Contact Us!
CoCalc Logo Icon
StoreFeaturesDocsShareSupportNewsAboutSign UpSign In

Real-time collaboration for Jupyter Notebooks, Linux Terminals, LaTeX, VS Code, R IDE, and more,
all in one place. Commercial Alternative to JupyterHub.

| Download

Jupyter notebook Sympy-01.ipynb

Views: 55
Tweet
Share
Share
Kernel: Python 2 (SageMath)

#

החבילה SymPy

SymPy היא ספרייה למתמטיקה סימבולית המיועדת ל- Python. היא כתובה כולה רק ב-Python, כך שאין צורך בסיפריות נוספות כדי להשתמש בה. בכוונת מפתחי ה- Sympy לפתחה עד כדי מערכת המכילה את כל התכונות והיכולות של תוכנות CAS (Computer Algebra System). המפתחים מנסים לשמור את הקוד פשוט ככל האפשר כדי ליצור חבילה קלה להבנה ושאפשר להרחיבה בקלות. באופן בסיסי Sympy היא מחשבון סימבולי, אבל יתרונה בכך שאפשר להשתמש בה בתוכנית מחשב.
from sympy import *
init_printing()

import math

math.sqrt(2)
1.414213562371.41421356237
sqrt(2)
2\sqrt{2}
acos(0.5)
1.04719755119661.0471975511966
acos(1/2)
π2\frac{\pi}{2}

###

תרגיל 1

הפעילו על 1- את הפונקציה acos
acos(Out[6])
acos⁡(π2)\operatorname{acos}{\left (\frac{\pi}{2} \right )}

##

Symbols

האוביקט הבסיסי ב- Sympy הוא ה- Symbol אוביקט זה מייצג משתנה מתמטי. יצירת אובייקט זה נעשיית באמצעות הפונקציה Symbol או symbols
x,y,z=symbols('x y z')
alpha,beta,gamma=symbols('alpha,beta,gamma')
sin(alpha)**2+sin(beta)**2
sin⁡2(α)+sin⁡2(β)\sin^{2}{\left (\alpha \right )} + \sin^{2}{\left (\beta \right )}

###

תרגיל 2

בעזרת הפונקציה symbols צרו את המשתנים mu ו- sigma 
?,?=symbols('? ?')
Object `` not found.

###

תרגיל 3

הגדירו את הפונקציה e−(x−μ)2σ2e^{ {-(x-\mu)^2}\over{\sigma^2}} פונקציה זו מכונה פונקציית הפעמון.
bell=?
File "<ipython-input-10-5cb17d057ce3>", line 1 bell=? ^ SyntaxError: invalid syntax

##

גזירה של פונקציה

a=Symbol('a')
diff(a*x**3,x)

bell.diff(x)

##

שרטוט גרף באמצעות sympy.plotting 

from sympy.plotting import *
plot(exp(-(x-3)**2),(x,-5,6))

###

תרגיל 4

חשבו את הניגזרת השנייה של פונקציית "הפעמון" ושרטטו גרף שלה

##

הפונקציות simplify, subs,expand,evalf 

a,b,c,d=symbols('a b c d')
expr=(a-b)*(a+b)**2
expand(expr)

expr.expand()

new_expr=expr.subs([(a,3),(b,d*c/2)])
new_expr

simplify(new_expr)

new_expr.subs([(c,2.4),(d,3)]).evalf()

###

תרגיל 5

בעזרת הפונקציה help בדקו מה פעולת הפונקציה simplify.

###

תרגיל 6

הפעילו את הפונקציה simplify על הניגזרת השלישית של פונקציית הפעמון

###

תרגיל 7

פשטו את הביטוי : (x+1)21−x2 (x+1)^2 \over {1-x^2} (הפונקציה simplify)

###

תרגיל 8

הפעילו על הביטוי הקודם את הפונקציה expand.

###

תרגיל 9

הביטוי שלמטה הוא נוסחת הרון לחישוב שטח משולש שצלעותיו הן a,b ו-c. s הוא חצי היקף המשולש. השתמשו בפונקציה subs וחשבו את שטח המשולש אם נתון ש: a=6, b=7, c=9
קודם הציבו במקום s את מחצית סכום הצלעות ולאחר מכן הציבו את הערכים.
a,b,c,s=symbols('a,b,c,s')
area=sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))

##

בדיקת שוויון 

x,y=symbols('x y')
a=(x-y)**2
b=x**2-2*x*y+y**2
a==b

simplify(a-b)

##

יצירת משוואה

יוצרים משוואה באמצעות הפונקציה Eq
e=Eq(y,4*x**2-x+3)
e

e.lhs

e.rhs

solve(e,x)

##

תרגיל 10

כתבו פונקציה המקבלת שני ביטווים. הפונקציה צריכה tupl המכיל שני ערכים בוליאניים. הראשון מציין האם הביטויים זהים והשני האם הביטויים שווים מתמטית. 
def equality_exercise(a,b):
    """Return a tuple of tow boolean. the first is True if a=b symbolicaly, 
    the second is True if a==b mathematically. 
    Examples
    ========
    >>> x=symbols('x')
    >>> equality_exercise(x,2)
    (False,False)
    >>> equality_exercise((x+1)**2,x**2+2*x+1)
    (False,True)
    >>> equality_exercise(4*x,4*x)
    (True,True)
    """



sympify('2*cos(x)')

דוגמא

קיבול חום סגול של חומר מוגדר ככמות האנרגיה שצריך לספק לכמות חומר שגודלה יחידת מסה אחת כדי לחמם אותה ב- 10C 1^0C . קיבול החום הסגולי של מים הוא 4.2Jgr⋅10C 4.2{ J\over {gr\cdot 1^0C}} (האות J מציינת את יחידת האנרגיה ג'ול) הספק של גוף חימום שווה לכמות האנרגיה שפולט גוף החימום ביחידת זמן. יחידת ההספק היא ווט (W) והיא שווה לכמות אנרגיה של 1J בשנייה (s). בהמשך דוגמא לחישוב הזמן הדרוש לחימום דוד מים המכיל 150 ליטר מים בטמפרטורה של 230C 23^0 C לטמפרטורה של 600C 60^0C בעזרת גוף חימום שהספקו 2000W.
##
הערה:
כאשר מצמידים גוף בטמפרטורה גבוהה לגוף בטמפרטורה נמוכה יותר עוברת אנרגיה מהגוף החם לקר עד שהטמפרטורות משתוות. כמות האנרגיה העוברת מהגוף החם לקר מכונה חום.
Q - כמות חום

T1- טמפרטורה התחלתית

T2- טמפרטורה סופית

m - מסת המים

c -קיבול חום סגולי של מים

P - הספק גוף החימום

##

חישוב כמות החום הדרושה לחימום המים:

c=4.2# J/gr-1C
m=150*1000 #gr
T1=23 #C
T2=60 #C
P=2000 #w
Q=c*m*(T2-T1)
t=Q/P
print t, "C"
כפי שניתן לראות במקרה זה אין צורך להשתמש ב-Sympy לפתרון התרגיל.

#

השימוש ב- Sympy הוא הדרך הפשוטה לפתרון בעיות מסובכות והדרך המסובכת לפתרון בעיות פשוטות

##

תרגיל 11

נתון גוף שמסתו m1 בטמפרטורה T1 וקיבול חום C1. מצמידים אותו לגוף שמסתו m2, הטמפרטורה שלו T2 וקיבול החום שלו C2. פתחו בעזרת Sympy ביטוי לטמפרטורה הסופית של שני הגופים ( הניחו כי כמות החום שפלט האחד שווה לכמות החום שקלט השני).

##

הפונקציה solve

פתרון סימבולי: 
x,b=symbols('x b')
eq=Eq(x-1/x+b*x,7)
print eq
ans=solve(eq,x)
ans

###

פיתרון נומרי עבור b=5 

print ans[0].subs(b,5).n(3), ans[1].subs(b,5).n(3)

###

יותר מנעלם אחד: 

x,y=symbols('x,y')
solve([Eq(3*(x-y)**2+x-2,y),Eq(y*x+x/3+y,1)],[x,y])

##

תרגיל 12

חלקיק נע במהירות קצובה לאורך הקו הישר: y=m⋅x+n y=m\cdot x+n . בנקודה (a,b) דיסקה ברדיוס r.
פתחו נוסחא באמצעותה ניתן לדעת האם החלקיק מתנגש בדיסקה ןאם כן היכן.
היכן נקודת ההתנגשות עבור הערכים הבאים: a=2,b=3,m=1,n=0.5, ו- r=5

#

מציאת נקודות קיצון של פונקציה

בנקודת קיצון הניגזרת מתאפסת

f(x)=e−(x2−ax+b)c f(x)=e^\frac{-(x^2-ax+b)}{c} 

x,a,b,c=symbols('x,a,b,c')
f=exp(-(x**2-a*x-b)/c)
plot(f.subs([(a,2),(b,1),(c,3)]),(x,-4,5))

solve(f.diff(x),x)

##

תרגיל 12

מזריקים כמות A של תרופה לחולה. הריכוז c של התרופה נימדד ב: mgml \frac{mg}{ml} . כעבור זמן t מרגע הזרקת התרופה הריכוז ניתן על ידי : c(t)=Ate−t/3 c(t)=Ate^{-t/3} . הזמן נימדד בדקות. הריכוז המקסימאלי המותר של התרופה הוא 1mgml 1 \frac{mg}{ml}
- איזו כמות מקסימאלית A מותר להזריק ? ומתי מתקבל הריכוז המקסימאלי?
- שרטטו גרף של הריכוז בדם כתלות בזמן והעריכו באמצעותו מתי מתקבל ריכוז של 0.25mgml 0.25 \frac{mg}{ml}
- מצאו לסעיף הקודם תשובה מדויקת בעזרת הפונקציה nsolv.
-כל כמה זמן צריך להזריק לחולה את התרופה כדי שהריכוז לא יהיה מעבר לערך המקסימאלי ולא יפחת מערך מינימאלי של 0.25mgml 0.25 \frac{mg}{ml}
from sympy import *
A,t=symbols('A,t')
c=A*t*exp(-t/3)
from sympy.plotting import *
plot(c.subs(A,5),(t,0,10),title='c vs t graph',xlabel='t(s)',ylabel="c(mg/ml)")


tmax=solve(c.diff(t),t)
tmax

cmax=1#mg/ml
Ac=solve(Eq(c.subs(t,tmax[0]),cmax),A)
Ac

Ac[0].evalf()

plot(c.subs(A,Ac[0]),(t,0,10),title='c vs t graph',xlabel='t(s)',ylabel="c(mg/ml)")