Book a Demo!
CoCalc Logo Icon
StoreFeaturesDocsShareSupportNewsAboutPoliciesSign UpSign In
Download
194 views
ubuntu2004
Tweet
Share
Share
Kernel: SageMath 9.4

Transformace náhodné veličiny

Příklad (Náhodná procházka na celých číslech)

Částice se pohne n-krát na číselné ose. Pohyb částice začne v bodě 0 a v každém kroku vykoná pohyb o délce jedné jednotky vzdálenosti buď doprava a nebo doleva se stejnou pravděpodobností. Předpokládejme, že jednotlivé kroky jsou na sobě stochasticky nezávislé. Nechť YY označuje polohu částice po n krocích. Najděte pak pravděpodobnostní funkci pYp_Y náhodné veličiny Y.Y.

Řešení. Předpokládejme, že XX bude označovat počet pohybů částice směrem doprava. Potom zřejmě X∼Bin(n,1/2).X\sim\textrm{Bin}(n, 1/2). Nyní předpokládejme, že X=j.X=j. Vzhledem k závislost veličiny YY na XX, lze nyní určit hodnotu veličiny Y.Y. Pozice částice po n krocích je rovna celému číslu j−(n−j)=2j−n.j - (n - j) = 2j - n. Tudíž Y=2j−n=2X−n.Y = 2j - n = 2X - n. Vzhledem k tomu, že náhodná veličina XX nabývá hodnot {0,1,…,n},\{0, 1,\ldots,n\}, tak n.v. YY nabývá hodnot {−n,2−n,…,n}.\{-n, 2 - n,\ldots, n\}. Nyní platí: pY(k)=P(Y=k)=P(2X−n=k)=P(X=(n+k)/2)=(nn+k2)(12)n, p_Y(k) = \mathbb P(Y = k) = \mathbb P(2X - n = k) = \mathbb P(X = (n+k)/2) = \binom{n}{\frac{n+k}{2}}\left(\frac{1}{2}\right)^n, kde k∈{−n,…,n}k\in\{-n,\ldots,n\} a n+kn+k je sudé celé číslo.

Věta.(Pravděpodobnostní funkce n.v. g(X)g(X)). Nechť XX je diskrétní n.v. a g:R→R.g: \mathbb R\to\mathbb R. Potom je "nosič" n.v. Y=g(X)Y = g(X) roven množině takových hodnot yy, pro které existuje alespoň jedno xx obsažené v nosiči n.v. XX takové, že g(x)=yg(x) = y. Navíc platí: pY(y)=P(g(X)=y)=∑x:g(x)=yP(X=x), p_Y(y) = \mathbb P(g(X) = y) = \sum_{x: g(x) = y} \mathbb P(X = x), pro všechna yy z nosiče n.v. g(X).g(X).

Uvažujme n.v. XX a borelovskou funkci g:R→R.g:\mathbb R\to\mathbb R. Dále pak uvažujme funkci Y=g(X).Y = g(X).

Otázka 1. Je funkce YY náhodnou veličinou?

Otázka 2. Je-li XX diskrétní n.v. na pravděpodobnostním prostoru (S,A,P).(S,\mathcal A, \mathbb P). Jaká je pravděpodobnostní funkce pYp_Y?

Otázka 3. Je-li XX (absolutně) spojitá n.v., jaká je potom distribuční funkce FYF_Y resp hustota pravděpodobnosti fYf_Y?

Ad otázka 3. Předpokládejme, že známe husotu pravděpodobnosti fXf_X n.v. X.X. Dále předpokládejme, že funkce gg je rostoucí a v každém bodě má tato funkce nenulovou derivaci. Odtud pak plyne: FY(y)=P(Y≤y)=P(X≤g−1(y))=FX(g−1(y)). F_Y(y) = P(Y\le y) = P(X\le g^{-1}(y)) = F_X(g^{-1}(y)).

Nyní lze vyjádřit hustotu pravděpodobnosti fYf_Y vyjádřit pomocí hustoty fX.f_X. fY(y)=ddyFY(y)=ddyFX(g−1(y))=fX(g−1(y))⋅[g−1(y)]′. f_Y(y) = \frac{d}{dy}F_Y(y) = \frac{d}{dy}F_X(g^{-1}(y)) = f_X(g^{-1}(y))\cdot[g^{-1}(y)]'.

V případě, kdy je funkce gg klesající funkcí, dostaneme: fY(y)=fX(g−1(y))⋅∣[g−1(y)]′∣.(*) f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y))\cdot \vert[g^{-1}(y)]'\vert. \tag{*}

Poznamenejme, že vzorec (*) lze využít obecně pro jakoukoli ryze monotónní funkci g.g.

Příklad

Najděme hustotu pravděpodobnosti n.v. Y=eX,Y = e^{X}, pokud má XX hustotu pravděpodobnosti fXf_X dabou předpisem: fX(x)={1 ,x∈(0,1)0 ,x∉(0,1). f_X(x) = \begin{cases} 1\ , & x\in(0,1)\\ 0\ , & x\notin (0,1). \end{cases}

Řešení

Zde je g(x)=exg(x) = e^x, což je rostoucí funkce. Dále g−1(y)=ln⁡(y). g^{-1}(y) = \ln(y). Odtud plyne, že [g−1(y)]′=(ln⁡(y))′=1/y,  y∈(0,∞). [g^{-1}(y)]' = (\ln(y))' = 1/y,\ \ y\in(0,\infty).

Zbývá nyní určit složenou funkci fX∘g−1.f_X\circ g^{-1}.

var("x,y")
def f_X(x):
    if 0 < x and x < 1:
        return 1
    else:
        return 0
def g(x):
    return e^x

rovnice = y == g(x)
g_inv(y) = solve(rovnice, x)[0].rhs()
show("g_inv(y) = \t", g_inv(y))
g_inv(y)x=x log⁡(y)\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\verb|g_inv(y)|\phantom{\verb!x!}\verb|=|\phantom{\verb!x!}\verb| | \log\left(y\right)
dg_inv(y) = g_inv(y).diff()
show("dg_inv(y) = \t", dg_inv(y))
dg_inv(y)x=x 1y\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\verb|dg_inv(y)|\phantom{\verb!x!}\verb|=|\phantom{\verb!x!}\verb| | \frac{1}{y}
import sympy as sym
sol = sym.reduce_inequalities([g_inv(y) > 0, g_inv(y) < 1], y)
sol

0<y∧1<y∧y<e\displaystyle 0 < y \wedge 1 < y \wedge y < e

Tedy platí: g−1(y)∈(0,1)  ⟺  y∈(1,e). g^{-1}(y)\in(0,1) \iff y\in(1,e).

Nyní určeme složenou funkci fX∘g−1.f_X\circ g^{-1}. (fX∘g−1)(y)={1 ,y∈(1,e)0 ,y∉(1,e). (f_X\circ g^{-1})(y) = \begin{cases} 1\ ,& y\in(1,e)\\ 0\ ,& y\notin(1,e). \end{cases}

Odtud pak plyne: fY(y)={1/y ,y∈(1,e)0 ,y∉(1,e). f_Y(y) = \begin{cases} 1/y\ ,& y\in(1,e)\\ 0\ ,& y\notin(1,e). \end{cases} 

var("y")
plot((1/4)*y**(2/3), (y,0, 10))
Image in a Jupyter notebook