen

In [0]:

G.gens()

In [0]:

f=PermutationGroupMorphism(G, G,  [(1, 3, 2, 4), (1, 3)])

In [0]:

In [0]:

Hemos construido un morfismo que lleva (1, 2, 3, 4) en (1, 3, 2, 4) y (1, 2) en (1, 3)

In [0]:

f([(1, 3, 4)])

In [0]:

for i in G:
    print (i, f(i))

Pero, cuidado! SAGE "no se da cuenta" si definimos algo que no tiene sentido...

In [0]:

g=PermutationGroupMorphism(G, G,  [(1, 2, 3), (1, 2)])

In [0]:

In [0]:

hasta que no lo evaluamos:

In [0]:

for i in G:
    print (i, g(i))

In [0]:

f.kernel()

In [0]:

f.image(G)

Grupos abelianos

Para trabajar con grupos abelianos, SAGE tiene comandos específicos: El comando AbelianGroup([a, b, ..., l) define el grupo producto de grupos cíclicos C_a x C_b x ... x C_l.

In [0]:

A.<a,b,c> = AbelianGroup([2,4,5])

In [0]:

In [0]:

A.is_isomorphic(AbelianGroup([2, 20]))

In [0]:

In [0]:

a^2

Otros grupos

In [0]:

DihedralGroup(4)

In [0]:

CyclicPermutationGroup(5)

In [0]:

AlternatingGroup(5)

In [0]:

KleinFourGroup()

Ejercicios

In [0]:

Construye un homomorfismo sobreyectivo de S_4 en C_2. (Ayuda: utiliza la paridad de las permutaciones).

In [0]:

S4 = SymmetricGroup(4) # S4
C2 = SymmetricGroup(2) # S2 = C2

In [0]:

S4.gens() # hay que enviar estos elementos ...

In [0]:

In [0]:

C2.gens() # en estos

In [0]:

a = S4.gens()[0]
b = S4.gens()[1]
c = C2.gens()[0]
a, b ,c

Encuentra todos los cocientes de S_4 de orden 6. ¿Cuáles son abelianos?

In [0]:

Encuentra todos los grupos abelianos de orden 72 salvo isomorfismo.

In [0]: