Book a Demo!
CoCalc Logo Icon
StoreFeaturesDocsShareSupportNewsAboutPoliciesSign UpSign In
Download
157 views
ubuntu2004
Tweet
Share
Share
Kernel: SageMath 9.4

Bernoulliho rozdělení

Definice. Náhodná veličina XX, která nabývá funkční 0,10,1 má Bernoulliho rozdělení, jestliže P(X=1)=p\mathbb P(X=1) = p a P(X=0)=1−p,\mathbb P(X=0) = 1-p,

kde 0<p<10 < p < 1 a píšeme: X∼Bern(p).X\sim \textrm{Bern}(p).

p = 1/3
psti = [1-p, p]
psti
[2/3, 1/3]
bar_chart(psti, width=0.2)
Image in a Jupyter notebook

Binomické rozdělení

Pokud n∈Nn\in\mathbb N a 0<p<10 < p <1 a platí-li p(k)=P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−k p(k) = \mathbb P(X=k) = \binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k} pro k=0,1,…,nk = 0,1,\ldots,n říkáme, že n.v. XX má tzv. binomické rozdělení pravděpodobností. Píšeme: X∼Bin(p,n).X \sim \textrm{Bin}(p, n).

# p = 1/2 protože se předpokládá stejná síla obou hráčů
def p(k = 2, p = 1/2, n = 4):
    if k in range(n+1):
        return binomial(n, k)*p**k*(1-p)**(n-k)
    else:
        return 0

n = 9
for k in range(n+1):
    print(k)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
round(float(p(k=pi, p = 1/3, n = 10)), 3)
0.0
N = 9
psti = [p(k = i, p = 4/5, n = N) for i in range(N + 1)]
bar_chart(psti, width = 0.2)
Image in a Jupyter notebook
numerical_approx(p(k = 3, p = 4/5, n = 9), digits=4)
0.002753

Hypergeometrické rozdělení

P(X=k)={(wk)(bn−k)(w+bn), jestlizˇe 0≤k≤w a 0≤n−k≤b0, v ostatnıˊch prˇıˊpadech .(*)\mathbb P(X=k) = \begin{cases} \frac{\binom{w}{k}\binom{b}{n-k}}{\binom{w+b}{n}}, &\textrm{ jestliže }0\le k\le w\textrm{ a }0\le n-k\le b\\ 0, &\textrm{ v ostatních případech }. \end{cases} \tag{*}

Píšeme: X∼HGeom(w,b,n).X\sim\textrm{HGeom}(w, b, n).

Příklad. Předpokládejme, že v urně máme w=6w=6 bílých a b=4b = 4 černých koulí. Dále vyberme náhodně n=5n=5 koulí bez vracení do urny. Nechť XX označuje počet vybraných bílých koulí ve vybraném vzorku. Spočítejme pravděpodobnost P(X=3).\mathbb P(X = 3).

Řešení.

def pst(k, n=5, w=6, b=4):
    if 0 <= k <= w and 0 <= n-k <= b:
        return (binomial(w, k) * binomial(b, n-k)) / binomial(w+b, n)
    else:
        return 0

pst(3)
10/21
n = 5
psti = [pst(k) for k in range(n+1)]
bar_chart(psti, width=0.2, ymax= 0.5)
Image in a Jupyter notebook
print(psti)
show("Suma pravděpodobností = \t", sum(psti))
[0, 1/42, 5/21, 10/21, 5/21, 1/42, 0, 0, 0, 0, 0]
Sumaxpravděpodobnostíx=x 1\renewcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\verb|Suma|\phantom{\verb!x!}\verb|pravděpodobností|\phantom{\verb!x!}\verb|=|\phantom{\verb!x!}\verb| | 1

Příklad. Uvažujme situaci, kdy rozdáme náhodně pět karet do ruky z perfektně zamíchaného balíčku karet ve hře poker. Vypočítejme pravděpodobnost, že hráč obdrží do ruky právě tři esa!

Řešení. Nechť XX bude označovat počet, které hráč obdrží do ruky. Dále nechť w=4w= 4 a znamená počet es v balíčku celkem řě karet. Dále nechť b=52−4b = 52 - 4 je počet ostatních karet v balíčku a konečně nechť n=5n = 5 je počet rozdaných karet. Potom je možné psát X∼HGeom(w=4,b=48,n=5).X\sim\textrm{HGeom}(w = 4, b = 48, n = 5).

P = pst(3, w = 4, b = 48, n = 5)
numerical_approx(P, digits=2)
0.0017

Diskrétní stejnoměrné rozdělení

Předpokládejme, že CC je konečná množina čísel. Vyberme nyní náhodně jedno z čísel tak, že všechny hodnoty jsou stejně pravděpodobné, že budou vybrány. Označme to vybrané číslo jako XX. Potom XX je náhodnou veličinou s tzv. diskrétním stejnoměrným rozdělením s parametrem C.C. Pak píšeme: X∼DUnif(C).X\sim \textrm{DUnif}(C). Platí: $$ \mathbb P(X = x) = \begin{cases} \frac{1}{|C|}, & \textrm{jestliže $x\in CParseError: KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '}' at position 1: }̲\\ 0, & \te…$

Začátek 23.11.

Příklad. Předpokládejme, že v klobouku je celkém stovka lístků přičemž na každém z těchto lístků je jedno z čísel 1,2,…,1001,2,\ldots,100 a předpokládejme, že každé z těchto čísel se vyskytuje právě jednou. Náhodně bude vytaženo pět lístků, v každém tahu jeden lístek.

  1. Nejdříve předpokládejme, že z klobouku náhodně taháme lístky a pak tyto lístky vracíme zpět do klobouku. (Každý lístek má stejnou šanci, že bude vytažen.)

(a) Jaké je rozdělení náhodné veličiny, která znamená počet vytažených lístků s číslem x≥80?x\ge 80?

(b) Jaké je rozdělení náhodné veličiny, která nabývá hodnotu čísla na j-tém taženém lístku (1≤j≤51\le j\le 5)?

(c) Jaká je pravděpodobnost, že číslo 100 bude vytaženo alespoň jednou?

  1. Nyní předpokládejme, že vytažené lístky nevracíme zpátky do klobouku.

(d) Jaké je rozdělení náhodné veličiny, která znamená počet vytažených lístků s číslem x≥80?x\ge 80?

(e) Jaké je rozdělení náhodné veličiny, která nabývá hodnotu čísla na j-tém taženém lístku (1≤j≤51\le j\le 5)?

(f) Jaká je pravděpodobnost, že číslo 100 bude vytaženo ?

Řešení.