Nutná podmínka diferencovatelnosti

Věta.

Je-li funkce $f: \mathbb R^n\supset\to\mathbb R$ v bodě $a$ diferencovatelná, potom je funkce $f$ v bodě $a$ spojitá.

Důkaz. Z diferencovatelnosti v bodě $a$ plyne existence funkce $\alpha: \mathbb R\supset\to \mathbb R$ spojité v bodě $0\in\mathbb R$ takové, že $\alpha(0) = 0$ a

$h\in U$ a kde $h \in B(0;\delta),\ \delta > 0.$

$L:\mathbb R^n \to \mathbb R$ je lineární zobrazení a tudíž je spojitou funkcí na celém prostoru $\mathbb R^n.$ Potom máme:

Tedy $$\lim_{\|h\|\to 0} f(a + h) = f(a)$$ a odtud již plyne spojitost funkce $f$ v bodě $a.$ $\Box$

Věta.

Je-li funkce $f: \mathbb R^n \supset\to\mathbb R$ diferencovatelná v bodě $a\in\mathbb R^n,$ potom pro každé $v\in\mathbb R^n$ existuje směrová derivace $D_vf(a)$ a platí: $$D_vf(a) = df_a(v).$$

Speciálně platí pro každé $i = 1,\ldots,n,$

Označíme-li pak $$gradient(f)(a) = \nabla f(a) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a),\ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(a)\right),$$

potom bude pro každé $v\in\mathbb R^n$ platit: $$D_vf(a) = df_a(v) = df_a(\sum_{i=1}^n v_ie_i) = \sum_{i=1}^n v_idf_a(e_i) = \langle v, \nabla f(a)\rangle.$$

Postačující podmínka diferencovatelnosti

Věta. Má-li funkce $F$ na okolí bodu $a$ spojité všechny parciální derivace, potom je zobrazení $F$ v bodě $a$ diferencovatelné.

Důkaz. Jak se ukazuje, tak důkaz stačí provést pro případ skalární funkce $f: D \to \mathbb R,$ kde $D\subset\mathbb R^n$ je otevřená množina obsahující bod $a.$ Pro zjednodušení uvažujme funkci dvou proměnných: $z = f(x,y).$ Označme $a = (a_1, a_2),\ h = (h_1, h_2).$ Potom lze psát:

Dále s využitím Lagrangeovy věty o střední hodnotě dostáváme:

kde $\theta_1\in\langle 0,1\rangle.$ $$f(a + h_1e_1 + h_2e_2) - f(a + h_1e_1) = \frac{d}{dt}(f(a + h_1e_1 + th_2e_2))(t=\theta_2),$$ kde $\theta_2\in\langle 0,1\rangle.$

Tedy, máme $\frac{d}{dt}(f(a + th_1e_1)) = (d/dt)g(t) = \ h_{1}\frac{\partial}{\partial x}\left(f\right)\left(h_{1} t + x, y\right) = h_{1}\frac{\partial}{\partial x}\left(f\right)\left(a + th_1e_1\right).$

Podobně se odvodí, že $$\frac{d}{dt}(f(a + h_1e_1 + th_2e_2))= h_2 \frac{\partial}{\partial y}\left(f\right)\left(a + h_1e_1 + th_2e_2\right).$$

Pak máme: $$\frac{d}{dt}(f(a + th_1e_1))(t=\theta_1) = h_{1}\frac{\partial}{\partial x}\left(f\right)\left(a + \theta_1h_1e_1\right).$$ $$\frac{d}{dt}(f(a + h_1e_1 + th_2e_2))(t=\theta_2) = h_2 \frac{\partial}{\partial y}\left(f\right)\left(a + h_1e_1 + \theta_2 h_2e\right).$$

Přírůstek funkce f při přechodu z bodu $a$ k bodu $a + h$ lze vyjádřit pomocí parciálních derivací takto: $$f(a + h) - f(a) = (f(a + h_1e_1) - f(a)) + (f(a + h_1e_1 + h_2e_2) - f(a + h_1e_1))\\ = \frac{d}{dt}(f(a + th_1e_1))(\theta_1) + \frac{d}{dt}(f(a + h_1e_1 + th_2e_2))(\theta_2) \\= h_{1}\frac{\partial}{\partial x}\left(f\right)\left(a + \theta_1h_1e_1\right) + h_2 \frac{\partial}{\partial y}\left(f\right)\left(a + h_1e_1 + \theta_2 h_2e\right).$$

Odtud pak plyne: $$ 0\le|f(a + h) - f(a) - \langle h,\nabla f(a)\rangle| = |(h_{1}\frac{\partial}{\partial x}\left(f\right)\left(a + \theta_1h_1e_1\right)

• h_1\frac{\partial f(a)}{\partial x})\

(h_2 \frac{\partial}{\partial y}\left(f\right)\left(a + h_1e_1 + \theta_2 h_2e\right) - h_2\frac{\partial f(a)}{\partial y})|\ =\left|h_1\left(\frac{\partial}{\partial x}\left(f\right)\left(a + \theta_1h_1e_1\right) - \frac{\partial f(a)}{\partial x}\right) + h_2\left(\frac{\partial}{\partial y}\left(f\right)\left(a + h_1e_1 + \theta_2 h_2e\right) - \frac{\partial f(a)}{\partial y}\right)\right|\le $$

Využitím Cauchy-Swartzovy nerovnosti lze poslední absolutní hodnotu odhadnout shora následovně:

Ze spojitosti obou parciálních derivací v bodě $a$ plyne konvergence:

a podobně $$\frac{\partial}{\partial y}\left(f\right)\left(a + h_1e_1 + \theta_2 h_2e\right) - \frac{\partial f(a)}{\partial y} \to 0,\ \ \ h_1,h_2 \to 0.$$

Tedy $$(1/\|h\|)\cdot|f(a + h) - f(a) - \langle h,\nabla f(a)\rangle| \to 0,\ \ \ \|h\| \to 0.$$

Příklad (výpočet směrové derivace)

Uvažujme funkci $f(x,y) = x^3 -3xy + 4y^2$ a nechť $\vec v$ je jednotkový vektor, který svírá s kladnou poloosou x orientovaný úhel $\theta = \pi/6.$ Vypočítejte potom směrovou derivaci $D_{\vec v}f(1,2).$

Řešení.

Příklad (maximalizace směrové derivace 1)

Mějme dánu funkci $f:\mathbb R^n\supset\to \mathbb R$, která je v bodě $a\in\mathbb R^n$ diferencovatelná. Najděte jednotkový vektor $\vec v_0\in\mathbb R^n$ takový, že $$D_{\vec v_0}f(a) = max_{\|\vec v\| = 1} D_{\vec v} f(a).$$

Řešení.

Předpokládejme, že $\vec v\in\mathbb R^n, \Vert\vec v\Vert = 1$, potom máme: $$|D_{\vec v}f(a)| = |\langle v,\nabla f(a)\rangle| \le \|\vec v\|\Vert \nabla f(a)\Vert = \Vert \nabla f(a)\Vert.$$ Předpokládejme, že $\Vert \nabla f(a)\Vert > 0.$ Pak, položíme-li $\vec v = \nabla f(a)/\Vert\nabla f(a)\Vert$, potom $\Vert\vec v\Vert = 1$ a dostaneme:

Odtud je vidět, že za předpokladu, že $\Vert\nabla f(a)\Vert > 0$ je pro vektor $\vec v = \nabla f(a) / \Vert\nabla f(a)\Vert$ směrová derivace $D_{\vec v}f(a)$ maximální. V případě, kdy je $\Vert\nabla f(a)\Vert = 0,$ potom pro každé $\vec v\in\mathbb R^n$ je $D_{\vec v}f(a) = 0.$ $\Box$

Příklad (maximalizace směrové derivace 2)

V předchozím příkladu určeme $\theta\in\langle 0, 2\pi)$ tak aby směrová derivace $D_{\vec v}f(2,1)$ ve směru jednotkového vektoru $\vec v = (\cos(\theta), \sin(\theta))$ byla maximální.

Řešení.

Hledáme tedy de facto $\theta\in\langle 0,2\pi)$ tak, že platí: $$\cos(\theta) = \frac{9}{85}\sqrt{85}\\ \sin(\theta) = \frac{2}{85}\sqrt{85}.$$

Poznamenejme, že je potřeba ověřit, že funkce $f$ je v bodě $a = (2,1)$ diferencovatelná. To plyne snadno ověřením spojitosti parciálních derivací.

Z předchozího výpočtu vyplývá, že maximální hodnoty směrové derivace dosáhneme volbou úhlu $\theta = \theta_0 = 0.2186...$

Příklad (vrstevnice a vektor gradientu)

Pro funkci $z = f(x,y)$ načrtněte v rovině $\rho_{xy}$ vrstevnice této funkce a a dále načrtněte vektor gradientu $\nabla f(2,1).$

Příklad (diferencovatelnost v bodě)

Ukažte, že funkce $f:\mathbb R^n\supset\to \mathbb R$ jsou v bodě $a=(a_1,a_2)\in dom(f)$ diferencovatelné.

$a = (0,0).$