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Matrices

A=[ai,j]m×n=[a11a12a13⋯a1,na21a22a23⋯a2,na31a32a33⋯a3,n⋮⋮⋮⋱⋮am1am2am3⋯am,n]∈Mm×nA=\left[a_{i,j}\right]_{m\times n}=\left[\begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1,n}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2,n}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3,n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{m,n} \end{array}\right]\in M_{m\times n}

i,ji,j entradas, ai,j∈Fa_{i,j}\in\mathbb{F}(i,ji,j componentes), mm filas, nn columnas, orden m×nm\times n, donde F\mathbb{F} es el campo donde se definen los componentes (R,C,Q\mathbb{R,C,Q}). Si m=nm=n se tiene una matriz cuadrada.

En SAGE, las matrices se definen, de forma general, con el comando matrix:



M=matrix(conjunto, filas, columnas, elementos),


 donde conjunto es ZZ, QQ, QQbar, RDF o RR, CDF, filas y columnas son las dimensiones de la matriz y elementos puede se una lista, un vector, un rango o nada. En el último caso obtenemos una matriz nula.
 
IMPORTANTE: en SAGE los índices empiezan en "cero", es decir, el elemento a11 de una matriz es A[0,0] 

M=matrix([[2,4,0,8],[-1,3,3,-2],[0,1,1,0]]); M
[ 2 4 0 8] [-1 3 3 -2] [ 0 1 1 0] 
M[1,1
 ]
︠2c60624e-0b37-43d0-bd0f-7111c3f4d42c︠
%md
# Tipos de matrices

Tipos de matrices

%md 
Matriz nula 
$A={({a_{ij}})_{mxn}}/{a_{ij}}=0\,,\,\,\forall\,\,\,\, i,\,\, j$

Matriz nula A=(aij)mxn/aij=0 ,  ∀    i,  jA={({a_{ij}})_{mxn}}/{a_{ij}}=0\,,\,\,\forall\,\,\,\, i,\,\, j

A=(0000)2x2    B=(00000000)2x4A={\left({\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{array}}\right)_{2x2}}\,\,\,\, B={\left({\begin{array}{lccc} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}}\right)_{2x4}}

A=matrix([[0,0],[0,0]]);
print "------ A ------"
show(A)
B=matrix([[0,0,0,0],[0,0,0,0]]);
print "------ B ------"
show(B)
C=matrix(5,10); 
print "------ C ------"
show(C)
------ A ------
(0000)\left(\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right)
------ B ------
(00000000)\left(\begin{array}{rrrr} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)
------ C ------
(00000000000000000000000000000000000000000000000000)\left(\begin{array}{rrrrrrrrrr} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)
%md
#  Matriz diagonal e identidad

Matriz diagonal

diagonal_matrix(RDF,[4,1,2,3,5,7,8])
[4.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0] [0.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0] [0.0 0.0 2.0 0.0 0.0 0.0 0.0] [0.0 0.0 0.0 3.0 0.0 0.0 0.0] [0.0 0.0 0.0 0.0 5.0 0.0 0.0] [0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 7.0 0.0] [0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 8.0] 
show(identity_matrix(7) )
(1000000010000000100000001000000010000000100000001)\left(\begin{array}{rrrrrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)

Operaciones con Matrices


A = matrix([[1,2,3],[4,5,6],[7,7,1]])
A
print "-------------"
b = vector([1,1,4])
b
print "-------------"
A*A  # matrix-matrix product
print "-------------"
A^4 # potencia de matrices
print "-------------"
A*b  # matrix-vector product
[1 2 3] [4 5 6] [7 7 1] ------------- (1, 1, 4) ------------- [30 33 18] [66 75 48] [42 56 64] ------------- [ 3834 4473 3276] [ 8946 10491 7860] [ 7644 9170 7540] ------------- (15, 33, 18)

Definiendo matrices


#definimos función

def A(i,j):
    return i+j
#definimos matriz

P=matrix(3,4, lambda i,j: A(i,j))
P
[0 1 2 3] [1 2 3 4] [2 3 4 5]

#OBJETOS Y METODOS

En SAGE todos los elmentos que definimos son "objetos" y como tales, tienen "métodos". Por ejemplo, en el caso de las matrices estos metodos son: 

   -efectuar operaciones elementales (add_multiple_of_row, swap_rows y rescale_row), 

   -obtener el rango (rank), 

   -calcular su forma reducida por filas (echelon_form), 

   -determinar todos los menores de un orden dado (minors), 

   -calcular su determinante (det o determinat), 

   -descomposición LU (LU), etc...

Transpuesta, inversa y determinante de una matriz

A = matrix([[1,2,3],[4,5,6],[7,7,1]]); 
# transpuesta 
T=A.transpose()
show(A)
show(T)
(123456771)\left(\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 7 & 1 \end{array}\right)
(147257361)\left(\begin{array}{rrr} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 7 \\ 3 & 6 & 1 \end{array}\right)
# inversa de la matriz
AA=A.inverse(); show(AA)
(−37181918−16199−10913−718718−16)\left(\begin{array}{rrr} -\frac{37}{18} & \frac{19}{18} & -\frac{1}{6} \\ \frac{19}{9} & -\frac{10}{9} & \frac{1}{3} \\ -\frac{7}{18} & \frac{7}{18} & -\frac{1}{6} \end{array}\right)
# o puede escribir 
show(A^(-1))
(−37181918−16199−10913−718718−16)\left(\begin{array}{rrr} -\frac{37}{18} & \frac{19}{18} & -\frac{1}{6} \\ \frac{19}{9} & -\frac{10}{9} & \frac{1}{3} \\ -\frac{7}{18} & \frac{7}{18} & -\frac{1}{6} \end{array}\right)
 A.determinant()
18 
show((A*AA).inverse())
show((A*AA).det())
(100010001)\left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)
11

RANGO DE UNA MATRIZ: Forma escalonada por filas (rref), rango (rank) o estudio de Menores (minors)

    # Estudiar el rango de la matriz en función de los parámetros $m$ y $ n$:
    #definimos los parámetros
var('n,m')
#definimos la matriz
C=matrix([[1,3,-3],[1,-1,5],[0,n,m],[m,-1,-4]]) 
show(C)
(n, m)
(13−31−150nmm−1−4)\left(\begin{array}{rrr} 1 & 3 & -3 \\ 1 & -1 & 5 \\ 0 & n & m \\ m & -1 & -4 \end{array}\right)
C.rref()
[1 0 0] [0 1 0] [0 0 1] [0 0 0] 
C.rank()
3 

︠aa97d903-4e1c-4c3f-8aa9-114b3941826b︠
show(C.minors(3))
[−4 m−8 n,12 m+24,3 (m+n)m+m−4 n,−(m+5 n)m+m−4 n]\left[-4 \, m - 8 \, n, 12 \, m + 24, 3 \, {\left(m + n\right)} m + m - 4 \, n, -{\left(m + 5 \, n\right)} m + m - 4 \, n\right]

Solución matricial de un sistema de ecuaciones Ax=bA x = b

[123∣1134∣2235∣4],      {x+2y+3z=1x+3y+4z=22x+3y+5z=4\left[\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & \left|\right. & 1\\ 1 & 3 & 4 & \left|\right. & 2\\ 2 & 3 & 5 & \left|\right. & 4 \end{array}\right],\,\,\,\,\,\,\begin{cases} x+2y+3z & =1\\ x+3y+4z & =2\\ 2x+3y+5z & =4 \end{cases}
A = matrix([[1,2,3],[1,3,4],[2,3,5]])
A
[1 2 3] [1 3 4] [2 3 5] 
A\b
(-5/3, 7/3, -2/3)