WorkBook04SageMath_ початки аналізу - границі послідовності та функції.ipynb

Kernel: SageMath (system-wide)

Завдання 4.1. Знайти границю послідовності $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n-3n^2+44}{6n^2-3n+7}$.

n=var('n')
limit((n-3*n^2+44)/(6*n^2-3*n+7),n=oo)

-1/2

Завдання 4.2. Знайти границю функції $\lim\limits_{x \to 7} \frac{x-7}{2-\sqrt{x-3}}$.

x=var('x')
limit((x-7)/(2-sqrt(x-3)),x=7)

-4

Завдання 4.3. Знайти границю функції $\lim\limits_{x \to -3} \left ( \frac{1}{x+3}+\frac{6}{x^2-9} \right )$.

x=var('x')
limit(1/x+3+6/x^2-9,x=3)

-5

Завдання 4.4. Знайти границю функції $\lim\limits_{x \to 1} \sin{(x-1)} \cos {(\frac{\pi}{x-1})}^{1/6}$.

x=var('x')
limit((sin(x-1)*(cos(pi/x-1)^0.17)),x=1)

0

Завдання 4.5. Довести, що функція $f(x)=3x – 1$ неперервна в точці $x_0=2$.

x=var('x')
x0=2
f=limit(3*x-1,x=x0)
y=3*x0-1
print(f)
print(y)
if (f==y):
    print("Функція неперевна у точці x0=2")

5
5
Функція неперевна у точці x0=2

Завдання 4.6. Дослідити функцію $f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-5x+6}$ на неперервність.

x=var('x')
print("Оскільки маємо дробову функцію, то розриви функція матиме в точках, де знаменник дорівнює нулю, тобто x0=2 або x0=3")
f=limit((x^2+1)/(x^2-5*x+6),x=2)
y=limit((x^2+1)/(x^2-5*x+6),x=3)
print(f)
print(y)
print("В точках x0=2 або x0=3 задана функція має розрив другого роду. В усіх інших точках функція неперервна, бо неперервна сама показникова функція.")

Оскільки маємо дробову функцію, то розриви функція матиме в точках, де знаменник дорівнює нулю, тобто x0=2 або x0=3
Infinity
Infinity
В точках x0=2 або x0=3 задана функція має розрив другого роду. В усіх інших точках функція неперервна, бо неперервна сама показникова функція.

Завдання 4.7. Розробити додаток, використавши стандартні елементи управління, для обчислення границі послідовності

Завдання 4.8. Розробити додаток, використавши стандартні елементи управління, для обчислення границі функції у нескінченно віддаленій точці

Завдання 4.9. Розробити додаток, використавши стандартні елементи управління, для обчислення границі функції у точці $x_0$

@interact (layout={'top':[['expr','x0']]})
def demo1(expr=input_box(default=(x^2+1)/(x^2-5*x+6),label='f(x):',width=25),
    x0=input_box(default=5,label='x0:',width=25)):
    f=limit(expr,x=x0)
    print("Limit = ",f.simplify_full())

SW50ZXJhY3RpdmUgZnVuY3Rpb24gPGZ1bmN0aW9uIGRlbW8xIGF0IDB4N2Y1MGNkY2RhYzgwPiB3aXRoIDIgd2lkZ2V0cwogIGV4cHI6IEV2YWxUZXh0KHZhbHVlPXUnKHheMiArIDEpLyh4XjLigKY=

Завдання 4.10. Розробити додаток, використавши стандартні елементи управління, для обчислення лівої та правої границь функції у точці $x_0$

Завдання 4.11*. Розробити додаток, використавши стандартні елементи управління, для дослідження функції на неперервність у точці $x_0$ (автоматизувати генерування висновок щодо неперервності чи характер точок розриву)