3._laboratorijske_vjezbe_-_zadaci.sagews

Za pomoć pri rješavanju pogledajte primjere sa prošla dva labosa!

Zadatak 1

Nacrtajte graf funkcije ParseError: KaTeX parse error: \newcommand{\arcsin} attempting to redefine \arcsin; use \renewcommand na cijeloj prirodnoj domeni.

x=var('x')
f(x) = 2-2*arccos(3*x-1)
show(f)
plot(f)

$\displaystyle x \ {\mapsto}\ -2 \, \arccos\left(3 \, x - 1\right) + 2$

verbose 0 (3748: plot.py, generate_plot_points) WARNING: When plotting, failed to evaluate function at 134 points. verbose 0 (3748: plot.py, generate_plot_points) Last error message: ''

Zadatak 2

Odredite Taylorov polinom 7. stupnja $T_5(x)$ pripadan funkciji ParseError: KaTeX parse error: \newcommand{\ch} attempting to redefine \ch; use \renewcommand oko točke $x_0=0$. Nacrtajte grafove funkcija $f(x)$ i $T_5(x)$ na intervalu $[-5,5]$. Grafove crtajte u istom koordinatnom sustavu i različitim bojama. Koristite naredbu taylor.

x=var('x')
f(x) = sqrt(cosh(x))

P=plot(f,-5,5, color='darkblue')

T=f.taylor(x,0,7)
view("$T_5(x) = $", T)

P+=plot(T,-5,5, color='lime')
show(P)

$T_5(x) =$ $\displaystyle \frac{19}{5760} \, x^{6} - \frac{1}{96} \, x^{4} + \frac{1}{4} \, x^{2} + 1$

Zadatak 3

Neka je $f(x)=\sin(x^3)$. Za interaktivno zadani cijeli broj $h\in[0,50]$, na jednom grafu istovremeno različitim bojama nacrtajte funkcije $g(x)=f'(x)$ i $g_h(x)={1\over2}{f(x+2^{-h})-f(x-2^{-h})\over 2^{-h}}$, a na drugom grafu funkciju $g_\delta(x)=g(x)-g_h(x)$. Oba grafa neka budu na intervalu $[0,2.5]$. Što se zbiva kada je $h$ velik?

x=var('x')
f(x) = sin(x^3)
g(x) = diff(f, x)
@interact
def _(h=(0,50,1)):
    print h
    # Naš kod:
    gh(x) = (f(x+2^(-h))-f(x-2^(-h)))/(2*2^(-h))
    gd(x) = g(x)-gh(x)

    view("$f(x) = $", f, "(nije na grafu)")
    view("$g(x) = $", g, "(plavo)")
    view("$g_h(x) = $", gh, "(žuto)")

    P1=plot(g,0,2.5, color='darkblue')
    P1+=plot(gh,0,2.5, color='darkorange')
    show(P1)

    view("$gd(x) =$", gd, "(tirkizno)")

    P2=plot(gd,0,2.5, color='cyan')
    show(P2)

Interact: please open in CoCalc

Zadatak 4

Odredite jednu primitivnu funkciju funkcije $f(x)=4x^2-5x+4\sin(2x)$ te izračunajte određeni integral funkcije $f$ na intervalu $[-5,5]$. Koristite naredbu integrate.

x=var('x')
f(x) = 4*x^2-5*x+4*sin(2*x)
fprim=f.integrate(x)
view("Primitivna funkcija: ", fprim)
fint=integrate(f,x,-5,5)
show(fint)

Primitivna funkcija: $\displaystyle x \ {\mapsto}\ \frac{4}{3} \, x^{3} - \frac{5}{2} \, x^{2} - 2 \, \cos\left(2 \, x\right)$

$\displaystyle \frac{1000}{3}$