����; � TeX output 2017.11.20:1616� ������! systemdict /pdfmark known{userdict /?pdfmark systemdict /exec get put}{userdict /?pdfmark systemdict /pop get put userdict /pdfmark systemdict /cleartomark get put}ifelse�ps:SDict begin [/Producer (dvips + Distiller)/Title ()/Subject ()/Creator (LaTeX with hyperref package)/Author ()/Keywords () /DOCINFO pdfmark end� o! /DvipsToPDF{72.27 mul Resolution div} def/PDFToDvips{72.27 div Resolution mul} def/BPToDvips{72 div Resolution mul}def/BorderArrayPatch{[exch{dup dup type/integertype eq exch type/realtype eq or{BPToDvips}if}forall]}def/HyperBorder {1 PDFToDvips} def/H.V {pdf@hoff pdf@voff null} def/H.B {/Rect[pdf@llx pdf@lly pdf@urx pdf@ury]} def/H.S {currentpoint HyperBorder add /pdf@lly exch def dup DvipsToPDF 72 add /pdf@hoff exch def HyperBorder sub /pdf@llx exch def} def/H.L {2 sub dup/HyperBasePt exch def PDFToDvips /HyperBaseDvips exch def currentpoint HyperBaseDvips sub /pdf@ury exch def/pdf@urx exch def} def/H.A {H.L currentpoint exch pop vsize 72 sub exch DvipsToPDF HyperBasePt sub sub /pdf@voff exch def} def/H.R {currentpoint HyperBorder sub /pdf@ury exch def HyperBorder add /pdf@urx exch def currentpoint exch pop vsize 72 sub exch DvipsToPDF sub /pdf@voff exch def} def�papersize=614.295pt,794.96999pt���ps:SDict begin /product where{pop product(Distiller)search{pop pop pop version(.)search{exch pop exch pop(3011)eq{gsave newpath 0 0 moveto closepath clip/Courier findfont 10 scalefont setfont 72 72 moveto(.)show grestore}if}{pop}ifelse}{pop}ifelse}if end���������ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin H.R end�Dps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (page.1) cvn /DEST pdfmark end����n���W���papersize=614.295pt,794.96999pt�papersize=614.295pt,794.96999pt����>�덍�color push gray 0�����fd������E�(
pplr8t�B��atrice�� I.�Chetar���d�������G ILast�� update:��November�20,�2017����� � ff��I������I� color pop����n���u���color push gray 0�kps:SDict begin [/Count -2/Dest (section.1) cvn/Title (Classic graded representation rings) /OUT pdfmark end�Sps:SDict begin [/Count -0/Dest (subsection.1.1) cvn/Title (Theory) /OUT pdfmark end�Ups:SDict begin [/Count -0/Dest (subsection.1.2) cvn/Title (Examples) /OUT pdfmark end�jps:SDict begin [/Count -2/Dest (section.2) cvn/Title (R* and PR* are not Mackey functors) /OUT pdfmark end�bps:SDict begin [/Count -0/Dest (subsection.2.1) cvn/Title (The graded ring of A4) /OUT pdfmark end�kps:SDict begin [/Count -0/Dest (subsection.2.2) cvn/Title (The permutation ring PR*\(A4\)) /OUT pdfmark end�\ps:SDict begin [/Count -2/Dest (section.3) cvn/Title (The saturated ring R) /OUT pdfmark end�Sps:SDict begin [/Count -0/Dest (subsection.3.1) cvn/Title (Theory) /OUT pdfmark end�Ups:SDict begin [/Count -0/Dest (subsection.3.2) cvn/Title (Examples) /OUT pdfmark end�Wps:SDict begin [/Count -2/Dest (section.4) cvn/Title (Completed rings) /OUT pdfmark end�Ups:SDict begin [/Count -0/Dest (subsection.4.1) cvn/Title (p-groups) /OUT pdfmark end�bps:SDict begin [/Count -0/Dest (subsection.4.2) cvn/Title (General finite groups) /OUT pdfmark end�kps:SDict begin [/Count -2/Dest (section.5) cvn/Title (Saturated rings as Tambara functors) /OUT pdfmark end�vps:SDict begin [/Count -0/Dest (subsection.5.1) cvn/Title (Representation rings and tensor induction) /OUT pdfmark end�`ps:SDict begin [/Count -0/Dest (subsection.5.2) cvn/Title (Steenrod operations) /OUT pdfmark end�Xps:SDict begin [/Count -0/Dest (section.6) cvn/Title (Table of results) /OUT pdfmark end�Nps:SDict begin [/PageMode /UseOutlines/Page 1/View [/Fit] /DOCVIEW pdfmark end�/ps:SDict begin [ {Catalog}<<>> /PUT pdfmark end�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Gps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Doc-Start) cvn /DEST pdfmark end�63<����8��color push gray 0� color pop���8���E�( G�
pplr8t�Saturated�Q�graded�rings�of�nite�gr��goup�r�epr�esentations��"ݪ��,
ff
pplb8t�Contents��!����ps:SDict begin H.S end��,
pplb8t�1�� Classic�� graded�representation�rings�ps:SDict begin 13.20007 H.L end�zps:SDict begin [/Subtype /Link/Dest (section.1) cvn/H /I/Border [0 0 1]BorderArrayPatch/Color [1 0 0] H.B /ANN pdfmark end�����J1���
38��� �ps:SDict begin H.S end��1.1�� Theory�ps:SDict begin 13.20007 H.L end�ps:SDict begin [/Subtype /Link/Dest (subsection.1.1) cvn/H /I/Border [0 0 1]BorderArrayPatch/Color [1 0 0] H.B /ANN pdfmark end��J������.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.����C"�color push gray 01��C"� color pop����� �ps:SDict begin H.S end�1.2�� Examples�ps:SDict begin 13.20007 H.L end�ps:SDict begin [/Subtype /Link/Dest (subsection.1.2) cvn/H /I/Border [0 0 1]BorderArrayPatch/Color [1 0 0] H.B /ANN pdfmark end��R�����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.����C"�color push gray 04��C"� color pop��38���ps:SDict begin H.S end��2�� � �3��
zplmr7m�R���^��$�G� ��
zplmr7y���&G�and�� �P� R���^�����are�not�Mackey�functors�ps:SDict begin 13.20007 H.L end�zps:SDict begin [/Subtype /Link/Dest (section.2) cvn/H /I/Border [0 0 1]BorderArrayPatch/Color [1 0 0] H.B /ANN pdfmark end�����H13������ �ps:SDict begin H.S end��2.1�� The�� graded�ring�of��A���_��z� ��
pplr7t�4��L��ps:SDict begin 13.20007 H.L end�ps:SDict begin [/Subtype /Link/Dest (subsection.2.1) cvn/H /I/Border [0 0 1]BorderArrayPatch/Color [1 0 0] H.B /ANN pdfmark end�� �h�����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.����C"�color push gray 013��C"� color pop����� �ps:SDict begin H.S end�2.2�� The�� permutation�ring��P� R���^�����G�)�t��
zplmr7t�(�A���_�4��L��)�ps:SDict begin 13.20007 H.L end�ps:SDict begin [/Subtype /Link/Dest (subsection.2.2) cvn/H /I/Border [0 0 1]BorderArrayPatch/Color [1 0 0] H.B /ANN pdfmark end�� ��@�����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.����C!�color push gray 015��C!� color pop�����ps:SDict begin H.S end��3�� The�� saturated�ring��#�G�
zplmr7y�R�ps:SDict begin 13.20007 H.L end�zps:SDict begin [/Subtype /Link/Dest (section.3) cvn/H /I/Border [0 0 1]BorderArrayPatch/Color [1 0 0] H.B /ANN pdfmark end�����J�16������ �ps:SDict begin H.S end��3.1�� Theory�ps:SDict begin 13.20007 H.L end�ps:SDict begin [/Subtype /Link/Dest (subsection.3.1) cvn/H /I/Border [0 0 1]BorderArrayPatch/Color [1 0 0] H.B /ANN pdfmark end��J������.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.����C"�color push gray 016��C"� color pop����� �ps:SDict begin H.S end�3.2�� Examples�ps:SDict begin 13.20007 H.L end�ps:SDict begin [/Subtype /Link/Dest (subsection.3.2) cvn/H /I/Border [0 0 1]BorderArrayPatch/Color [1 0 0] H.B /ANN pdfmark end��R�����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.����C"�color push gray 020��C"� color pop�����ps:SDict begin H.S end��4�� Completed�� rings�ps:SDict begin 13.20007 H.L end�zps:SDict begin [/Subtype /Link/Dest (section.4) cvn/H /I/Border [0 0 1]BorderArrayPatch/Color [1 0 0] H.B /ANN pdfmark end�����J25������ �ps:SDict begin H.S end��4.1�� �p�-gr���oups�ps:SDict begin 13.20007 H.L end�ps:SDict begin [/Subtype /Link/Dest (subsection.4.1) cvn/H /I/Border [0 0 1]BorderArrayPatch/Color [1 0 0] H.B /ANN pdfmark end��R�����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.����C"�color push gray 025��C"� color pop����� �ps:SDict begin H.S end�4.2�� General�� nite�gr���oups�ps:SDict begin 13.20007 H.L end�ps:SDict begin [/Subtype /Link/Dest (subsection.4.2) cvn/H /I/Border [0 0 1]BorderArrayPatch/Color [1 0 0] H.B /ANN pdfmark end�� ��p����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.����C �color push gray 027��C � color pop�����ps:SDict begin H.S end��5�� Saturated�� rings�as�T����ambara�functors�ps:SDict begin 13.20007 H.L end�zps:SDict begin [/Subtype /Link/Dest (section.5) cvn/H /I/Border [0 0 1]BorderArrayPatch/Color [1 0 0] H.B /ANN pdfmark end�����I27������ �ps:SDict begin H.S end��5.1�� Repr���esentation�� rings�and�tensor�induction�ps:SDict begin 13.20007 H.L end�ps:SDict begin [/Subtype /Link/Dest (subsection.5.1) cvn/H /I/Border [0 0 1]BorderArrayPatch/Color [1 0 0] H.B /ANN pdfmark end�� ������.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.����C!�color push gray 027��C!� color pop����� �ps:SDict begin H.S end�5.2�� Steenr���od�� operations�ps:SDict begin 13.20007 H.L end�ps:SDict begin [/Subtype /Link/Dest (subsection.5.2) cvn/H /I/Border [0 0 1]BorderArrayPatch/Color [1 0 0] H.B /ANN pdfmark end��x����.��������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.�������.����C �color push gray 029��C � color pop�����ps:SDict begin H.S end��6�� T����able�� of�results�ps:SDict begin 13.20007 H.L end�zps:SDict begin [/Subtype /Link/Dest (section.6) cvn/H /I/Border [0 0 1]BorderArrayPatch/Color [1 0 0] H.B /ANN pdfmark end�����I30���k�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Gps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (section.1) cvn /DEST pdfmark end�"�?���color push gray 0�1�ff� color pop����Classic���graded�representation�rings���'�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Lps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (subsection.1.1) cvn /DEST pdfmark end�Ǯ���color push gray 0�B,
pplb8t�B1.1� � color pop�� Theory����ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Qps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (subsubsection.1.1.1) cvn /DEST pdfmark end�
=q���color push gray 0�1.1.1�
� color pop�� Denitions,�� rst�properties���&��color push gray 0Notation.� color pop� �`�I� �write�
�R���^��������D�↓ ��
fplmbb�DK�����(�G�Y��)�
�for�the�graded�r���epr�esentation�
ring�associated�to��G�c��with�coecients�in�the�eld����C�↓
fplmbb�CK�.�]�When���a���(lower�case)�is�an�element�of�the�graded�ring��R���^��������DK�����(�G�Y��)�,�denote�by��A��(upper�case)�any�lift�of��a��to����R��ѷ�DK����(�G�Y��)�.���The��induction��of�r���epr�esentations��fr�om�a��subgr�oup��H����to��a�bigger�gr���oup��G�k#�is�denoted����z�
pplr7t�Ind�������^R�!�3�� ��
zplmr7m�G����^RH���w�,�5�or��i���������for�short���(when�� �H� ��,����G�ٙ�ar���e�obvious�fr�om�the�context).��Similarly�for�the�r�estriction���Res�����$��5��G����5�H����}�or��i����^�����2�.��38��color push gray 0�Denition.� � color pop�The�� �F�Y��
pplri8t�Fweight��of�a�monomial��t���=��c�����i������z�
pplr7t�1���?��(�x���_�1��L��)���������%�c�����i��#��"�3��
zplmr7m�n����J�(�x����n���e�)�,�� is��w����=���� ��&���
zplmr7v�P��]>�i����k��6�.��The�degr���ee�of��t��is��n�.����color push gray 0�Denition.��?� color pop�(See�B�[���7�ps:SDict begin H.S end���color push gray 0W��eb� color pop���f^�����ps:SDict begin H.R end��f^�zps:SDict begin [/Color [0 1 0]/H /I/Border [0 0 1]BorderArrayPatch/Subtype /Link/Dest (cite.webb) cvn H.B /ANN pdfmark end��f^]).Let��R��be�B�a�commutative�ring�with�a��1��and�let��R�-��mod���E�be�the�category�of��R�-modules.��
38�Let�� �G�ٙ�be�a�nite�gr���oup.��A��FMackey�functor��over��R��is�a�function���� � E�M��K�:���f���subgr���oups�� of���<���G�Y��g���� ���� 6!��R���-����Tx�mod���� ��color push gray 0���I� color pop����� *��ps:SDict begin /product where{pop product(Distiller)search{pop pop pop version(.)search{exch pop exch pop(3011)eq{gsave newpath 0 0 moveto closepath clip/Courier findfont 10 scalefont setfont 72 72 moveto(.)show grestore}if}{pop}ifelse}{pop}ifelse}if end���������ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin H.R end�Dps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (page.2) cvn /DEST pdfmark end����n����>�덍�color push gray 0���I� color pop����n������with,�� for�all�subgr���oups��K�������H�L6���G�ٙ�and�� for�all�elements��g���2���G�Y��,�morphisms:��38����� ����I����� ���H��㻍K���
���:���M�33�(�K�5��)���������� �B$� ���� �!���M�33�(�H� ��)�����Xo����� ��4�R�����H��㻍K��� ���:���M�33�(�H� ��)���������� �B$� ���� �!���M�33�(�K�5��)�����38����� ����c����g��oP�:���M�33�(�H� ��)���������� �B$� ���� �!���M�33�(����g���8�H� ��)�������wher���e��� ��^��g��(8�H�L6�=���g��H� �g����^�� �1��
���,�� such�that,�for�all�subgr�oups��J�`�����K������H�L6���G�Y��:�����ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Dps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Item.1) cvn /DEST pdfmark end�aP���� �color push gray 0���n!(i)�� color pop��� �I���^��� ���H��㻍H������,����R���^���H��㻍H�����,��c����h��NC�:���M�33�(�H� ��)��!��M��(�H� ��)�� �ar���e�the�identity�morphisms�for�all�subgr�oups��H��and�for�all��h���2��H� ��.��K5�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Dps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Item.2) cvn /DEST pdfmark end�
����� �color push gray 0���2(ii)�� color pop��� �R���^���K��㻍J����i�R���^���H��㻍K��� ���=���R���^���H��㻍J�����?�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Dps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Item.3) cvn /DEST pdfmark end�
⩍��� �color push gray 0���C�(iii)�� color pop��� �I���^��� ���H��㻍K������I���^��� ���K��㻍J��� Sv�=���I���^��� ���H��㻍J�����ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Dps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Item.4) cvn /DEST pdfmark end�_����� �color push gray 0������(iv)�� color pop��� �c����h���+�c����h��NC�=���c����g�th��/c�for�� �g���,����h��2��G��1��ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Dps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Item.5) cvn /DEST pdfmark end�J.���� �color push gray 0����(v)�� color pop��� �R���^�����=��g���-�H��ڍ����&�g���-�K���
���c����g��oP�=���c����g���8�R���^���H��㻍K�������ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Dps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Item.6) cvn /DEST pdfmark end�
�D���� �color push gray 0������(vi)�� color pop��� �I���^���� ����=��g��q"�H��ڍ����&�g���-�K������c����g��oP�=���c����g���8�I���^��� ���H��㻍K�����ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Dps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Item.7) cvn /DEST pdfmark end�Bэ��� �color push gray 0������(vii)�� color pop��� �R���^���H��㻍J�����I���^��� ���H��㻍K���
���=����8l� ��P��� ������x�t�2�*�t�� ��
zplmr7t�[�J�t��n�H�e+�/�K�(��]���+?��I������� ���J��kōJ�t��\����x�����K����}�c����x�����R���^���K��㻍J��t����x��D��\�K�������ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Ips:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Theorem.1.1) cvn /DEST pdfmark end����color push gray 0�Proposition�� 1.1.� � color pop�FThe�graded�r���epr�esentation�� ring��R���^�����G�(�G�Y��)��Fis�of��j�G��j�F-torsion.��38����� �color push gray 0� Pr���oof.� color pop������color push cmyk 0 1 0 0�I�E�(
pplr8t�IT��,o�@ be�added.� color pop���~��� � ff����d� ff �Y�� ff �� � � ff����
�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Ips:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Theorem.1.2) cvn /DEST pdfmark end�
p���color push gray 0�Proposition�� 1.2.� � color pop����ps:SDict begin H.S end���color push gray 0�F1.1� color pop���� ����ps:SDict begin H.R end��� �|ps:SDict begin [/Color [1 0 0]/H /I/Border [0 0 1]BorderArrayPatch/Subtype /Link/Dest (Theorem.1.1) cvn H.B /ANN pdfmark end�Let��G�ٙ�Fand��H��Fbe�gr���oups�with�coprime�order��B�.��Then��38�� �jn�R�������G�(�G�K]�����H� ��)��=��R�������(�G�Y��)����
��ѷ�DZ�����R�������(�H� ��)������� �color push gray 0� �FPr���oof.� color pop������Any�\irr���educible�[r�epr�esentation����of�[�G������+�H��z�is�of�the�form������G���r�
��+���о�H�� ,#�for�some�irr���educible�r�epr�esentations��
38������G���F�of�� �G�ٙ�and����о�H�� ���of��H� ��.��Thus��R�(�G�K]�����H��)��=��R�(�G�Y��)����
��ѷ�DZ�����R�(�H��)�,�� and�the�ltration�on��R�(�G�K]�����H��)��is��#��� �� ����n���e�(�G�K]�����H� ��)��=���L�~��n���2�����33�M������zx�i�
��=�0���KY� ����i���~�(�G�Y��)��
�� ����n� �i��
�q�(�H� ��)�.��!ύ�Since�%�R���^��k��6�(�G�Y��)�%�(r���esp.���R���^��k���(�H� ��)�)�is�%of��j�G�Y��j��(r���esp.���j�H� ��j�)-torsion�for��k��>����0�,�NBthe�terms�� ���^��i���~�(�G�Y��)�.��
�� ���^��n� �i��
�q�(�H� ��)�%�vanish�mod���� ���^��n�+�1����(�G�K]�����H� ��)�� �whenever��i���6�=���0,����n�,�so�that:���_��C���R����n���e�(�G�K]�����H� ��)��=������㍍��
8���� ��߬� ���^��0��L��(�G�Y��)��
�� ���^��n���(�H� ��)��������[;s�������� ���8� ���^��n���(�G�Y��)��
�� ���^��0��L��(�H� ��)����������K�P� ff ��� e������(��J= ���*�0��L��(�G�Y��)��
�� ���*�n�+�1����(�H� ��)���)���WA(�������(��< ���*�n�+�1����(�G�Y��)��
�� ���*�0��L��(�H� ��)���)����������0���� ��x����O[��� ��x�=����� ��"�R����n���(�G�Y��)����R����n���(�H� ��)�.��l��Thus:��������� �{9�R�������G�(�G�K]�����H� ��)������� �2u=���CZ����������� �����
���33M������
��i�
���1������R����i���~�(�G�Y��)����R����i���(�H� ��)�����!������������� �2u�=���R�������G�(�G�Y��)����
��R�������(�H� ��)�����38�����wQ� � ff����d� ff �Y�� ff �� � � ff���� �ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Qps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (subsubsection.1.1.2) cvn /DEST pdfmark end�� ��color push gray 0�� �`��2����I� color pop����� ;3��ps:SDict begin /product where{pop product(Distiller)search{pop pop pop version(.)search{exch pop exch pop(3011)eq{gsave newpath 0 0 moveto closepath clip/Courier findfont 10 scalefont setfont 72 72 moveto(.)show grestore}if}{pop}ifelse}{pop}ifelse}if end���������ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin H.R end�Dps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (page.3) cvn /DEST pdfmark end����n����>�덍�color push gray 0���I� color pop����n����덍�color push gray 0�1.1.2�
� color pop�� Evaluation�� of�characters,�topology���&��color push gray 0T����opological�/Lconsiderations.� color pop� �`�In�the�sequel,�?pwe�view��R�(�G�Y��)�/K�as�a�topological�ring,�with�the�topology�induced��
38�by�� the�ltration��f� ���^��n���e�g�;�that�is,�a�subset��U�S�����R�(�G�Y��)��is�open�if�for�any��x���2��U���ther���e�is�a��t��such�that��x�]�+��� ���^��t�������U� ���.�����ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Ips:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Theorem.1.3) cvn /DEST pdfmark end�ọ�color push gray 0�Proposition��1.3���([���7�ps:SDict begin H.S end���color push gray 0Ati61� color pop��������ps:SDict begin H.R end����ps:SDict begin [/Color [0 1 0]/H /I/Border [0 0 1]BorderArrayPatch/Subtype /Link/Dest (cite.atiyah-characters_cohomology) cvn H.B /ANN pdfmark end���,�3�Cor��B�.��j12.3])�.�_�� color pop�FThe�topology�induced�by�the�� �F-ltration�coincides�with�the��I� ���F-adic�topology��G,���wher���e�� �I�(��Fis�the�augmentation�ideal�of��R�(�G�Y��)�F.��������� �color push gray 0� Pr���oof.� color pop������color push cmyk 0 1 0 0�IT��,o�@ be�added.� color pop���~��� � ff����d� ff �Y�� ff �� � � ff����S�� �If�� �G�ٙ�has�exponent��m�,�then�each�conjugacy�class�r���epr�esentative�� �g���2���G��gives�rise�to�a�ring�morphism:���y�� �2������g��oP�:��������(�����z�����R�(�G�Y��)���!��CZ�[�����m���Q�]������������7!��������}p�(�g���)�����Z�8�,����wher���e�������m�� S`�is�a�choice��of�primitive��m�-th�r���oot�of�unity����.���W��e�ar�e�inter�ested��in�continuity�and�density�questions���with���r���espect���to��p�-adic�topologies�on��CZ�.�mHNote�that�our�choice�of�primitive�r���oot������m�� 67�xes�asn�extension�of�the����p�-adic�� valuation�to��CZ�[�����m���Q�]�,�for�any�prime�number��p�.���Suppose�� we�ar���e�given�gr�oups����=���K�e��5Í�� ���^��n�������(�n�����1�)�� �such�that:��r8�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Dps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Item.8) cvn /DEST pdfmark end�Ak�����!=�color push gray 0�� �[A.�� � color pop������=��"��e��5Í�!?� ���^��n�+�1����&�s�����=���c�e��5Í��� ���^��n�����@�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Dps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Item.9) cvn /DEST pdfmark end��T�����!=�color push gray 0��c��B.�� � color pop���!?� ���^��n���}�=����=���c�e��5Í��� ���^��n����r��+��� ���^��n�+�1�������(think�� of����=���K�e��5Í�� ���^��n�������as�a�tr��uncated�� ���^��n���e�).��Then�by�an�immediate�induction:���ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Ips:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Theorem.1.4) cvn /DEST pdfmark end�Ἅ�color push gray 0�Lemma�� 1.4.� � color pop�FFor�all��k��~�2���CN�F,���� Ⱦ3� ����n���}�=����=���c�e��5Í��� ����n����r��+��� ����n�+�k���ӈ�����wQ� � ff����d� ff �Y�� ff �� � � ff��������color push gray 0�Denition.� � color pop�Call�� �(����=��K�e��5Í� ���^��n����
���)����n��je�an��Fadmissible�appr���oximation��for��( ���^��n���e�)����n���if�it�satises�the�conditions�above.��
B��ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Ips:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Theorem.1.5) cvn /DEST pdfmark end�
p���color push gray 0�Proposition�� 1.5.� � color pop�FLet��p��Fbe�a�prime�number��B�,�and�x�an�extension�suppose�the�evaluation�morphisms������ �������_�1��L��,���������%�����k���N�:���R�(�G�Y��)��7!��CZ�[�����m���Q�]������Far���e� ocontinuous�with�r�espect�to�the� ptopology�induced�by�the�ltration��f� ���^��n���e�g��Fon��R�(�G�Y��)�F,��and�the��p�F-adic�topology�on��CZ�[�����m���Q�]�F.���Then�� for�all��x���2��� ���^��n���e�F,�ther���e�is�an�element���ፑ(�e��%���x���
�/�2����=���c�e��5Í�� ���^��n���� ��Fsuch�that�for�all��i���=��1,������������,����k��f�F:���� �d��v����p���n�(������i���~�(�x���))��=��v����p���(������i���~�(���ፑ �(�e��%��x�����))��������� �color push gray 0� �FPr���oof.� color pop������Let�G��x�R4�2�8�� ���^��n���e�.�p7W��B�rite��x��=���ፑ���e��%��8��x����]�+�;��r�a#�with���ፑ��e��%���x���
=�2����=��9��e��5Í�8�� ���^��n����9��and��r��2�8�� ���^��N����,�ylchoosing�G��N���lar���ge�enough�that��v����p���n�(������i���~�(�r���))��>���v����p���n�(������i���~�(�x���))�� �for�all��i���.��So���� ���v����p���n�(������i���~�(�x���))�������min���Vg�f�v����p���(������i���~�(���ፑ �(�e��%��x�����))�,����v����p���(������i���(�r���))�g��Ӊ��with�� equality�if��v����p���n�(������i���~�(���ፑ �(�e��%��x�����))���6�=��v����p���(������i���~�(�r���))�.��Now��,�� we�must�have���� ���v����p���n�(������i���~�(���ፑ �(�e��%��x�����))���<�v����p���(������i���~�(�r���))����since�� otherwise��v����p���n�(������i���~�(���ፑ �(�e��%��x�����)���+�������i���(�r���))�����v����p���n�(������i���(�r���))��>�v����p���n�(������i���(�x���))�.��Thus������ �d��v����p���n�(������i���~�(�x���))��=��v����p���(������i���~�(���ፑ �(�e��%��x�����))�������wQ� � ff����d� ff �Y�� ff �� � � ff������ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Ips:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Theorem.1.6) cvn /DEST pdfmark end���color push gray 0�Proposition�CX1.6.��;� color pop�FLet��G����Fbe�CWa��p�F-gr���oup.�c�Then�the�morphisms������g���8�F,�t.for��g�Jo�2�0��G�Y��F,�ar���e�all�continuous�CWwith�r�espect�to�the����p�F-adic�� topology�on��CZ�[�����m���Q�]�F.��� ��color push gray 0�� �`��3����I� color pop����� S���ps:SDict begin /product where{pop product(Distiller)search{pop pop pop version(.)search{exch pop exch pop(3011)eq{gsave newpath 0 0 moveto closepath clip/Courier findfont 10 scalefont setfont 72 72 moveto(.)show grestore}if}{pop}ifelse}{pop}ifelse}if end���������ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin H.R end�Dps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (page.4) cvn /DEST pdfmark end����n����>�덍�color push gray 0���I� color pop����n����덍��� �color push gray 0� �FPr���oof.� color pop������Fix��.an�element��-�g�P"�2�6��G���and�let��.�j�G�Y��j��=:��p���^��n���e�.��!By�pr���oposition���7�ps:SDict begin H.S end����color push gray 01.3� color pop���<.����ps:SDict begin H.R end��<.�|ps:SDict begin [/Color [1 0 0]/H /I/Border [0 0 1]BorderArrayPatch/Subtype /Link/Dest (Theorem.1.3) cvn H.B /ANN pdfmark end,��9it��-suces�to�show�that������g��df�is�continuous��
38�with���r���espect�to���the��I� ���-adic�topology�on�the�left,��!and�it�is�enough�to�show�that�for�any�irr���educible�character������of�� �G�Y��,���� ����v����p���n�(�����g���8�(����� ��"����(��)))���>��0.��38��Since�� �G�ٙ�is�a��p�-gr���oup,�every�character�is�a�sum�of��p���^��n���e�-th�r�oots�of�unity����,�so��38����� �E������g���8�(����� ��"����(��))������� �D=����(�g���)���� ��"����(��)������%����� �D=��������"��r�(��)��ꍍ�ٟ{�X��� ���7��l�D�=�1���V �(�����؍�i�����l����
��p����n����
֜� ����1�)�,�����!����and�� each��(�����؍�i�����l����
��p����n����
֜� ����1�)��has�positive�valuation.���]�� � ff����d� ff �Y�� ff �� � � ff����
[��ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Lps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (subsection.1.2) cvn /DEST pdfmark end�����color push gray 0�B1.2� � color pop�� Examples����ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Qps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (subsubsection.1.2.1) cvn /DEST pdfmark end�
=q���color push gray 0�1.2.1�
� color pop�� From�� the�denitions���&��color push gray 0Cyclic�� groups.� color pop���X�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Ips:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Theorem.1.7) cvn /DEST pdfmark end�����color push gray 0Proposition�T 1.7��([���7�ps:SDict begin H.S end���color push gray 0GM14� color pop��������ps:SDict begin H.R end����ps:SDict begin [/Color [0 1 0]/H /I/Border [0 0 1]BorderArrayPatch/Subtype /Link/Dest (cite.guillot-minac) cvn H.B /ANN pdfmark end���,�\�Pr���op.�
�3.4])�.���� color pop�FLet��C��о�N�� n��Fbe�the�cyclic�T
gr�oup�of�order��N� �\�F.�
�Whenever�T
�CK��Fis�an�algebraically�closed���eld�� of�characteristic�prime�to��N� �\�F,��>��� �z��R����������DK�����(�C��о�N����)��=�����:⍑��CZ��������[����z����]�����K�xQ� ff ��� (��(�N� �\z�)������J;��Fwith�� �j�z�j���=��1��Fand��z��=��c���_�1��L��(��)��Ffor�some�nontrivial,�one-dimensional�r���epr�esentation����Fof��C��о�N����F.��
���ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Ips:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Theorem.1.8) cvn /DEST pdfmark end�
ob��color push gray 0�Proposition�� 1.8.� � color pop��/���|M��R�������G�(�C��о�N����,����CR�)��=���ր���8������>�� ��>����>����>����>����>����>����<�� ��>����>����>����>����>����>����>����:������������:⍑!�"�CZ������[����t����]����!��xQ� ff ّ� (��(�N� �\t�)���������_���N��t�=��2�m����+��1�����w��������:⍑"���CZ������[����t�,��s����]�������xQ� ff .�Z� Gۍ(�N� �\t�,�2�s�,��s���*�2��L��)���������_���N��t���0�� �(��mod���_4�)����]�������:⍑"��CZ������[����t�,��s����]����
��xQ� ff G��
e7�(�N� �\t�,�2�s�,��s���*�2��>�� �����]��$��N��$���։ ff ���� ��f��2�����
���t�)��������_���N��t���2�� �(��mod���_4�)�������5_���Fwher���e�� �j�t�j���=��2��Fand��j�s�j��=��1�F.��38����� �color push gray 0� Pr���oof.� color pop�����Repr���esentations.����Let����g��H�be���a�choice�of�generator�of��C��о�N����.�The�r���eal���r�epr�esentations���of��C��о�N�� �i�ar���e�obtained�by���pairing�� complex�r���epr�esentations,�� and�ar���e�of�the�form:��"OW�� �8�����k��6�(�g���)��=�����g���0���o��@�����H������cos����������������]��#�2�k����#��։ ff �b�� ��*TN������1#����������A[�� �����sin����M�����������]����2�k�������։ ff �b�� ��*TN������%ۯ����������o����\��sin�����ɟ���������]��"kM�2�k����"kM��։ ff �b�� ��*TN������0�����������E�P�cos����U�Ɵ���������]��]J�2�k����]J��։ ff �b�� ��*TN������k$ߟ������������g��uɉ1���o��uɉA�����!����When��N��X�=����2�m�+��+��1��is�odd,�C we�obtain��m��irr���educible� r�epr�esentations�in�this�way����.��When��N��X�=����2�m�,�C we�have����(�m��e� ��1�)�q�such�r���epr�esentations,�'�as�qwell�as�the��1�-dimensional�pr���epr�esentation�q�"�S��:���g���7!� �1�.���W��e�have�the�r���elations:������� ������k��6�����l�������� �+��=�������k���+�l���d�+��������k��� �l��������Y�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 16.20007 H.A end�Jps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (equation.1.1) cvn /DEST pdfmark end��(1.1)������G������ �D�"���̟��2�������� �+��=���C1�������Y�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 16.20007 H.A end�Jps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (equation.1.2) cvn /DEST pdfmark end��(1.2)������38����� ���"�������k�������� �+��=�������k���+�m��������Y�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 16.20007 H.A end�Jps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (equation.1.3) cvn /DEST pdfmark end��(1.3)�������wher���e�� the�last�two�r�elations,�of�course,�only�apply�when��N��t�=���2�m�,�and�indices�ar�e�taken�mod��N� �\�.��� ��color push gray 0�� �`�4����I� color pop����� l@��ps:SDict begin /product where{pop product(Distiller)search{pop pop pop version(.)search{exch pop exch pop(3011)eq{gsave newpath 0 0 moveto closepath clip/Courier findfont 10 scalefont setfont 72 72 moveto(.)show grestore}if}{pop}ifelse}{pop}ifelse}if end���������ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin H.R end�Dps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (page.5) cvn /DEST pdfmark end����n����>�덍�color push gray 0���I� color pop����n����덑 �FGenerators�� and�r���elations.���Computing�gamma�operations�explicitly����,�we�have��38�����c۸�C���_�1��L��(�����k��6�)������� ��=�������k���� ����2�����G������c۸�C���/�2��L��(�����k��6�)������� ��=���
��&f���2��s3�(�����k���� ����2�)�=������2��L��(�����k��� ����1�)�=������2��L��(�����k��6�)�� ������k����+��1��=������k����+��2�����38�����i3_�C���_�1��L��(�"����)������� ��=���"�~�� ����1�������W��e���see���immediately�that��C���_�1��L��(�����k��6�)���=���� �C���/�2���(�����k���)����2���� ���^��2���a�and���so����c���_�1���(�����k���)���=����0�.�!SFor���the���other�r���elations,��8we�use�eq.�(����ps:SDict begin H.S end���color push gray 01.1� color pop���� ����ps:SDict begin H.R end��� �}ps:SDict begin [/Color [1 0 0]/H /I/Border [0 0 1]BorderArrayPatch/Subtype /Link/Dest (equation.1.1) cvn H.B /ANN pdfmark end)��
38�above�� and�apply�the�total�Chern�class��c����t�����to�both�sides:������ ����ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Jps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (equation.1.4) cvn /DEST pdfmark end�� ����c����t��8��(�����k��6�����l����)��=��c����t���(�����k���+�l�����)�c����t���(�����k��� �l���)����Y�(1.4)�����Let�� �y�����i�����=���c���/�2��L��(������i���~�)�.��Expand�the�right-hand�side:�������x�|�c����t��8��(�����k���+�l�����)�c����t���(�����k��� �l���)������� �j�=��(�1����+��y����k���+�l�����T�� �p���2��J=�)(�1��+��y����k��� �l���T�� �p���2��J=�)�����e����� �j�=���1����+�(�y����k���+�l���d�+��y����k��� �l�����)�T�� �p���2��<�+��y����k���+�l���y����k��� �l���T�� �p���4���������Y�(�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 16.20007 H.A end�Cps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (AMS.2) cvn /DEST pdfmark end1.5)�������For�7�the�left-hand�7�side,�F&we�use�the�splitting�principle.�}In�some�extension�of��R�(�D����p���n�)�,�F&we�can�write������k���N�=������_�1�����+�������/�2�����and�� �����l�����=������_�1��>��+�������/�2�����with�������i���~�,�������i��M~�of�dimension�1.��Then�������c����t��8��(�����k��6�����l����)�������$�=���c����t��8��((����_�1��>��+�������/�2��L��)(����_�1���+�����/�2��L��))�����38�����$�=���c����t��8��(����_�1��L�����_�1���)�c����t���(����_�1������/�2���)�c����t���(����/�2������_�1���)�c����t���(����/�2������/�2���)����������$�=��(�1����+�(�c���_�1��L��(����_�1���)���+��c���_�1��L��(����_�1���))�T� �p�)������(�1��+�(�c���_�1��L��(����_�1���)���+��c���_�1��L��(����/�2���))�T��)������(�1��+�(�c���_�1��L��(����/�2���)���+��c���_�1��L��(����_�1���))�T��)������(�1��+�(�c���_�1��L��(����/�2���)���+��c���_�1��L��(����/�2���))�T��)�����38��Now��,��$let���s���_�1��L��,����s���/�2��.��(r���esp.�>��t���_�1���,��t���/�2���)��be��the�rst�and�second�symmetric�polynomials�in��(����_�1��L��,�������/�2���)���(r���esp.�>�(����_�1���,�����/�2���)�).�>�Then����c�����i���~�(�����k��6�)��=��s�����i��M~�and�� �c�����i���(�����l����)�=��t�����i���.��The�� last�equality�can�be�r���ewritten:�������d-N�c����t��8��(�����k��6�����l����)��=������� ���1����+��2�(�s���_�1��>��+��t���_�1��L��)�T��4�+�(�t�����2���D�1����+��s�����2���D�1����+��3�s���_�1��L��t���_�1���+��2�t���/�2���+��2�s���/�2��L��)�T�� �p���2������G������ � ��+���(�s�����2���D�1���L��t���_�1��>��+��s���_�1���t�����2���D�1���>��+��2�s���_�1���s���/�2��>��+��2�t���_�1���t���/�2��>��+��2�s���_�1���t���/�2��>��+��2�s���/�2���t���_�1���)�T�� �p���3������e����� � ��+���(�t�����2����2���>��+��s�����2����2����+��s���_�1��L��s���/�2���t���_�1���+����s���_�1���t���_�1���t���/�2���+����s�����2���D�1����t���/�2���+����s���/�2���t�����2���D�1���� ����2�s���/�2���t���/�2���)�T�� �p���4��������W��e�� eliminate�all�occurr���ences�of��s���_�1����=���t���_�1���=��0�� �to�obtain:������ ����ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Jps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (equation.1.6) cvn /DEST pdfmark end�� ����c����t��8��(�����k��6�����l����)��=��1����+�(�2�y����k����+��2�y����l���)�T�� �p���2��<�+�(�y����k���� ��y����l���)����2��L��T�� �p���4�����Y�(1.6)�����Comparing�� coecients�in�eq.�(��7�ps:SDict begin H.S end���color push gray 01.5� color pop���� ����ps:SDict begin H.R end��� �vps:SDict begin [/Color [1 0 0]/H /I/Border [0 0 1]BorderArrayPatch/Subtype /Link/Dest (AMS.2) cvn H.B /ANN pdfmark end)�and�eq.�(��7�ps:SDict begin H.S end���color push gray 01.6� color pop�������ps:SDict begin H.R end���}ps:SDict begin [/Color [1 0 0]/H /I/Border [0 0 1]BorderArrayPatch/Subtype /Link/Dest (equation.1.6) cvn H.B /ANN pdfmark end),�we�obtain:������� ����y����k���+�l���d�+����y����k��� �l�������� �S5�=���2�(�y����k����+����y����l����)�������Y�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 16.20007 H.A end�Jps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (equation.1.7) cvn /DEST pdfmark end��(1.7)����������� ���y����k���+�l�����y����k��� �l�������� �S5�=��(�y����k���� ����y����l����)����2��������Y�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 16.20007 H.A end�Jps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (equation.1.8) cvn /DEST pdfmark end��(1.8)�������Now�� plugging��l� ��=���k�ff�and��l��=���k��*�+����1��in�r���elation�(����ps:SDict begin H.S end���color push gray 01.7� color pop���� ����ps:SDict begin H.R end��� �}ps:SDict begin [/Color [1 0 0]/H /I/Border [0 0 1]BorderArrayPatch/Subtype /Link/Dest (equation.1.7) cvn H.B /ANN pdfmark end),�we�get������� ����y����2�k�������� ���=���4�y����k������38����� ��2�y����2�k���+�1�������� ���=���2�y����k����+����2�y����k���+�1��1U� ��y���_�1��������which���by�induction���gives��y����k�� N�=���k���f��^��2��33�y���_�1��L��.�ZeLet��t���=��y���_�1���.�ZfSince���the���or���der��N�d��of�the�gr���oup��C��о�N�� �T�annihilates��R���^�����G�(�C��о�N����)�,�� we��
38�have��}�N� �\t���=��0�.��T��o��~show�that�the�or���der�of��t��is��N�y��we�look�at�the�complexication�morphism�� �U��:���R���^�����G�(�C��о�N����,����CR�)��!����R���^�����G�(�C��о�N����,����CC�)��.�which�sends��/�t��to�� �x�����^��2��ff�,��zwher���e��x����is�the�degr�ee�1��/generator�of��R���^�����G�(�C��о�N����,����CC�)�.�I#This�incidentally�shows���that�� �t��is�not�nilpotent.��Thus�if��N�O\�is�odd,�the�ring�is�generated�by��t��alone,�and�we�have�indeed:��N�� ���R�������G�(�C��о�N����,����CR�)��=�����:⍑��CZ������[����t����]�����K�xQ� ff ّ� (��(�N� �\t�)������� ��color push gray 0�� �`��5����I� color pop����� �!��ps:SDict begin /product where{pop product(Distiller)search{pop pop pop version(.)search{exch pop exch pop(3011)eq{gsave newpath 0 0 moveto closepath clip/Courier findfont 10 scalefont setfont 72 72 moveto(.)show grestore}if}{pop}ifelse}{pop}ifelse}if end���������ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin H.R end�Dps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (page.6) cvn /DEST pdfmark end����n����>�덍�color push gray 0���I� color pop����n������Now��if���N����=�ρ�2�m��is�even,�2{we�take�into�account�the�other�generator��s�ρ�=��c���_�1��L��(�"����)�.���The�fact��that��"���̟�^��2����=�ρ�1��implies��
38�immediately�� that��2�s���=��0�,�� and�we�only�need�to�apply��c����t�����to�r���elation���7�ps:SDict begin H.S end����color push gray 01.3� color pop��� ����ps:SDict begin H.R end�� �}ps:SDict begin [/Color [1 0 0]/H /I/Border [0 0 1]BorderArrayPatch/Subtype /Link/Dest (equation.1.3) cvn H.B /ANN pdfmark end�to�derive:��38�� �A�y����k���+�m��T-�=���y����k����+����s����2�����in�� which�we�can�plug��y����k���N�=���k���f��^��2��33�t��to�obtain���� ƛ�s����2����=���m�(�2�k��*�+����m�)�t��38��for�� all��k��~�=���1,������������,����m���� ��1�.��38���� �color push gray 0������
!",�
cmsy10��� color pop��� �If�>D�m�>C�is�itself�even,�m�then�this�can�be�r���ewritten�as��s���^��2��t;�=�'n�2�m�(�k���+�����]��ko�m��ko��։ ff Q�� ��&��2�����
���)�t��=��0�,�m�as�>D�n��=��2�m��kills�>Call�elements���� in�t�R���^�����G�(�C��о�N����,����CR�)�.���Thus�uwe�have�the�r���elation��s���^��2��f�=�ҙ�0�.���Mor�eover��B�,�4�since�tthe�complexication�morphism�� ���� �sends�� �s���=��c���_�1��L��(����)��to��mx���2��R���^�����G�(�C��о�N����,����CC�)�,�we�have�� �?��(�st���^��i���~�)�=�� �mx�����^��2�i�
��=�1���W�6�=��0�,�thus��?��� ��
�R�������G�(�C��о�N����,����CR�)��=�����:⍑
M��CZ������[����t�,��s����]�����K�xQ� ff .�Z� Gۍ(�N� �\t�,�2�s�,��s���*�2��L��)������!iP���� �color push gray 0�������� color pop��� �If�� �m���=��2�l�K]�+����1��for�some��l�ٙ�then��s���^��2����=��2�m�(�k��*�+����s�)�t��+��mt���=��mt�,�and�yet�another�application�of�� ����yields:��N�� �A��R�������G�(�C��о�N����,����CR�)��=�����:⍑���CZ������[����t�,��s����]�����K�xQ� ff G��
e7�(�N� �\t�,�2�s�,��s���*�2��>�� �����]��$��N��$���։ ff ���� ��f��2�����
���t�)������!WH�����wQ� � ff����d� ff �Y�� ff �� � � ff����0���color push gray 0�Elementary�@[abelian�@Zgroups.� color pop� �`�Let��p��be�a�prime�number��B�,�Mand�let��C����p��(��be�the�cyclic�gr���oup�of�or���der��p�,�Mgenerated���by�� �g���.�����ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Ips:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Theorem.1.9) cvn /DEST pdfmark end�aP��color push gray 0�Proposition�� 1.9.� � color pop�FLet��G� ��=���C���^���Y��k����p����n�F.��Then��)O�� ��O�R����������DC����(�G�Y��)��=�����:⍑
���CZ�[�x���_�1��L��,������������,����x����k��6�]���K�xQ� ff N=��
j}�(�px�����i���~�,����x���ug����p�� ؍i����x�����j��د�=��x�����i���x���ug����p�� ؍j����)�������ύ���� �color push gray 0� �FPr���oof.� color pop������Denote�K�by��g�����i��M�the�element��(�1,������������,���1,��g���,�1,��������,�1�)�K��with��g�eh�in�K��i���-th�position.�}Thus��G��h�is�generated�by����g���_�1��L��,������������,����g����k��6�.��\Let����!����=�����exp�������^��2�i�
��0��/�p��(�T�.�Ther���e�ar�e��p���^��k��"�irr�educible�complex�r�epr�esentations�of��G�Y��,�gof�the�form������v��}p�,�with����v���=�(�v���_�1��L��,������������,����v����k��6�)��2��CZ���^���k������0���
�[�,�� and������v��}p�(�g�����i���~�)��=��!��?���^��v�����i�����.��These�� satisfy�the�two�r���elations:��������� ��c�����v��}p���9q�v����%�G�
zplmr7y�0��������� �g��=�����9q�v�+�v����0���������Y�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 16.20007 H.A end�Jps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (equation.1.9) cvn /DEST pdfmark end��(1.9)������38����� �x����ug��p��`?�v��������� �g��=���1.���������Y�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 16.20007 H.A end�Kps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (equation.1.10) cvn /DEST pdfmark end��(1.10)�������Let����x����v��pS�=����c���_�1��L��(�����v��}p�)�,���and�let�������i��e#�be�the�r���epr�esentation���associated�to��w����=���(�0,������������,���0,�1,�0��������,�0�)����with���a��1��in�position����i���.��Then�� by�(��7�ps:SDict begin H.S end���color push gray 01.9� color pop���� ����ps:SDict begin H.R end��� �}ps:SDict begin [/Color [1 0 0]/H /I/Border [0 0 1]BorderArrayPatch/Subtype /Link/Dest (equation.1.9) cvn H.B /ANN pdfmark end),�we�have��'�� �B��x����v��D��=���35��3j�k��
�ˍ���͟{�X���
������i�
��=�1�����v�����i���B�����x�����i������thus�� the��x�����i��M~�generate��R���^��������DC����(�G�Y��)�.��The�r���elation�(��7�ps:SDict begin H.S end���color push gray 01.10� color pop���� ����ps:SDict begin H.R end��� �~ps:SDict begin [/Color [1 0 0]/H /I/Border [0 0 1]BorderArrayPatch/Subtype /Link/Dest (equation.1.10) cvn H.B /ANN pdfmark end)�yields��px�����i�����=���0��for�any��i���.���The���r���elation��x���ug����p�� ؍i����x�����j����=���x�����i���~�x���ug����p�� ؍j������is�obtained�as�follows:�R�let����X�����i��j
�be�the�standar�d�lift�������i��(�� �['�1��of��x�����i��j�to��R�����DC���(�G�Y��)�.�o<Then��}��(�X�����i���B�+����1�)���^��p�����=���1�.��Thus�������� ���X���ug��Q��p�� ؍i��������� �u!�=��� ���������p� �1��ꍍ�r՟{�X��� ������l�D�=�1���������������:⍑;�p��
�F���el����L��������&�#�X�����Q��l��^�i��� ��=��X�����i����x&���� ���� ���������p� �2��ꍍ�r՟{�X��� ������l�D�=�0���������������:⍑ ��p��
�F��;l�K]�+����1����.ȟ�������5���X�����Q��l��^�i����Yǟ���!��������)����� �u!�=���pX�����i���~�(� �1����+���?��(�X�����i���))�,������ ��color push gray 0�� �`��6����I� color pop����� �)��ps:SDict begin /product where{pop product(Distiller)search{pop pop pop version(.)search{exch pop exch pop(3011)eq{gsave newpath 0 0 moveto closepath clip/Courier findfont 10 scalefont setfont 72 72 moveto(.)show grestore}if}{pop}ifelse}{pop}ifelse}if end���������ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin H.R end�Dps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (page.7) cvn /DEST pdfmark end����n����>�덍�color push gray 0���I� color pop����n������wher���e�� ��?��(�T� �p�)���2��CZ�[�X�Q��]��has�no�constant�term.��Thus�for�any��i���,����j�?��,�we�have��38�����n=�X���ug��Q��p�� ؍i���:Y�X�����j�����?���� �� ��� �1����+���?��(�X�����j����)�������������� Ɠ��=���pX�����i���~�X�����j�����?���(�� |� �1����+���?��(�X�����i���)���)�����A����� ��Fqf� �1����+���?��(�X�����j����)������������O
����� Ɠ��=���X�����i���~�X���ug��Q��p�� ؍j���������(��/>� �1����+���?��(�X�����i���)���)�������}N��That�� is,�quotienting�by�� ���^��p�+�2�����on�each�side:��
38�� ��6�x���ug����p�� ؍i����x�����j��د�=���x�����i���~�x���ug����p�� ؍j����.��}��This�� shows�that�the�generators�of��R���^��������DC����(�G�Y��)��satisfy�all�the�r���equir�ed�� r�elations.��0���color push gray 0� color pop� �`W��e���now���show�that�these�ar���e�the�only�r���elations:���the�graded�piece�of�rank��l�8�is�generated�by�monomials�of���the�� form���8�� �!�x����S����s�����1�������1������������U8�x����؍���s�����k�����k���"�,���35����k��
�ˍ��e]�{�X���
�������i�
��=�1����)�s�����i�����=���l���Now���let����S����l�������
�CZ���^���k������0���@L�be�the�set�of�multi-indices��(�s���_�1��L��,������������,����s����k��6�)��such�that��� ��P��
1�s�����i�����=��
�l���and�only�the�rst�nonzer���o���coor���dinate�w�of�w�each��s���2��S����l��c�is�w�(possibly)�gr���eater�than��p���� ��1�.��T��o�show�w�that�the�r���elations�above�ar�e�the�w�only�one,���we�ygmust�yhshow�that�the�monomials��x�����^��s���+�=���x����S����s�����1�������1������������U8�x����؍���s�����k�����k��� ���ar���e�linearly�independent.�eSo�let�us�consider�a�zer���o�linear���combination�� of�those:���������� �E-�{�X���
���� �
��s�2�S�����l���� �'��a����s���z�x������s���+�=���0���������Y�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 16.20007 H.A end�Kps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (equation.1.11) cvn /DEST pdfmark end��(1.11)������#J�Consider�b�the�r���estriction�b�� ��:���R���^��������DC����(�C���^���Y��k����p����n�)��!��R���^��������DC����(�C����p���n�)�b��to�the�gr���oup�generated�by�b��g����S����i�����1�������1����!�������o��g����؍���i�����k�����k�����for�some��0�����i�����j��د���p�ֆ� ��1�.���Then�� � �?��(�x�����j����)��=��i�����j���z�,�� wher���e��z��is�the�standar�d�one-degr�ee�generator�of��R���^��������DC����(�C����p���n�)�.��Then�eq.�(����ps:SDict begin H.S end���color push gray 01.11� color pop���� ����ps:SDict begin H.R end��� �~ps:SDict begin [/Color [1 0 0]/H /I/Border [0 0 1]BorderArrayPatch/Subtype /Link/Dest (equation.1.11) cvn H.B /ANN pdfmark end)�becomes:���H����� ����{�X���
���� �_Q�s�2�S�����l���� �|��a����s���z�i����S����s�����1�������1�����
�������M��i����؍���s�����k�����k���t�z����l�����=���0,��ޥ��that�� is,������ �+�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Kps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (equation.1.12) cvn /DEST pdfmark end����� ��~�{�X���
���� ����s�2�S�����l���� ��@�a����s���z�i����S����s�����1�������1�����
�������M��i����؍���s�����k�����k��� �=���0��2��CF����p���n�,������Y�(1.12)����tl�for�S
all�S possible�strings��(�i���_�1��L��,������������,����i����k��6�)��with��0�M����i�����j��_}���p�?�� �?��1�.���In�S
particular��B�,���gr���ouping�terms�by�powers�of��i����k��m@�in���eq.�� (����ps:SDict begin H.S end���color push gray 01.12� color pop���� ����ps:SDict begin H.R end��� �~ps:SDict begin [/Color [1 0 0]/H /I/Border [0 0 1]BorderArrayPatch/Subtype /Link/Dest (equation.1.12) cvn H.B /ANN pdfmark end),�we�get:��)������������_���8������_��>�� ��_��>����_��<�� ��_��>����_��>����_��:����������p.<�a�����(�0,����m�,0,�l�D�)��F��i�������l��4x�k����N�=���0���������when���!/�i���_�1����=����������O�=���i����k��� �1����=��0����͋���������p.<�p� �1��ꍍ�q�i�{�X���
�$��q3�t�=�0����� �f����� ����� �^��{X���
���� ����s�2�S�����l�5�� �t���� ��y�b����s���z�i����S����s�����1�������1�����
�������M��i���JW����s�����k��� �1��� g��k��� �1���������!��� �Tk�i�������t��4x�k����N�=���0������L�otherwise.���������������Y�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 16.20007 H.A end�Kps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (equation.1.13) cvn /DEST pdfmark end�(1.13)������*�H�This��Eimplies��Fthat�the�coecient�of��x���^�����l��4x�k����{�in�eq.�(����ps:SDict begin H.S end���color push gray 01.11� color pop���� ����ps:SDict begin H.R end��� �~ps:SDict begin [/Color [1 0 0]/H /I/Border [0 0 1]BorderArrayPatch/Subtype /Link/Dest (equation.1.11) cvn H.B /ANN pdfmark end)�is�zer���o;��hmor�e��Egenerally����,���the�second�equation�must�be�tr��ue��$c�for�'all�values�of��i����k��6�,�*0fr���om��0��to��p�$1� ��1�.��
In�'other�&wor�ds,�*1the���������� @x� �P��֞�b����s���z�i����S����s�����1�������1�����
�������M��i���JW����s�����k��� �1��� g��k��� �1������������P�k�ar�e�the�&entries�of�a�vector�in�the��WT�kernel�� of�the�V��andermonde�matrix��(�i���^�����t��4x�k���6�)���ug��t�=�1,����m�,�p� �1�� ؍�i�����k��X�=�1,����m�,�p� �1���+��,�which�is�invertible�in��CF����p���n�.��Ther���efor�e��
������ ���{�X���
���� ��.�s�2�S�����l�5�� �t���� �:�b����s���z�i����S����s�����1�������1�����
�������M��i���JW����s�����k��� �1��� g��k��� �1�����=���0�� ���for��wall�combinations��(�i���_�1��L��,������������,����i����k��� �1��?��)�.�a�An�immediate�induction�shows�that�we��vmust�have�each��a����s��7H�=����0�,��so�the���monomials�� �f�x�����^��s����g����s�2�S�����l���r��ar���e�linearly�independent.����e� � ff����d� ff �Y�� ff �� � � ff����� ��color push gray 0�� �`�7����I� color pop����� ����ps:SDict begin /product where{pop product(Distiller)search{pop pop pop version(.)search{exch pop exch pop(3011)eq{gsave newpath 0 0 moveto closepath clip/Courier findfont 10 scalefont setfont 72 72 moveto(.)show grestore}if}{pop}ifelse}{pop}ifelse}if end���������ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin H.R end�Dps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (page.8) cvn /DEST pdfmark end����n����>�덍�color push gray 0���I� color pop����n������color push gray 0�(Some)�� dihedral�groups.� color pop� �`�Let��p��be�an�odd�prime�and�consider�the�dihedral�gr���oup����� ����D����p�����=��������D�� #:����,����� ���j������2��ff�,���� �̟��p���:�,���� �����=�������� �1���r'����E���q>�.��� ��Ther���e�� ar�e��(�p����+��1�)/�2��irr���educible�r�epr�esentations�of��D����p���n�:���#����color push gray 0�� ��� � color pop��� �T���wo�[�r���epr�esentations�of�degr�ee�[�1,���the�trivial�r�epr�esentation�1�and�the�"signatur�e"�[��"���which�sends�ele-��
38�� ments�� of�the�form���� �̟�^��j��^c�to�-1,�and�elements�of�the�form������ �̟�^��j���to�1.���.����color push gray 0�� ��� � color pop��� �And�� �(�p���� ��1�)/�2��r���epr�esentations�����_�1��L��,���������%������(�p� �1�)/�2�� ���of�degr�ee�2.��These�ar�e�dened�over�the�r�eals�as:�� �G����� �>�����k��6�(��� �̟��j���c�)������� ���=�������� �����؍���
�
�cos����(������r��33�2�k��j�0���33���� ff ���� ���Fp������_�)���=��� �����sin�����(������r��33�2�k��j�0���33���� ff ���� ���Fp������_�)���I�������sin��~�(������r��33�2�k��j�0���33���� ff ���� ���Fp������_�)����A�
�cos��P��(������r��33�2�k��j�0���33���� ff ���� ���Fp������_�)�����o
����!�������!|R����� ��T�����k��6�(����)������� ���=�������������:���
c:� �1���!��0���
37����0���!��1�����&�̟����������R��� �And�� over�the�complex�numbers:�� ������� �-������k��6�(��� �̟��j���c�)������� ��M=�����g����0���o���@������:�����e����� ��?��2�i�
�k��j�&f��?��DX� M� ɟ^���I�p������6��0����Ӛ0���*��e��̟���� ������+��33�2�i�
�k��j�&f��33�DX� M� ɟ^���I�p������������g��FQ��1���o��FQ�A��������#0������ �o������k��6�(����)������� ��M=�������������:���
c:�0���c:1���
37���
c:1���c:0�����c:��������������These�� generate�the�ring��R�(�D����p���n�)�.��For�convenience,�dene�����/�0����=���1����+��"����,�� then�we�have�the�following�r���elations:��������� Ϙ��"���̟��2�������� گg�=���1���������Y�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 16.20007 H.A end�Kps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (equation.1.14) cvn /DEST pdfmark end��(1.14)������38����� ��"�~����������k�������� گg�=�������k����������Y�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 16.20007 H.A end�Kps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (equation.1.15) cvn /DEST pdfmark end��(1.15)����������� �4������k������������l�������� گg�=�������k���+�l���d�+��������k��� �l����������Y�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 16.20007 H.A end�Kps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (equation.1.16) cvn /DEST pdfmark end��(1.16)������Y,�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Jps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Theorem.1.10) cvn /DEST pdfmark end� =r��color push gray 0�Proposition�� 1.10.� � color pop�FLet��c���_�1��L��(����_�1���)��=��x����Fand�� �c���/�2��L��(����_�1���)��=��y�F,�then���c�� �n�R�������G�(�D����p���n�)��=�����:⍑
��CZ��������[����x���,����y����]�����K�xQ� ff 1@�� (��(�2�x���,����py�,��x�y�)�������O��Fwher���e�� �j�x���j���=��1��Fand��j�y�j��=��2�F.������� �color push gray 0� Pr���oof.� color pop������As�� above,�note�that��0���=��c���_�1��L��(�1�)�=��c���_�1���(�"���̟�^��2��ٙ�)�=��2�c���_�1���(�"����)�� �while��c���_�1���(�����k��6�)��=��c���_�1���(��det���������k��6�)�=��c���_�1���(�"����)�� �for�any��k��f�.��
38�So�� let��x���=���c���_�1��L��(�����k��6�)�=��c���_�1���(�"����)�.���For�� the�other�r���elations,�we�use�eq.�(��7�ps:SDict begin H.S end���color push gray 01.16� color pop���� ����ps:SDict begin H.R end��� �~ps:SDict begin [/Color [1 0 0]/H /I/Border [0 0 1]BorderArrayPatch/Subtype /Link/Dest (equation.1.16) cvn H.B /ANN pdfmark end)�above�and�apply�the�total�Chern�class��c����t�����to�both�sides:�������� ����ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Kps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (equation.1.17) cvn /DEST pdfmark end�� ����c����t��8��(�����k��6�����l����)��=��c����t���(�����k���+�l�����)�c����t���(�����k��� �l���)������Y�(1.17)�����Let�� �y�����i�����=���c���/�2��L��(������i���~�)�.��Expand�the�right-hand�side:�������0Zx�c����t��8��(�����k���+�l�����)�c����t���(�����k��� �l���)�������y��=��(�1����+��x��T��4�+��y����k���+�l�����T�� �p���2��J=�)(�1��+��x�T��4�+��y����k��� �l�����T�� �p���2��J=�)�����e�����y��=���1����+��2�x��T��4�+�(�x�����2��X*�+��y����k���+�l���d�+��y����k��� �l�����)�T�� �p���2��<�+�(�x�y����k���+�l���d�+��x�y����k��� �l�����)�T�� �p���3��<�+��y����k���+�l���y����k��� �l���T�� �p���4�����������Y�(�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 16.20007 H.A end�Cps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (AMS.4) cvn /DEST pdfmark end1.18)�������For�%�the�left-hand�side,�7�we�use�the�%�splitting�principle.��rIn�some�extension�of��R�(�D����p���n�)�,�we�can�%�write������k���N�=������_�1�����+������/�2���
38��and�� �����l�����=������_�1��>��+�������/�2�����with�������i���~�,�������i��M~�of�dimension�1.��Then�������c����t��8��(�����k��6�����l����)�������&�E=���c����t��8��(����_�1��>��+�������/�2��L��)(����_�1���)�+�����/�2���))�����38�����&�E=���c����t��8��(����_�1��L�����_�1���)�c����t���(����_�1������/�2���)�c����t���(����/�2������_�1���)�c����t���(����/�2������/�2���)����������&�E=��(�1����+�(�c���_�1��L��(����_�1���)���+��c���_�1��L��(����_�1���))�T� �p�)������(�1��+�(�c���_�1��L��(����_�1���)���+��c���_�1��L��(����/�2���))�T��)������(�1��+�(�c���_�1��L��(����/�2���)���+��c���_�1��L��(����_�1���))�T��)������(�1��+�(�c���_�1��L��(����/�2���)���+��c���_�1��L��(����/�2���))�T��)������ ��color push gray 0�� �`��8����I� color pop����� ����ps:SDict begin /product where{pop product(Distiller)search{pop pop pop version(.)search{exch pop exch pop(3011)eq{gsave newpath 0 0 moveto closepath clip/Courier findfont 10 scalefont setfont 72 72 moveto(.)show grestore}if}{pop}ifelse}{pop}ifelse}if end���������ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin H.R end�Dps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (page.9) cvn /DEST pdfmark end����n����>�덍�color push gray 0���I� color pop����n������Now��,���let����s���_�1��L��,����s���/�2��+��(r���esp.�6t�t���_�1���,��t���/�2���)���be�the���rst�and�second�symmetric�polynomials�in��(����_�1��L��,�����/�2���)����(r���esp.�6t(����_�1���,�����/�2���)�).�6tThen��
38��c�����i���~�(�����k��6�)��=��s�����i��M~�and�� �c�����i���(�����l����)�=��t�����i���.��The�� last�equality�can�be�r���ewritten:��*������c(/�c����t��8��(�����k��6�����l����)��=������� ��1����+��2�(�s���_�1��>��+��t���_�1��L��)�T��4�+�(�t�����2���D�1����+��s�����2���D�1����+��3�s���_�1��L��t���_�1���+��2�t���/�2���+��2�s���/�2��L��)�T�� �p���2������G������ ���+���(�s�����2���D�1���L��t���_�1��>��+��s���_�1���t�����2���D�1���>��+��2�s���_�1���s���/�2��>��+��2�t���_�1���t���/�2��>��+��2�s���_�1���t���/�2��>��+��2�s���/�2���t���_�1���)�T�� �p���3������e����� ���+���(�t�����2����2���>��+��s�����2����2����+��s���_�1��L��s���/�2���t���_�1���+����s���_�1���t���_�1���t���/�2���+����s�����2���D�1����t���/�2���+����s���/�2���t�����2���D�1���� ����2�s���/�2���t���/�2���)�T�� �p���4������*���W��e�� r���eplace��s���_�1����=���t���_�1���=��x����and�� eliminate�all�occurr���ences�of��2�x��to�obtain���������ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Kps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (equation.1.19) cvn /DEST pdfmark end�����c����t��8��(�����k��6�����l����)��=��1����+�(�x������2��X*�+��2�y����k����+��2�y����l���)�T�� �p���2��<�+�(�y����k���� ��y����l���)����2��L��T�� �p���4�������Y�(1.19)�����Comparing�� coecients�in�eq.�(��7�ps:SDict begin H.S end���color push gray 01.18� color pop���� ����ps:SDict begin H.R end��� �vps:SDict begin [/Color [1 0 0]/H /I/Border [0 0 1]BorderArrayPatch/Subtype /Link/Dest (AMS.4) cvn H.B /ANN pdfmark end)�and�eq.�(��7�ps:SDict begin H.S end���color push gray 01.19� color pop�������ps:SDict begin H.R end���~ps:SDict begin [/Color [1 0 0]/H /I/Border [0 0 1]BorderArrayPatch/Subtype /Link/Dest (equation.1.19) cvn H.B /ANN pdfmark end),�we�obtain:������� �^��y����k���+�l���d�+����y����k��� �l�������� ��L�=���2�(�y����k����+����y����l����)���������Y�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 16.20007 H.A end�Kps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (equation.1.20) cvn /DEST pdfmark end��(1.20)������38����� �T��x��y����k���+�l���d�+����x�y����k��� �l�������� ��L�=���0���������Y�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 16.20007 H.A end�Kps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (equation.1.21) cvn /DEST pdfmark end��(1.21)������G������ Ǜ��y����k���+�l�����y����k��� �l�������� ��L�=��(�y����k���� ����y����l����)����2����������Y�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 16.20007 H.A end�Kps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (equation.1.22) cvn /DEST pdfmark end��(1.22)�������First���look���at�eq.�(����ps:SDict begin H.S end���color push gray 01.21� color pop���� ����ps:SDict begin H.R end��� �~ps:SDict begin [/Color [1 0 0]/H /I/Border [0 0 1]BorderArrayPatch/Subtype /Link/Dest (equation.1.21) cvn H.B /ANN pdfmark end)�with��k�{�=�!�l�Y��.��aNote�that��y���/�0��m��=�!�c���/�2��L��(�1���+���"����)�!=��0�,���and���thus�eq.�(����ps:SDict begin H.S end���color push gray 01.21� color pop���� ����ps:SDict begin H.R end��� �~ps:SDict begin [/Color [1 0 0]/H /I/Border [0 0 1]BorderArrayPatch/Subtype /Link/Dest (equation.1.21) cvn H.B /ANN pdfmark end)�yields��x�]����y����2�k���=�!�0��for�all��
38��k��f�,�� which�is�equivalent�to��x�]�����y����k���N�=���0��for�all��k�ff�since�indices�ar���e�understood�modulo�the�odd�prime��p�.���W��e�?�then�show�?�is��py����k���N�=���0��for�all��k��f�.�4For�this�we�use�that�for�any�gr���oup��G�Y��,�L�the�graded�ring��R���^�����G�(�G�Y��)��is��j�G��j�-torsion����color push cmyk 0 1 0 0�I(this�]�is�]�also�in�Y��,ohann's�notes,�d�I'll�r�ead�the�pr�oof�an�r�ewrite�it�her�e)� color pop�.�| Her���e����j�D����p���n�j���=���2�p�,��so���we�multiply�the�equation����y����2�k��
��=���4�y����k���6�by�� �p��to�obtain�that��py����2�k���=���0��for�all��k��f�.��Again,�this�imply�that��y����k���N�=��0��for�all��k��f�.���Finally����,�� consider�eq.�(��7�ps:SDict begin H.S end���color push gray 01.20� color pop���� ����ps:SDict begin H.R end��� �~ps:SDict begin [/Color [1 0 0]/H /I/Border [0 0 1]BorderArrayPatch/Subtype /Link/Dest (equation.1.20) cvn H.B /ANN pdfmark end),�both�with��l� ��=���k�ff�and��l��=���k��*�+����1�.��This�gives:��*������ �1P�y����2�k�������� �j�=���4�y����k������38����� ���y����2�k���+�1�������� �j�=���2�(�y����k����+����y����k���+�1��?��)�� ��y���_�1��������together��B�,�� these�two�r���elations�imply�that�all��y����k��6�'s�ar�e�multiples�of��y���_�1��L��.��W��e�dene��y���=��y���_�1���.���ލ�color push gray 0� color pop� �`It�nr���emains�to�oshow�that�these�ar�e�the�oonly�r�elations�in��R���^�����G�(�D����p���n�)�.���For�this�we�use�othe�standar�d�r�estriction���ar���gument:��the�� r�epr�esentation������r�estricts�to�the�generator�of��R���^�����G�(�C���/�2��L��)�,�whose�powers�ar�e�all�nonzer�o.���The�Yr���estriction�Zof�����_�1��_&�to��R�(�C����p���n�,����CC�)��is����=�+��<����^�� �1��
�[�,�(Gwher���e����sends�the�a�generator����&�of��C����p�����to��e��̟�^��2�i�
��0��/�p��c��.��Thus�the�induced���r���estriction�� �R���^�����G�(�D����p���n�,����CC�)���!��R���^�����(�C����p���n�,����CC�)�� �sends��y��to�� �c���_�1��L��(��)���^��2���,�� which�is�not�nilpotent.���Finally����,�jthe�d�r���estriction�of�d�����_�1���[�to��R�(�C����p���n�,����CR�)�d��is�the�r���epr�esentation���ፑ��^��%������
�obtained�by�d�pairing�the�complex�r���epr�esenta-���tions��P���Q�discussed�above�with�its�complex�conjugate������ ff ?�������8��=�:}����^�� �1��
�[�.�ԉThis�induced�a�map��R���^�����G�(�D����p���n�,����CR�)�:}�!��R���^�����(�C����p���n�,����CR�)����sending�� �y��to�the�(non-nilpotent)�generator��t��of��R���^�����G�(�C����p���n�,����CR�)�.��So�the�powers�of��y��ar���e�also�nonzer�o�in�this�case.���Note�Kvthat�Kwin�all�cases,�~Tthe�r���estriction�of��"��C�to��C����p��3��is�the�trivial�r���epr�esentation,�~Tso�Kvther�e�cannot�Kwbe�any�linear���dependency�� r���elation�between�powers�of��x����and�powers�of��y�.�������wQ� � ff����d� ff �Y�� ff �� � � ff�����ߍ�color push gray 0� color pop� �`Now�� take�the�dihedral�gr���oup��D���_�4�����of�or�der�8.��It�has�four�nontrivial�irr�educible�r�epr�esentations:�������color push gray 0�� ��� � color pop��� �In�� degr���ee�1,�the�r�epr�esentations�����:��r���7!� �1,�*��s��7!��1�� �and���-~�:���r��7!��1,����s��7!� �1�� �and�their�pr���oduct���ff�.��N�����color push gray 0�� ��� � color pop��� �In�� degr���ee�2,�the�r�epr�esentation���,�which�sends��s��to������������:���
"�1���H�0���
37���
"0���"� �1�����&u��������0���and��r����to������������:���
"�0���"� �1���
37���
"1���H�0�����&u��������.��.���%�W��s8ith�� the�r���elations:������� �<������2�������� Ȑ��=�����ff���2��zK�=��1���������Y�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 16.20007 H.A end�Kps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (equation.1.23) cvn /DEST pdfmark end��(1.23)������38����� ������������ Ȑ�=����ff��=����������Y�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 16.20007 H.A end�Kps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (equation.1.24) cvn /DEST pdfmark end��(1.24)������G������ �z�����2�������� Ȑ��=���1����+��r��ho�]�+���X*�+�����������Y�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 16.20007 H.A end�Kps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (equation.1.25) cvn /DEST pdfmark end��(1.25)������*��Then��7�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Jps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Theorem.1.11) cvn /DEST pdfmark end�� ��color push gray 0�� �`�9����I� color pop�����
�b��ps:SDict begin /product where{pop product(Distiller)search{pop pop pop version(.)search{exch pop exch pop(3011)eq{gsave newpath 0 0 moveto closepath clip/Courier findfont 10 scalefont setfont 72 72 moveto(.)show grestore}if}{pop}ifelse}{pop}ifelse}if end���������ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin H.R end�Eps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (page.10) cvn /DEST pdfmark end����n����>�덍�color push gray 0���I� color pop����n������color push gray 0�Proposition�� 1.11.� � color pop�FLet��c���_�1��L��(��)��=��x���F;�� �c���_�1���(��ff�)�=��y�� �Fand��c���/�2���()��=��b�&f�F.��Then��?��� �V��R�������G�(�D����p���n�)��=�����:⍑!��CZ��������[����x���,����y�,��b��&f���]�����K�xQ� ff co6� (��(�2�x���,���2�y�,�4�b�&f�,��x�y�,��x�b�*� ����yb�&f�)������q��Fwher���e�� �j�x���j���=��j�y�j��=��1��Fand��j�b�&f�j��=��2�F.��38����� �color push gray 0� Pr���oof.� color pop������Note�l�that�l��c���_�1��L��(��ff�)��=��x����+���y��and�l��c���_�1��L��()�=��c���_�1���(��det��Ӑ�)�=��c���_�1���(��ff�)�.�=So�l�the�graded�l�ring�is�indeed�generated�by��
38��x���,����y�,��b�&f�.�"W��e��Mhave��2�x��6�=�j��2�y�j��=��0��M�fr���om�the�r�elations�above,��`and��X�Q�B����=�j��Y�zB��=��X�Q�Y�z�,��`so��M�X�Y��2�j�� ���^��3��%�and��x��y�j��=��0�,��`and����x��b�� �=����yb�&f�.���Finally����,��applying���c����t��6��to�eq.�(��7�ps:SDict begin H.S end���color push gray 01.25� color pop���� ����ps:SDict begin H.R end��� �~ps:SDict begin [/Color [1 0 0]/H /I/Border [0 0 1]BorderArrayPatch/Subtype /Link/Dest (equation.1.25) cvn H.B /ANN pdfmark end),��we�get�that��5�c���_�1��L��()���^��2��mE�+� x�4�b����=����x����^��2�����+��3�x�y� w�+��y���^��2���f�=����x����^��2�����+��y���^��2��L��,��and��since����c���_�1��L��()��=��x�]�+����y�,�� we�obtain��4�b��~�=���0�.���ٍT��o��#see�these�ar���e�the�only�r�elations,�kwe�use�the�computation�of��R���^�����G�(�D���_�4��L��)�h��
��CF���/�2�� f��=������r��2��DZ�[�x�t�,�y�,�b�/�]��L����� ff &��Wۍ(�x�ty�,�x�b�/� �yb��)�����1�;�fr�om��#[���7�ps:SDict begin H.S end���color push gray 0GM14� color pop��������ps:SDict begin H.R end����ps:SDict begin [/Color [0 1 0]/H /I/Border [0 0 1]BorderArrayPatch/Subtype /Link/Dest (cite.guillot-minac) cvn H.B /ANN pdfmark end���]:��l��tensoring��Bwith��A�CF���/�2��>�shows�that�none�of��x���,����y�,��b���is�nilpotent.�m]Finally����,�
�r���estriction��Bto��C���_�4����=�<���r��l>��show�that��2�b���is���non-nilpotent,�� so�that�any�power�of��b��f�is�4-torsion.��� ��(� � ff����d� ff �Y�� ff �� � � ff����
���ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Qps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (subsubsection.1.2.2) cvn /DEST pdfmark end�^����color push gray 0�1.2.2�
� color pop�� T����opological�� method���&��color push gray 0The�� quaternion�group�of�order�8.� color pop� �`�Let��G� ��=���Q���/�8����=��h�� �i���,����j�?��,��k�ff�j��i����^��2��%��=���j��?���^��2��S��=��k���f��^��2���K�=��i��j�?�k�ff�i�.��W��e�pr���ove:�����ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Jps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Theorem.1.12) cvn /DEST pdfmark end�aP��color push gray 0�Theorem�� 1.12.� � color pop���t�� ����R����������DC����(�Q���/�8��L��)��=�����:⍑)T��CZ�[�x���,����y�,��u�]���K�xQ� ff r.p� Gۍ(�2�x���,���2�y�,�8�u�,��x����*�2��ff�,��y���*�2��L��,��x�y���� ��4�u�)�������ύ�Fwher���e�� �j�x���j���=��j�y�j��=��1��Fand��j�u�j��=��2���� �The�~gr���oup�~�Q���/�8�����has�5�conjugacy�classes:���f�1�g�,�~x�f �1�g�,�~y�f�i���g�,��f�j�?��g�,��f�k��f�g�~�so�~5�irr���educible�r�epr�esentations�~on����CC�:���>����color push gray 0�� ��� � color pop��� �In�� dimension�1,�the�trivial�r���epr�esentation�� �C1�,�����_�1�����u����(�����z���D;�i���7!���1�������D;�j��7!�� �1�����:���,�����/�2����=��� ����_�1�����and�����/�3���=������_�1��L�����/�2���.���/����color push gray 0�� ��� � color pop��� �In�� dimension�2,�the�r���epr�esentation�� ��,�which�is�in�matrix�form:�����?�y�(� �1�)��=������������:���
c:� �1���%�0���
37����0���!��� �1�����/^�������8](�,� *��(�i���)�=������������:���_g�i������0���
37���
c:0���c:� �i�����$�s�������.=�,��(�j�?��)�=������������:���
c:�0���c:� �1���
37���
c:1����0�����&�̟������0��,��(�k��f�)�=������������:���
���0����s� �i���
37���
c:� �i���"��0�����+%��������� �[��These�� r���epr�esentations�satisfy�the�r�elations��38����� ��!������2��
���i��������� ���=���1���������Y�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 16.20007 H.A end�Kps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (equation.1.26) cvn /DEST pdfmark end��(1.26)������38����� ��!����/�3�������� ���=������_�1��L�����/�2����������Y�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 16.20007 H.A end�Kps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (equation.1.27) cvn /DEST pdfmark end��(1.27)����������� ���������i�������� ���=�����������Y�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 16.20007 H.A end�Kps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (equation.1.28) cvn /DEST pdfmark end��(1.28)������G������ �֘�����2�������� ���=���C1����+�����_�1��>��+�����/�2���+�����/�3����������Y�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 16.20007 H.A end�Kps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (equation.1.29) cvn /DEST pdfmark end��(1.29)�������� Let�� us�rst�take�a�look�at�the�generators�and�r���elations�of��Q���/�8��L��:�����ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Jps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Theorem.1.13) cvn /DEST pdfmark end�aP��color push gray 0�Lemma�� 1.13.� � color pop�FThe�graded�ring��R���^��������DC����(�Q���/�8��L��)��Fis�generated�by�the�elements���� ��R�x���:=���c���_�1��L��(����_�1���)�,����y��:=��c���_�1���(����/�2���)�,����u��:=��c���/�2���()����Fand�� those�satisfy�the�r���elations�in�theor�em�����ps:SDict begin H.S end����color push gray 01.12� color pop��� ����ps:SDict begin H.R end�� �}ps:SDict begin [/Color [1 0 0]/H /I/Border [0 0 1]BorderArrayPatch/Subtype /Link/Dest (Theorem.1.12) cvn H.B /ANN pdfmark end,�that�is���� �z��2�x���=���2�y��=��8�u��=��0,����x������2��-~�=��y����2����=��0,��x��y��=��4�u�.��� ��color push gray 0�� ���10����I� color pop�����
#��ps:SDict begin /product where{pop product(Distiller)search{pop pop pop version(.)search{exch pop exch pop(3011)eq{gsave newpath 0 0 moveto closepath clip/Courier findfont 10 scalefont setfont 72 72 moveto(.)show grestore}if}{pop}ifelse}{pop}ifelse}if end���������ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin H.R end�Eps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (page.11) cvn /DEST pdfmark end����n����>�덍�color push gray 0���I� color pop����n����덍��� �color push gray 0� �FPr���oof.� color pop������First�ǵwe�eliminate�Ǵthe�r���edundant�generators:���c���_�1��L��(����/�3���)�%�=��c���_�1��L��(����_�1������/�2���)�%�=�%��c���_�1���(����_�1���)�k#+��c���_�1��L��(����/�2���)�,��and��c���_�1���()�%�=��
38��c���_�1��L��(��det��(��())��=��c���_�1���(�C1�)�=��0�.��So�� �R���^��������DC����(�Q���/�8���)��is�indeed�generated�by��x���,����y��and��u�.���Now�wasince�wb����^���2���D�1�����=������^���2����2����=��C1�,�ywe�wbhave�wa�2�x���=��2�y��=��0�,�yand�the�wbor���der�of��Q���/�8���/�kills��R���^��������DC����(�Q���/�8��L��)��so��8�u���=��0�.��For�the�war���elations���in���degr���ee�2,���we�apply�the�total�class����c����t���e�to�the�r�elation��������i�����=��C�,���splitting�the���2-dimensional�r�epr�esentation������into�� ����_�1��>��+�������/�2�����wher���e�������i��M~�has�dimension�1.��On�the�left-hand�side�we�have:��38�����
K��c����t��8��(������i���~�)�������/A�=���c����t��8��(����_�1��L�������i���~�)�c����t���(����/�2��������i���~�)�����t}�����/A�=���1����+�����[����c���_�1��L��(����_�1���)���+��c���_�1��L��(����/�2���)���+��2�c���_�1��L��(������i���~�)���]���u�t�T��4�+�������h����c���_�1��L��(����_�1���)�c���_�1���(����/�2���)���+��c���_�1��L��(����_�1���)�c���_�1���(������i���~�)���+��c���_�1��L��(����/�2���)�c���_�1���(������i���)���+��c���_�1��L��(������i���)����2�������i��� ���T�� �p���2�������܍�While�� on�the�right-hand�side:�������|*T�c����t��8��()��=��1����+�����[����c���_�1��L��(����_�1���)���+��c���_�1��L��(����/�2���)���]���Kc��T��4�+�����[����c���_�1��L��(����_�1���)�c���_�1���(����/�2���)���]���?&��T�� �p���2��J=�.�������In�� degr���ee�2,�this�yields�the�r�elation:������� ���c���_�1��L��(������i���~�)(�c���_�1���(����_�1���)���+��c���_�1��L��(����/�2���))���+��c���_�1��L��(������i���)����2����=���0.�������Bearing���in�mind���that��c���_�1��L��(����_�1���)��B+��A�c���_�1���(����/�2���)��=��c���_�1��L��()�=���0�,���we�obtain����x�����^��2��M��=��y���^��2��4X�=��0�.�N)The�r���elation��x��y��=���4�u��is�obtained��
38�by�� applying��c����t�����to�the�r���elation�����^��2����=���C1����+�����_�1��>��+�����/�2���+�����_�1��L�����/�2�����and�� identifying�the�terms�in�degr���ee�2,�which�yields������� ��K�5�c���_�1��L��()����2��>��+����4�u���=��x������2��X*�+��y����2��>��+��3�x��y�,�������that�� is,��4�u���=��x��y�.����}ń � ff����d� ff �Y�� ff �� � � ff����38�� What���r���emains�to���be�pr�oven�is�that���these�ar�e�the�only�r�elations���satised�by�the�generators;��]thus�we�want���to��Acheck��@that�we�have�no�extra�nilpotency�or�torsion�conditions�on��u�,���and�that�the�pr���oducts��x��u���^��i��^��and��yu���^��i���ar���e���nonzer���o���for�any��i���.�E3For�this,��+we���look�at�the��2�-valuation�of�the�characters�of��Q���/�8��L��:�6�we�rst�dene�an�admissible���appr���oxiamtion�d`�(����=��K�e��5Í� ���^��n����
���)��that�only�takes�into�accounts�lifts�of�our�d_generators.�cThis�allows�us�to�r�estrict�ourselves���when�>we�=compute�the��2�-valuations�of�our�evaluation�morphisms,��which�we�use�to�obtain�information�about���torsion�� in��R���^�����G�.���� Let�� �X�Q��,����Y�z�,��U���be�standar���d�lifts�of��x���,��y�,��u�.��W��e�consider�the�appr���oximation:������n;��ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Kps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (equation.1.30) cvn /DEST pdfmark end�����=��n<��e��5Í�n;�� ����n����{��=���h�X��Q��������1������Y��z�����{��2����J�U�� �͟��k����i�,���2�k��*�+�������_�1��>��+�����/�2������n�,� *�0�������_�1��>��+�����/�2������1������Y�(1.30)�������ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Jps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Theorem.1.14) cvn /DEST pdfmark end�
�l��color push gray 0�Lemma�� 1.14.� � color pop�FThe�appr���oximation��(����=��K�e��5� ���^��n����
���)��Fis�admissible.��38����� �color push gray 0� Pr���oof.� color pop������Obviously� Xwe�have����=����e��5� Y� ���^��n�+�1�����8�����=����e��5���� ���^��n����n��,� nso��(����=��K�e��5� ���^��n����
���)� Y�satises�item�����ps:SDict begin H.S end����color push gray 0A� color pop���
������ps:SDict begin H.R end��
���wps:SDict begin [/Color [1 0 0]/H /I/Border [0 0 1]BorderArrayPatch/Subtype /Link/Dest (Item.8) cvn H.B /ANN pdfmark end� 7in�the�denition�of�an�admissible�ltration.���T��o�� check�����ps:SDict begin H.S end����color push gray 0B� color pop����(����ps:SDict begin H.R end���(�wps:SDict begin [/Color [1 0 0]/H /I/Border [0 0 1]BorderArrayPatch/Subtype /Link/Dest (Item.9) cvn H.B /ANN pdfmark end,�let��Z� ��=������/�3��>�� ����1��and��T�Ĉ�=����� ��2�� �be�lifts�of��c���_�1��L��(����/�3���)�,�� �c���_�1���()�,�r���espectively����.��Then�let����vZ����=��X��Q��������1������Y��z�����{��2����J�Z��Y������{��3���i�U�� �͟��k����T�� �p���l���d�2�� ����n���e�,���2�k��*�+����l�K]�+�����_�1��>��+�����/�2���+�����/�3�������n����If��:����_�1��>�����2�,��then��;���contains�a�factor��X��Q��^��2�����,�� but�the�r���elation��x�����^��2��X��=���0��implies�that��X��Q��^��2�����2��� ���^��3��L��,�� so�in�that�case�����2�� ���^��n�+�1����.���The�|�same�|�goes�for�����/�2��L��,���so�we�can�r���estrict�ourselves�to�monomials�such�that�����_�1���0�+�Oc����/�2��� ���3�1�.��Similarly����,���since����c���_�1��L��()��=��0�Tt�we�Tuhave��T�Ĉ�2��� ���^��2���,�]*which�means�Tuthat��l� ��6�=���0��for���ces�����2�� ���^��n�+�1����.�W��e�Ttpr���oceed�similarly�for�all�factors�and���obtain���� Ȥ�� ����n���}�=����=���c�e��5Í��� ����n����r��+��� ����n�+�1���38�����wQ� � ff����d� ff �Y�� ff �� � � ff����38�� �Now��,�� ther���e�ar�e�4�nontrivial�evaluation�morphisms�on��R�����DC���(�Q���/�8��L��)�:������color push gray 0�� ��� � color pop��� ����_� �1��
ls�:��������i�����7!��1,������7!� �2�.������color push gray 0�� ��� � color pop��� ������i�����:������_�1����7!��1,� *�����/�2��L��,�������/�3���7!� �1,� *����7!��0��� ��color push gray 0�� ���11����I� color pop����� &���ps:SDict begin /product where{pop product(Distiller)search{pop pop pop version(.)search{exch pop exch pop(3011)eq{gsave newpath 0 0 moveto closepath clip/Courier findfont 10 scalefont setfont 72 72 moveto(.)show grestore}if}{pop}ifelse}{pop}ifelse}if end���������ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin H.R end�Eps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (page.12) cvn /DEST pdfmark end����n����>�덍�color push gray 0���I� color pop����n����덍��color push gray 0�� ��� � color pop��� ������j��د�:������/�2����7!��1,� *�����_�1��L��,�������/�3���7!� �1,� *����7!��0���p����color push gray 0�� ��� � color pop��� �����k���N�:������/�3����7!��1,� *�����_�1��L��,�������/�2���7!� �1,� *����7!��0������Now�� we�apply�the�morphisms�to�the�standar���d�lifts�of�the�Chern�classes�and�obtain��������color push gray 0�� ��� � color pop��� ����_� �1��
ls�:���X�Q��,����Y�ے�7!��0,� *��T�Ĉ�7!� �4,��U�S��7!��4������color push gray 0�� ��� � color pop��� ������i�����:���X��7!��0,� *��Y�z�,����T�Ĉ�7!� �2,��U�S��7!��2������color push gray 0�� ��� � color pop��� ������j��د�:���X�Q��,����T�Ĉ�7!� �2,� *��Y�ے�7!��0,��T�Ĉ�7!��2������color push gray 0�� ��� � color pop��� �����k���N�:���X�Q��,����Y�z�,��T�Ĉ�7!� �2,� *��T��7!��2��
PF�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Jps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Theorem.1.15) cvn /DEST pdfmark end�
ob��color push gray 0�Lemma�� 1.15.� � color pop�FThe�morphisms������g��(8�Far���e�continuous�with�r�espect�to�the��2�F-valuations�on��CZ�F,�for�all��g���2���Q���/�8��L��F.������� �color push gray 0� Pr���oof.� color pop������Consider���the�value�of�����_� �1��
p.�on�a�generic�monomial���Q��2�� ���^��n���e�.��W��B�rite������=��X��Q��^�������1������Y��z��^����{��2����J�Z��Y���^����{��3���i�U�� �͟�^��k����T�� �p��^��l����with�����_�1��ZG�+�
{����/�2���+��
38�����/�3��D��+���k��l�+��l�?����d�n�.�LLReading���the���values�of�����_� �1��
�[�,�� we�see�that�����_� �1��
�[�(��)��c���d�2���^��n�/�2��
���,�� which�means�that�����_� �1��
6A�is�continuous.���Similarly�� for�the�other������g���8�'s.���VGՄ � ff����d� ff �Y�� ff �� � � ff����U�� W��e�� can�now�wrap�up:��T����� �color push gray 0� �FPr���oof�� of�theor�em�����ps:SDict begin H.S end����color push gray 01.12� color pop��� ����ps:SDict begin H.R end�� �}ps:SDict begin [/Color [1 0 0]/H /I/Border [0 0 1]BorderArrayPatch/Subtype /Link/Dest (Theorem.1.12) cvn H.B /ANN pdfmark end.� color pop���]=5�W��e�� want�to�show�that��R���^���2�n�����DC���~J�=���h�u���^��n���e�i��=��CZ�/�8�CZ�,�� and��R����
��2�n�+�1���X��DC������=���h�x��u���^��n���,����yu���^��n���i��=�(�CZ�/�2�CZ�)���^��2��L��.���W��e��.rst�look��/at��R���^���2�n�����DC����2�,���wher���e�we�need�to�show�that��4�u���^��n��j�6�=�$�0�,���that�is,��4�U�� �͟�^��n������ R��/������6�2�������� ���^��2�n�+�1��܍�.��#W��e�have������g���8�(�4�U�� �͟�^��n��w2�)�$=��2���^��n�+�2����,���for��any��g�c]�=�I��i���,����j�?��,��k��f�.�*�Suppose��
that���4�U�� �͟�^��n��
���2�I�� ���^��2�n�+�1��܍�;���then�by�pr���oposition���7�ps:SDict begin H.S end����color push gray 01.5� color pop���[����ps:SDict begin H.R end��[�|ps:SDict begin [/Color [1 0 0]/H /I/Border [0 0 1]BorderArrayPatch/Subtype /Link/Dest (Theorem.1.5) cvn H.B /ANN pdfmark end�ther�e�is�an�element���ፑw4�e��%���x������2����=��K�e��5Í�I�� ���^��2�n�+�2�������satisfying���� �c_�n����+��2���=��v���/�2��L��(�����g���8�(�4�U�� �͟��n��w2�))�=��v���/�2���(�����g���8�(���ፑ �(�e��%��x�����))��܌��so�� that��v���/�2��L��(�����g���8�(���ፑ �(�e��%��x�����))��=��n����+��2�.��W��B�rite���č���ፑ$�8�e��%��#��x���,:?�=���a���_�1��L��U�� �͟��n�+�1���Q�+����a���/�2���X�Q�U�� �͟��n��h��+��a���/�3���Y�zU�� �͟��n��h��+��U�� �͟��n�+�2�����P� �(�X�Q��,����Y��,��U� ���)���+��X�Q�U�����n�+�1�����Q�(�X��,����Y�z�,��U��)���+��Y�zU�����n�+�1�����R�(�X�Q��,����Y��,��U� ���)����wher���e�4
�P� �,����Q�,��R�4�ar�e�4
polynomials�with�4integer�coecients.�5�W��e�then�apply������g���E�for��g�.�=���i���,����j�?��,��k�s�to�this�4
equation,��
38�divide���the���3�r���elations�thus�obtained�by��2���^��n�+�1�����and�look�at�the�r���esult�mod��2�.���The�thr�ee��������g��V5�give�us�a�system�of���thr���ee�� equations:���ō��� �y��0������ �@��=���a���_�1��>��+����a���/�3������38���� �y��0������ �@��=���a���_�1��>��+����a���/�2���������� �y��0������ �@��=���a���_�1��>��+����a���/�2���+��a���/�3�������č�which�"ohas�"pno�nontrivial�solution.� �But�if��a����m��
�6�=����0�(��mod����2�)��for��m����=��1,���2,�3�"o�then��v���/�2��L��(�����g���8�(���ፑ �(�e��%��x�����))����>���n�-��+��2�,�Kwhich�"ois��
38�impossible.��Thus�� �4�U�� �͟�^��n���2�cannot�be�in�� ���^��2�n�+�1��܍�,�and�the�additive�or���der�of��u���^��m�� Q�is�indeed�8�for�all��m�.���The�� same�pr���ocess�shows�that��x��u���^��n���e�,����yu���^��n��je�and��x�u���^��n���)�+����yu���^��n��je�ar���e�nonzer�o�in��R����
��2�n�+�1���X��DC���\��for�all��n�.���_p|� � ff����d� ff �Y�� ff �� � � ff�������color push gray 0�Products�� of�cyclic��2�-groups� color pop� �`�.���X�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Jps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Theorem.1.16) cvn /DEST pdfmark end�0P��color push gray 0�Theorem�� 1.16.� � color pop���t�� ���R�������G�(�CZ�/�4����
��CZ�/�2�)��=�����:⍑i�CZ�[�x���,����y�]���K�xQ� ff T\�� Gۍ(�4�x���,���2�y�,��x�y���*�3��>��+����x����*�2��ff�y���*�2��L��)������:#��Fwith�� �j�x���j���=��j�y�j��=��1��������� �color push gray 0� �FPr���oof.� color pop������Let�x,��x+�be�a�generator�of��R�(�CZ�/�4�)��and���D��the�nontrivial�r���epr�esentation�x,of��CZ�/�2�.��Then��R���^�����G�(�G�Y��)��is�generated���by��q�c���_�1��L��(��)�g+=:��x��
�and��c���_�1��L��(�� ���)�=:��y�.��By�r���estriction�to�cyclic�subgr�oups,��
we�see�that��x��
�has�additive�or�der��4��and��y�,���additive�� or���der��2�.��Now�consider��X��=������� ��1�� �and��Y�ے�=������ ����1�.��Then�by�expanding��(�X�C��+��1�)���^��4����=���1��we�get���� ��W�4�X��=��� �(�6�X��Q���2���|�+����4�x������3��X*�+��X��Q���4�����)��� ��color push gray 0�� ���12����I� color pop�����
BB��ps:SDict begin /product where{pop product(Distiller)search{pop pop pop version(.)search{exch pop exch pop(3011)eq{gsave newpath 0 0 moveto closepath clip/Courier findfont 10 scalefont setfont 72 72 moveto(.)show grestore}if}{pop}ifelse}{pop}ifelse}if end���������ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin H.R end�Eps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (page.13) cvn /DEST pdfmark end����n����>�덍�color push gray 0���I� color pop����n������On�� the�other�hand,��Y��z��^��n�����=��(� �2�)���^��n� �1����Y�z�,�so��38��[���X�Q�Y��z���3��(_�=���4�X�Y�ے�=�� �X�����4�����Y�>� ����4�X�����3���Y�>� ����6�X�����2���Y�ے�=��� �X�����4���Y�>� ����X�����3���Y��z���3��S�+����3�X�����2���Y��z���2��aG�.����Quotienting�ߍby�ߎ� ���^��5��,Z�we�get�that��x��y���^��3�� ���=�R�x����^��2��ff�y���^��2��L��.�8@W��e�ߍnow�show�these�ar���e�the�only�r���elations;��Tthe�only�other��
38�possible��|extra��}r���elations�(that�cannot�be�r��uled�out�by�r���estrictions�to�various�subgr���oups)�ar�e:����x�����^��n� �1��)Y�y���=��0�,����x�����^��n� �2��)Y�y���^��2�� (��=����0����or��x�����^��n� �1���y����=��x�����^��n� �2���y����for�some��n�.�x�W��e�use�the�continuity�method�to�dispr���ove���all�of�these.�x�Let�������=��K�e��5� ���^��n����
���=���h�X��Q��^��n��<P�,����Y��z��^��n�����,��X��Q��^��n� �1��a��Y�z�,��X��Q��^��n� �2���Y��z��^��2��aG�i�,�� then��f����=��K�e��5� ���^��n����
���g����n��je�is�an�acceptable�appr���oximation�for��f� ���^��n���e�g����n���.���First��)suppose��(that��x�����^��n� �2��)Y�y����=��0��)�for�some��n�.�>Then�for��N�[��arbitrarily�lar���ge,��2ther�e��)exists����f�����e��9����Z���oR�2����=�����e��5Í���� ���^��n�+�1����"��such�that����X��Q��^��n� �2��a��Y�ے�=����f���t�e��9�����Z����Y�+����R�� �with��R���2�� ���^��N����;�� in�particular��B�,�for�any�element��(�i���,����j�?��)���2��CZ�/�4����CZ�/�2�� �we�have��P��� ����v���/�2�����u������/��X��Q���n� �2��a��Y��z���2��aG�j�����(�i�
��,�j�0��)���
�͟������H7��=���v���/�2�����u���������f��
_"e��9���/��Z���[C�j�����(�i�
��,�j�0��)���
�͟������,,��.��lȍ�W��B�rite��38�����f�� ���e��9����s�Z���)u�=���a������X��Q���n�+�1��So�+��b�*���X��Q���n��<P�Y�>�+��c����X��Q���n� �1��a��Y��z���2��S�+��d����Y��z���n�+�1����+��P������X��Q���n�+�2���+��Q����X��Q���n�+�1��a��Y�>�+��S�]���X��Q���n��<P�Y��z���2��S�+��T��4���Y��z���n�+�2�����wher���e�<��a�,����b�&f�,��c�,��d�$��2�$��CZ��P� �,��Q�,��S���,��T�"@�2�$��CZ�[�X�Q��,��Y�z�]�,�lthen�evaluate�at��(�2,�1�)�;��Gso�that��X�Q��j�����(�2,1�)���"�=�$��Y�z�j�����(�2,1�)���#�=�� �2�.�P&Then�the���2�-valuation���of��X��Q��^��n� �1��a��Y����is��(� �2�)���^��n�����while�the��2�-valuation���of����f�����e��9����Z���\��is�at�least��n����+����1�.�c(This�shows�that��x�����^��n� �1��)Y�y��cannot�be��
38�zer���o.��The�� same�pr�oof�works�for��x�����^��n� �2��)Y�y���^��2��L��.���The���only�possible���r���emaining�r�elation�is��x�����^��n� �1��)Y�y��g�=��x�����^��n� �2���y���^��2��L��.�0�Let����Z� �=��X��Q��^��n� �1��a��Y�g��+�Sm�X��Q��^��n� �2���Y��z��^��2��aG�.�W��s8ith���notations�as���above,�� we�have�������f�� ����e��9��� ����Z��� ���j�����(�2,0�)��Lj�=���a������(� �2�)����n�+�1����+��P������(� �2�)����n�+�2���38��while�� �Z�Y��j�����(�2,0�)��Lj�=���0�.��Thus��a��=��0��(��mod���_2�)�,�so�write��a��=��2�a���^��0����.��W��e�now�evaluate�at��(�1,���1�)�:���荒 ����Z�Y��j�����(�1,1�)��Lj�=��(�i��� ����1�)����n� �2������4��+�(�i�� ��1�)����n� �1������(� �2�)�.��38��thus�� �v���/�2��L��(�Z�Y��j�����(�1,1�)���R�)��=�(�n����+��1�)/�2�.��On�the�other�hand:������f��?���e��9���>�%�Z���E���j�����(�1,1�)��Lj�=���a����0���������2����(�i��� ��1�)����n�+�1����+��b�*���(�i�� ��1�)����n���e�(� �2�)�+��c����(�i�� ��1�)����n� �1����4��+��d����(� �2�)����n�+�1����+����f����e��9����R������wher���e�� �v���/�2��L��(����f��(��e��9���R�����)��������]���K�n�+�2���K��։ ff ���� ��az2������>�.��W��e�see�that��v���/�2���(����f��/\�e��9���Z���+}�j�����(�1,1�)���R�)�����(�n����+��2�)/�2�,�� which�completes�the�pr���oof.���[rq� � ff����d� ff �Y�� ff �� � � ff����|��ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Jps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Theorem.1.17) cvn /DEST pdfmark end�����color push gray 0�Conjecture�� 1.17.� � color pop�FLet��G� ��=���CZ�/�2���^��n���)�����CZ�/�2�F.��Then��&a�� �cW�R�������G�(�G�Y��)��=�����:⍑'���CZ�[�x���,����y�]���K�xQ� ff d�}� e�(�2���*�n���e�x���,���2�y�,��x�y���*�n�+�1����+����x����*�2��ff�y���*�n���e�)��������ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Gps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (section.2) cvn /DEST pdfmark end�� ���color push gray 0�2�ff� color pop�����L�3�� ff
zplmr7m�LR�������� �U�and����LP�p�R���������are�not�Mackey�functors���'�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Lps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (subsection.2.1) cvn /DEST pdfmark end�Ǯ���color push gray 0�B2.1� � color pop�� The� graded�ring�of��f�3��
zplmr7m�fA��'h�d�z�
pplr7t�d4����&��Let���A���_�4��iX�be�the�alternating�gr���oup�on���4��elements,�C�generated�by�the�permutations��(�12�)(�34�)��and��(�123�)�.��9Ther���e��
38�ar���e�� �4��irr�educible�complex�r�epr�esentations�of��A���_�4��L��:��38����color push gray 0�� ��� � color pop��� �Of�sdimension�1:���the�trivial�r���epr�esentation�s�C1�,���and�the�r���epr�esentations�s���(r���esp.���ፑo
���%��������2��)�that�send��(�123�)��to���� �e��̟�^��2�i�
��0��/�3��G��(r���esp.���e��̟�^�� �2�i�
��0��/�3�� }�)�� and��(�12�)(�34�)��to��1�.������color push gray 0�� ��� � color pop��� �Of�9Mdimension�9N3:��2the�r���epr�esentation���L��,�g�which�9Mis�the�quotient�of�the�r���epr�esentation����3�������l͍�9M����p �acting�9Mon��CC���^��4����by���� permutation��5of��4the�basis�vectors,���by�the�trivial�r���epr�esentation.�h6The�character��5����������of�����sends�3-cycles�to���� 0�� and��(�12�)(�34�)��to�� �1�.��� ��color push gray 0�� ��13����I� color pop����� \L��ps:SDict begin /product where{pop product(Distiller)search{pop pop pop version(.)search{exch pop exch pop(3011)eq{gsave newpath 0 0 moveto closepath clip/Courier findfont 10 scalefont setfont 72 72 moveto(.)show grestore}if}{pop}ifelse}{pop}ifelse}if end���������ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin H.R end�Eps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (page.14) cvn /DEST pdfmark end����n����>�덍�color push gray 0���I� color pop����n������Ther���e�� ar�e�the�following�r�elations�between�the�r�epr�esentations:���e����� ��s�����2����=���ፑCD��%�������������Y�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 16.20007 H.A end�Jps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (equation.2.1) cvn /DEST pdfmark end��(2.1)������38����� ��a����=����������Y�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 16.20007 H.A end�Jps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (equation.2.2) cvn /DEST pdfmark end��(2.2)������G������ �
H���L̟��2��`��=���C1����+����+���ፑm���%������ #��+��2��������Y�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 16.20007 H.A end�Jps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (equation.2.3) cvn /DEST pdfmark end��(2.3)�������f�Additionally�� ����^��2��L��(��L��)��=������(by�a�dir���ect�calculation�of�the�exterior�power)�and���det�����(��L��)�=��C1�.�����ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Ips:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Theorem.2.1) cvn /DEST pdfmark end�.A��color push gray 0�Conjecture�� 2.1.� � color pop�FLet��x���=���c���_�1��L��(��)��Fand��y��=��c���/�2��L��(��L��)�F,�then���� �4t�R����������DC����(�A���_�4��L��)��=�����:⍑���CZ�[�x���,����y�]���K�xQ� ff J�ݟ Gۍ(�3�x���,���12�y�,�4�y����+��x����*�2��ff�)�������6�� �I�� do�not�have�a�complete�pr���oof�of�this.��However��B�,�I�can�show:���ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Ips:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Theorem.2.2) cvn /DEST pdfmark end���color push gray 0�Proposition�� 2.2.� � color pop�FLet��x���=���c���_�1��L��(��)��Fand��y��=��c���/�2��L��(��L��)�F,�then���e����� ��C�R����������DC����(�A���_�4��L��)����
��CF���/�2�������� �W�=���CF���/�2��L��[�y�]������ύ���� ��C�R����������DC����(�A���_�4��L��)����
��CF���/�3�������� �W�=�����:⍑�z�CF���/�3��L��[�x���,����y�]���K�xQ� ff #�w� Gۍ(�y����+��x�����*�2��ff�)���������P������ �color push gray 0� �FPr���oof.� color pop������Generators.��,�In��degr���ee��1�,�=hwe�have���x��K�=�߲�c���_�1��L��(��)�߱=�� �c���_�1���(���ፑ|,��%�����?��)���and��3�x��J�=�߲�0�.��,Mor���eover��c���_�1���(��L��)�߲=�߱�c���_�1���(��det��(����)�߲=��
38��c���_�1��L��(�C1�)��=��0�,�� so��x����is�the�only�generator�of�degr���ee�1.��In�degr�ee��2��we�let��y���=��c���/�2��L��(��L��)�.��In�� degr�ee��3�:����l���C���/�3��L��(��L��)��=��
��&f���3��s3�(��>�� ����3�)�=������3���(��>�� ����1�)�=�� �1��+���>�� ������2��L��(��L��)�+��1��=��0���f��so�� ther���e�is�no�additional�generator�in�degr�ee�3.����Relations.���Apply�� the�total�Chern�class��c����t�����to�both�sides�of�(��7�ps:SDict begin H.S end���color push gray 02.3� color pop���� ����ps:SDict begin H.R end��� �}ps:SDict begin [/Color [1 0 0]/H /I/Border [0 0 1]BorderArrayPatch/Subtype /Link/Dest (equation.2.3) cvn H.B /ANN pdfmark end)�to�obtain:�������}��c����t��8��(���L̟��2�����)������� �8�=���c����t��8��(�1����+����+���ፑm���%������ #��+��2��L��)�����G������ �8�=���c����t��8��(��)�c����t���(���ፑ|,��%�����?��)�c����t���(��L��)����2����������� �8��=��(�1����+��x��T� �p�)(�1�� ��x�T� �p�)(�1��+��yT�����2��J=�)����2������e����� �8��=���1����+�(�2�y�� ��x������2��ff�)�T�� �p���2��<�+�(�y����2��>�� ��2�yx������2���)�T�� �p���4��<�+��zy����2��L��T�� �p���6���������Y�(�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 16.20007 H.A end�Cps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (AMS.6) cvn /DEST pdfmark end2.4)�������f�while�2fon�2gthe�left-hand�side�(looking�only�at�even�terms�of�degr���ee���v�6��and�keeping�in�mind�that��c���_�1��L��(��L��)�v=����c���/�3��L��(��L��)��=��0�):���e����� �$I�c����t��8��(���L̟��2�����)������� �T|=���c����t��8��((����_�1��>��+�������/�2���+�����/�3��L��)����2���)���������� �T|=���1����+��6�yT�� �p���2��<�+��9�y����2��L��T�� �p���4���+��4�y����3��L��T�� �p���6���������Y�(�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 16.20007 H.A end�Cps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (AMS.8) cvn /DEST pdfmark end2.5)�������Putting�j%the�j$pr���evious�two�equations�together�yields��4�y���=�� �x�����^��2��ff�.�OIn�j%particular�this�means�that�the�or���der�of��y��is��
38�a�� multiple�of��3�.��T��o�show�it�is�not��3�,�we�r���estrict�to��H�L6�:=��(�CZ�/�2�)������(�CZ�/�2�)�.�By�� pr���oposition���7�ps:SDict begin H.S end����color push gray 01.9� color pop��� ����ps:SDict begin H.R end�� �|ps:SDict begin [/Color [1 0 0]/H /I/Border [0 0 1]BorderArrayPatch/Subtype /Link/Dest (Theorem.1.9) cvn H.B /ANN pdfmark end�:��)�� ��.�R����������DC����(�CZ�/�2������CZ�/�2�)��=�����:⍑�A�CZ�[�t���_�1��L��,����t���/�2���]���K�xQ� ff Vnj� �R�(�2�t���_�1��L��,���2�t���/�2���,��t�������2���D�1����t���/�2��>�� ����t���_�1���t�������2����2����)���������Then���l�Res����"�о�H�����(�y�)���=����t���^���2���D�1���h��+�%�t���_�1��L��t���/�2���+��t���^���2����2���L��,�which��mhas��lor���der��2�.�p�So�the�or���der�of��y���^��i�����is�a�multiple�of��2�.�p�Finally����,�r���estricting����x�Hh�to�.�the�.�subgr���oup�generated�by��(�123�)��shows�that��x�Hh�is�not�nilpotent,�Z�as�well�as�r���estricting��y��and��yx�Hg�to�the���subgr���oup�� generated�by��(�12�)(�34�)�.���=�u� � ff����d� ff �Y�� ff �� � � ff����&u�� �H�L6�=���CZ�/�2������CZ�/�2�� �is�a�normal,�abelian,��2�-Sylow�of��G�Y��.��The�image�of��G�ٙ�under�the�r���estriction�map����� �^��Res������ �Y�G���� �YH��� ��8�:���R����������DC����(�A���_�4��L��)����� ���� 6!��R����������DC����(�CZ�/�2������CZ�/�2�)��� ��color push gray 0�� ���14����I� color pop����� u���ps:SDict begin /product where{pop product(Distiller)search{pop pop pop version(.)search{exch pop exch pop(3011)eq{gsave newpath 0 0 moveto closepath clip/Courier findfont 10 scalefont setfont 72 72 moveto(.)show grestore}if}{pop}ifelse}{pop}ifelse}if end���������ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin H.R end�Eps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (page.15) cvn /DEST pdfmark end����n����>�덍�color push gray 0���I� color pop����n������is�B�generated�B�by�powers�of���Res������о�H��]�(�y�)��=��t���^���2���D�1�����+��+�t���_�1��L��t���/�2����+��,�t���^���2����2����,�Osince��B��Res������о�H��^�(�x���)��=��0�.�8On�B�the�other�hand,�O�G��z�acts�on��R���^��������DC����(�H� ��)��
38��by��Ecyclic��Fpermutations�of�the�elements��t���_�1��L��,����t���/�2���,��t���_�1��a|�+���t���/�2���.�4hThe��Eelement��F�z�u��=��t���^���3����1���a{�+��t���^���3��鋍2����+��t���^���2���D�1���L��t���/�2��+�is��Einvariant��Funder�this���action.��1But�T3�z��is�not�a�combination�of�powers�of��t���^���2���D�1����)�+�@[�t���_�1��L��t���/�2���(�+�@\�t���^���2����2���� �since�it�has�odd�degr���ee,��?and�thus�does�not���belong�� to�the�image�of�the�r���estriction�map.��Ther�efor�e:��38��� ����Im�� ����(��Res���������G������H����}�)���/���
k�
msbm10�(��R����������DC����(�H� ��)����N�����G���(�H�e+�)�����which�� means�that��R���^����&G�is�not�a�Mackey�functor��B�.�����ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Lps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (subsection.2.2) cvn /DEST pdfmark end��ݍ��color push gray 0�B2.2� � color pop�� The� permutation�ring��fP�33R������j�G�
zplmr7y�j��i��o�t��
zplmr7t�o(�fA��'h�d4�� �o)���&��Ther���e���ar�e��5��conjugacy�classes�of�subgr�oups�of��A���_�4��L��,���which�corr�espond�to�isomorphism�classes�of�subgr�oups:��
38��1,����C���/�2��L��,��C���/�3���,��C���/�2��>������C���/�2���,��A���_�4���.��The�� permutation�r���epr�esentations�� associated�to�each�of�these�classes�ar���e:��38����color push gray 0�� ��� � color pop��� �CQ��������[����A���_�4��L��/�A���_�4������]���)�=���C1������color push gray 0�� ��� � color pop��� �CQ��������[����A���_�4��L��/�C���/�2��>������C���/�2������]���?g)=���C1����+����+������ ff ?������������color push gray 0�� ��� � color pop��� �CQ��������[����A���_�4��L��/�C���/�3������]���(;�=���C1����+��������color push gray 0�� ��� � color pop��� �CQ��������[����A���_�4��L��/�C���/�2������]���(;�=���C1����+����+������ ff ?������� #��+��������color push gray 0�� ��� � color pop��� �CQ��������[����A���_�4���L͞��]�����=���C1����+����+������ ff ?������� #��+��3�����So�E��P� R�(�A���_�4��L��)�E��is�generated�by��C1�,��������+������ ff ?�������T�and���L��,���and�E�(with�notation�as�above)�the�graded�permutation�ring����P� R���^�����G�(�A���_�4��L��)�yT�is�generated�by��z����=��c���/�2���(��L��)�yT�and��t����=��c���/�2���(��N�+��N���� ff ?���������)�.��As�yTwe�ySdid�above,���we�can�apply�the�total�Chern���class�� �c����t�����to�both�sides�of�the�equation:���� �-H���L̟��2��`��=���1����+����+���ፑm���%������ #��+��2���38��and��8obtain��9that��4�z��H�=��G�t�.�GAThe�natural�map��P� R���^�����G�(�A���_�4��L��)��H�!��G�R���^��������DC����(�A���_�4���)��induced��8by�the�inclusion��P� R�(�A���_�4��L��)��H�,��Y�!��G�R�����DC���(�A���_�4���)����maps���z���to��y�,��Fand�thus�the�or���der�of��z��in��P� R���^����3L�is�a�multiple�of��2��and��3��(it�is��12��if�conjectur���e�����ps:SDict begin H.S end����color push gray 02.1� color pop���
����ps:SDict begin H.R end��
�|ps:SDict begin [/Color [1 0 0]/H /I/Border [0 0 1]BorderArrayPatch/Subtype /Link/Dest (Theorem.2.1) cvn H.B /ANN pdfmark end�is�tr��ue),��Eand��z��is���not�� nilpotent.��W��e�have�pr���oven:�����ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Ips:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Theorem.2.3) cvn /DEST pdfmark end�aP��color push gray 0�Proposition�� 2.3.� � color pop�FLet��y���=��c���/�2��L��(��L��)�F,�� then��38����� �+��P� R�������G�(�A���_�4��L��)����
��CF���/�2�������� ����=���CF���/�2��L��[�y�]�����38����� �+��P� R�������G�(�A���_�4��L��)����
��CF���/�3�������� ����=���CF���/�3��L��[�y�]����������wQ� � ff����d� ff �Y�� ff �� � � ff����38�� �The��dpermutation��ering��P� R���^�����G�(�C���/�2��?t����C���/�2��L��)��is�isomorphic�to��R���^��������DC����(�C���/�2��?t����C���/�2��L��)�:�`ther���e�ar�e��d�5��conjugacy�classes�of�sub-���gr���oups��-of��C���/�2��T���
�C���/�2��L��,��8which�ar�e�the�two�trivial�ones�and�thr�ee�subgr�oups�isomorphic�to��.�C���/�2��L��;��CThe�permutation���r���epr�esentations�+�corr�esponding�+�to�these�gr�oups�ar�e�+�������(�1,0�)��)A�+���������(�0,1�)���R�,�<�������(�1,1�)���+���������(�0,1�)���D�and�������(�1,0�)���+���������(�1,1�)���C�r���espectively����.���This�\means�that�]the�ring��P� R���^����ģ�is�generated�by��t���_�1��y8�+�,j�t���/�2��L��,�E��t���_�1���+�,k(�t���_�1��y7�+��t���/�2���)��Z=��Y�t���/�2��k)�and�\�t���/�2��y8�+�(�t���_�1���+�,j�t���/�2��L��)��Z=��Y�t���_�1���.���In�\other���wor���ds,��:܍�v2�P� R�������G�(�C���/�2��>������C���/�2��L��)��=�����:⍑�A�CZ�[�t���_�1���,����t���/�2���]���K�xQ� ff Vnj� �R�(�2�t���_�1���,���2�t���/�2���,��t�������2���D�1����t���/�2��>�� ����t���_�1���t�������2����2����)�����^c =��R����������DC����(�C���/�2��>������C���/�2���)��d��so�� Swan's�lemma�also�fails�for��P� R���^�����G�,�as�is�shown�by�r���estriction�of��y�.�����ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Gps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (section.3) cvn /DEST pdfmark end�� ��color push gray 0�� ��15����I� color pop����� �o��ps:SDict begin /product where{pop product(Distiller)search{pop pop pop version(.)search{exch pop exch pop(3011)eq{gsave newpath 0 0 moveto closepath clip/Courier findfont 10 scalefont setfont 72 72 moveto(.)show grestore}if}{pop}ifelse}{pop}ifelse}if end���������ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin H.R end�Eps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (page.16) cvn /DEST pdfmark end����n����>�덍�color push gray 0���I� color pop����n����n���color push gray 0�3�ff� color pop����The���saturated�ring��N�G� ff
zplmr7y�NR���'�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Lps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (subsection.3.1) cvn /DEST pdfmark end�Ǯ���color push gray 0�B3.1� � color pop�� Theory����ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Qps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (subsubsection.3.1.1) cvn /DEST pdfmark end�
=q���color push gray 0�3.1.1�
� color pop�� Denitions�� and�rst�properties���&��color push gray 0Denition.� � color pop�On�� the���-ring��R��ѷ�DK����(�G�Y��)�,�dene�the��Fsaturated��ltration��f�F�����^��n����g����n��je�as�follows:����� ����F������n����(�G�Y��)��=�����.�{�X���
�����H�e+��G����7[�Ind�������&�#�G����&�#H���-���( ����n���e�(�H� ��))��
?�� �This�� means�that��F�����^��n����(�G�Y��)��is�generated�by�elements�of�the�form:����~��x���=����Ind���������G�����H���,��(�
��&f���i�����1���fF�(����_�1��L��)���������%�
��&f���i��#��m���7��(�����m���Q�))�,� *��i���_�1��>��+������������]�+����i����m�� ai����n����with�� each������l�����an�irr���educible�r�epr�esentation�of��H� ��.��Let��w���(�x���)��=��i���_�1��>��+������������]�+����i����m�� Q�be�� the��Fweight��of��x��.�����ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Ips:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Theorem.3.1) cvn /DEST pdfmark end�i�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Eps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Item.10) cvn /DEST pdfmark end�
٭���color push gray 0�Lemma�� 3.1.� � color pop�� �color push gray 0����i�F(i)�� color pop���Qc�Induction�� and�r���estriction�of�r�epr�esentations�pr�eserve�the�ltration��F���F.��:��ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Eps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Item.11) cvn /DEST pdfmark end�
����� �color push gray 0�����(ii)�� color pop��� �F�����^��i����(�G�Y��)������F�����^��j��+0�(�G��)�����F�����^��i�
��+�j���<�(�G��)�F.����ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Eps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Item.12) cvn /DEST pdfmark end�m���� �color push gray 0��� (iii)�� color pop��� �F�����^��0��ff�(�G�Y��)��=��R�(�G��)�,�*��F�����^��1��ff�(�G��)�=��I� ���F,�� wher���e��I�(��Fis�the�augmentation�ideal.��+��ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Eps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Item.13) cvn /DEST pdfmark end������ �color push gray 0� Pr���oof.� color pop���0���color push gray 0���n!�(i)�� color pop���5��Obviously��induction��pr���eserves�the�ltration.���For�r���estriction,�'�let��x���2���F�����^��i����(�G�Y��)�.�It�is��enough�to�pr���ove��
38�� that���if��x����=��q�Ind����������G������H���֡�(�y�)��with��y�q�2�� ���^��i���~�(�H� ��)����then���Res������о�K��t��(�x���)�q�2�q�F�����^��i����(�K�5��)��for�all��k�Wx���G�Y��.�,�For�this,��we�use�the�double���� coset�� formula:��let��S����be�a�set�of��(�H� ��,����K�5��)�-double�coset�r���epr�esentatives�� of��G�Y��.�For��s���2��S���,�� let���
�� �#�H����s��l��=���sH� �s���� �1����\����K������K����� �and�� let���� ���y����s���z�(�g���)��=��y�(�s���� �1��
�[�g�s�)�,��� *��for�� all���*���g���2��H����s���z�.���P�� �Then�� �y���^��s��%z�is�a�r���epr�esentation�� of��H����s���and����� ���Res��� ����о�K��� �1��Ind������� �~��G���� �~�H��� ؗ]�(�y�)��=�����ß{�X���iƍ��s�2�K�(��n�G�D�/�H����'І�Ind�������7N�K��㻍�7NH��#��s����@���(�y����s���z�)���J�� �Note��.that�each��/�y���^��s��y��is�in�� ���^��i���~�(�H����s���z�)�,��:since�exterior�powers�commute�with�conjugation�(so�the���-operations���� commute�� with�the�operation��y���7!��y���^��s���z�).��Thus��� �Res���5��о�K���(�x���)��2��F�����^��i����(�K�5��)�.��JF�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Eps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Item.14) cvn /DEST pdfmark end�
٭���� �color push gray 0���2(ii)�� color pop��� It�h�is�sucient�h�to�pr���ove�that�if���ፑ!,�~��%���x���
d?�=��vL�Ind���������G�����H������(�x���)��and���ፑ���~��%���y���
'�=��vM�Ind���������G�����K���[�(�y�)��with��x����2�vM� ���^��i���~�(�H� ��)��and��y�vL�2�� ���^��j����(�K�5��)��then������ፑ�S�~��%�� �x��� ������ፑ�2�~��%��%m�y���.��2��e�F�����^��i�
��+�j���<�(�G�Y��)�.��
W��e�|pr���oceed�by�}induction�on�the�or�der�}of��G�Y��.��
Suppose��H�N�<��eG�e�is�a�pr���oper�subgr�oup���� (otherwise�� ther���e�is�nothing�to�pr�ove).��By�the�pr�ojection�formula:������ፒ ����~��%�� ��w�x�����ፒ �S�~��%�� ���y��� ����=����Ind���������G�����H���,��(�x���)�����Ind��������p�G�����pK���K��(�y�)��=���Ind���������G�����H����(�x���A�Res���y��о�H���=f�Ind�������)�.�G����)�.K���/�t�(�y�))�.���
�� �Since�� r���estriction�pr�eserves�the�ltration,���Res���5��о�H����%�Ind�������*E��G����*E�K���0�3�(�y�)���2��F�����^��j��+0�(�H� ��)�,�� so:���� ��-�x�]������Res����z�о�H���j��Ind�������)���G����)��K���0��(�y�)���2��F������i����(�H� ��)�F������j��+0�(�H��)�����F������i�
��+�j���<�(�H� ��)�.���� �wher���e�� the�inclusion�is�tr��ue�by�induction.��In�conclusion:����� ��\�Ind������� �C$�G���� �C$H��� �[��(�x�]������Res����z�о�H���j��Ind�������)���G����)��K���0��(�y�))���2��F������i�
��+�j���<�(�G�Y��)�.��
��ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Eps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Item.15) cvn /DEST pdfmark end�
翍��� �color push gray 0���C�(iii)�� color pop��� The��zfact�that��F�����^��0��ff�(�G�Y��)�3=��R�(�G��)��z�comes�fr���om�the��{fact�that�� ���^��0��L��(�G��)�3=��R�(�G��)�.��For��z�F�����^��1��ff�(�G��)�,��Ysimply�observe�that,��
38�� since�� �"����(��Ind�������L��G����L�H���e��(��))��=�[�G� ��:��H� ��]�"��(��)�:���� ��/�F������1��ff�(�G�Y��)��=�����.�{�X���
�����H�e+��G����7[�Ind�������&�#�G����&�#H���-���(��ker��L��(�"����j��о�H����))�=���ker����(�"��)�=��I� ���.���W�����wQ� � ff����d� ff �Y�� ff �� � � ff����� ��color push gray 0�� ���16����I� color pop����� ����ps:SDict begin /product where{pop product(Distiller)search{pop pop pop version(.)search{exch pop exch pop(3011)eq{gsave newpath 0 0 moveto closepath clip/Courier findfont 10 scalefont setfont 72 72 moveto(.)show grestore}if}{pop}ifelse}{pop}ifelse}if end���������ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin H.R end�Eps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (page.17) cvn /DEST pdfmark end����n����>�덍�color push gray 0���I� color pop����n������color push gray 0�Denition.� � color pop�The�� graded�ring��
38�� �C;�R��ѷ�DK����(�G�Y��)��=������33�M������zx�i�
���0���KY�F������i����(�G��)/�F������i�
��+�1��r�(�G��)�.�����is�l�called�the��Fsaturated�l��(graded�r���epr�esentation)�l�ring�associated�to��G�Y��.���In�the�sequel,���we�dr���op�the�subscript���whenever�� �CK��is�clear�fr���om�the�context.��7�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Ips:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Theorem.3.2) cvn /DEST pdfmark end��0��color push gray 0�Theorem�� 3.2.� � color pop�R���^����&G�Fis�a�Mackey�functor��B�,�with��38������ ����Ind������� ��`�H��㻍� ��`K��� ��?�:���R�������G�(�K�5��)���������� � ���� ���!��R�������G�(�H� ��)�����Xo������ ����Res������ �bP�H��㻍� �bPK��� �B/�:���R�������G�(�H� ��)���������� � ���� ���!��R�������G�(�K�5��)�����38����� ����c����g��oP�:���R�������G�(�H� ��)���������� � ���� ���!��R�������G�(����g���8�H� ��)���������� �color push gray 0� �FPr���oof.� color pop������The��only��nontrivial�statement�is�that�conjugation�of�r���epr�esentations�gives��rise�to�a�well-dened�ho-��
38�momorphism���c����g��/�:����R���^�����G�(�H� ��)����!�R���^�����(�H�� ���^��g��-V�)�.�P'The��r���est�of�the�axioms�follow�fr�om��basic�r�epr�esentation�theory����.�P'So,��5F�consider�s�an�element�of��F�����^��i����(�H� ��)��of�the�s�form���Ind��������K�H��㻍��KK�����(�C�����i�����1���?��(����_�1��L��)���������%�C�����i��#��n����J�(�����n���e�))��for�some�r���epr�esentations�s������l�����2���R�(�K�5��)��and����K�������H� ��.��Note�J�that�J�since�exterior�powers�commute�with�conjugation,�Uuone�has��c����g���8�(�C�����i���~�(��))��=��C�����i���(�c����g���8�(��))�J��(in�J�other���wor���ds,�� �c����g��(8�is�compatible�with�the�� �-ltration).��Then���ˍ����c����g���R��Ind����������H��㻍���K����o�(�C�����i�����1���?��(����_�1��L��)���������%�C�����i��#��n����J�(�����n���e�))��=���Ind�����������=��g���
�H��ڍ������&�g���
�K����|�c����g���8�(�C�����i�����1����(����_�1��L��)���������%�C�����i��#��n����J�(�����n���e�))�=���Ind�����������=��g���
�H��ڍ������&�g���
�K������(�C�����i�����1����(�c����g���8�(����_�1��L��))���������%�C�����i��#��n����J�(�c����g���(�����n���e�)))����and��� �Ind���������ȟ�=��g�����H��ڍ���ȟ��&�g�����K������(�C�����i�����1���?��(�c����g���8�(����_�1��L��))���������%�C�����i��#��n����J�(�c����g���(�����n���e�)))���2��F�����^��i����(���^��g���8�H� ��)�� �as�r���equir�ed.��� ��`� � ff����d� ff �Y�� ff �� � � ff����38�� Note�o
that��R���^����U�is�actually�a�Gr���een�functor��B�,�rqthat�ois,�a�o
Mackey�functor�with�an��R�-algebra�str��uctur���e�compati-��
38�ble�� with�r���estriction�and�satisfying�the�pr�ojection�formula.���� Since�� � ���^��n���}����F�����^��n�����for�all��n����0�,�ther���e�is�a�natural�map�of�graded�rings:��38�� ����-~�:���R�������G�(�G�Y��)����� ���� 6!�R�������(�G�Y��)����induced�� by�the�identity����.����color push gray 0�Denition.�!c� color pop�W��e��say�that���R���^��������DK�����(�G�Y��)��is��Fsaturated��if�the�natural�map���z�is�an�isomorphism.���A��gr���oup��G���is��Fsaturated��
38�(over����CK�F)��if��R���^��������DK�����(�G�Y��)��is�saturated.�IkFor����H�C������G��,���if�the�induction��i������ d��:����R�(�H� ��)����!��R�(�G��)����is�compatible�with�the���ltration�� �( ���^��n���e�)�,�then��H��is�� �F-compatible��with��G�Y��.���� Note�>that�>by�denition,�KKthe�saturated�ring��R���^�����G�(�G�Y��)��is�generated�by�Chern�classes�of�irr���educible�characters����G�Y��,�� as�well�as�classes�of�the�form���Ind����������G������H�����(�c�����i���~�(��))��with����a�virtual�character�of��H�L6����G��.��Denote��38�� ��e�d�����i���~�(��)��:=��c�����H��
��i�����(��)�:=���Ind���������G�����H���,��(�c�����i���(��))���� �Below�� ar���e�some�conditions�under�which��G�ٙ�is�saturated:��7�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Ips:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Theorem.3.3) cvn /DEST pdfmark end��0��color push gray 0�Lemma�� 3.3.� � color pop�FIf�the�r���estriction�maps��i����^����J�:���R�(�G�Y��)��!��R�(�H� ��)�� �Far�e�surjective�for�all��H�L6����G�Y��F,�then��G�ٙ�Fis�saturated.������� �color push gray 0� Pr���oof.� color pop������Let�� ���be�a�virtual�r���epr�esentation�� of��G�Y��,�with����in�� ���^��M��>��(�G��)��say����.��Then:���� ����i�������G�(��)��=��i�������i��������2�(�� ���)�=��i�������(�C1�)���2�� ����n���e�(�G�Y��)�.����So��Rall�virtual�r���epr�esentations��Rin��F�����^��n����(�G�Y��)��S�(which�ar���e�induced�fr�om�subgr�oups�of��G�Y��)�ar�e�also�in�the�� ���^��n���e�(�G�Y��)�,��gand��
38�thus�� �R���^�����G�(�G�Y��)��=��R���^�����(�G�Y��)�.���n6Y� � ff����d� ff �Y�� ff �� � � ff������ Note�S�however�S�that�the�converse�isn't�tr��ue:���in�the�case�of��D����p���n�,��r���estriction�of�r�epr�esentations�to�S��C����p��<�isn't���surjective,�� but�the�induction�still�pr���eserves�the�ltration.�����ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Ips:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Theorem.3.4) cvn /DEST pdfmark end�aP��color push gray 0�Proposition�� 3.4.� � color pop�FThe�ltrations��(�F�����^��n����)����n��je�Fand��( ���^��n���e�)����n���Finduce�the�same�topology�on��R�(�G�Y��)�F.��� ��color push gray 0�� ���17����I� color pop����� ����ps:SDict begin /product where{pop product(Distiller)search{pop pop pop version(.)search{exch pop exch pop(3011)eq{gsave newpath 0 0 moveto closepath clip/Courier findfont 10 scalefont setfont 72 72 moveto(.)show grestore}if}{pop}ifelse}{pop}ifelse}if end���������ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin H.R end�Eps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (page.18) cvn /DEST pdfmark end����n����>�덍�color push gray 0���I� color pop����n����덍��� �color push gray 0� �FPr���oof.� color pop������Let���U�C����)�R�(�G�Y��)��be�open��for�the��F���-topology����.���Then�by�denition,�"for�any��x����2��U��p�ther���e�is��an�integer��N��
38��such�� that��x�]�+����F�����^��N��
�k����U� ���.��Since�� ���^��N�� �����F�����^��N��4S�,�we�also�have��x�]�+��� ���^��N�� �����U� ���.��Thus��U���is�also�open�for�the�� �-topology����.���T��o��pr���ove�that�a�set���U����open�in�the�� �-topology�is�also�open�in�the��F���-topology����,�/�we�need�to�show�that�for�each��N� �\�,���ther���e�gNis�gMan��M����such�that��F�����^��M��A���� ���^��N����.�]W��e�use�[���7�ps:SDict begin H.S end���color push gray 0Ati61� color pop��������ps:SDict begin H.R end����ps:SDict begin [/Color [0 1 0]/H /I/Border [0 0 1]BorderArrayPatch/Subtype /Link/Dest (cite.atiyah-characters_cohomology) cvn H.B /ANN pdfmark end���,�l>Th.�\6.1]:�
?let��H�L6����G�Y��,�and�gNr���ecall�that��R�(�H� ��)��can�be�viewed�as���an�~�R�(�G�Y��)�-module�~via�the�r���estriction�homomorphism.��Then�the��I� ���(�H� ��)�-adic�topology�is�equal�to�the��I� ���(�G�Y��)�-adic���topology����.��By�a�pr���oposition��a��7�ps:SDict begin H.S end���a��color push gray 01.3� color pop���������ps:SDict begin H.R end�����|ps:SDict begin [/Color [1 0 0]/H /I/Border [0 0 1]BorderArrayPatch/Subtype /Link/Dest (Theorem.1.3) cvn H.B /ANN pdfmark end,�g�these�topologies�a�ar�e�also�a�equal�to�the�� �-topology�on��H� ��.��In�particular��B�,�g�for�some����k��f�,�m�� �we�have���� ��S� ����N����(�H� ��)�����I� ���(�G�Y��)����k��������R�(�H��)���� ����m���Q�(�H��)��38��Pick�� �k��f�,����l�ٙ�lar���ge�enough�that�we�also�have��I� ���(�G�Y��)���^��k���N���� ���^��N����(�G��)�.��Then��38���q��Ind������� �`��G���� �`�H��� �yn�( ����m���Q�(�H� ��))������Ind���������G�����H���,��(�I� ���(�G�Y��)����k��������R�(�H��))����I� ���(�G�Y��)����k���N��� ����N����(�G��)����Now�� let��
38��}���M��K�=�����max��/%�����H�e+��G������(����n���� ��min���4�l�f�m�� �j��*��Ind�������wp�G����wpH����7�( ����m���Q�(�H� ��))����� ����N����(�G�Y��)�g�����o��� ����,���F��then�� �F�����^��M�� X)�(�G�Y��)��=��� ��P���
���aG�H�e+��G������Ind�������.��G����.�H���6h�( ���^��M��>��(�H� ��))���� ���^��N����(�G��)�.����c� � ff����d� ff �Y�� ff �� � � ff����l��ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Ips:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Theorem.3.5) cvn /DEST pdfmark end� �l��color push gray 0�Corollary�3.5.�Z� color pop�FIf�the�natural�map���'��:��M�R�(�G�Y��)��N�!�R���^�����G�(�G��)��Fis�surjective,�(�then�it�is�an�isomorphism�and�the�ltrations����(�F�����^��n����)�� �Fand��( ���^��n���e�)��Far���e�equal.��38����� �color push gray 0� Pr���oof.� color pop������If�[a�����is�surjective,��8then��R���^�����G�(�G�Y��)�[`�is�generated�by�Chern�classes�of�elements�of��R�(�G�Y��)�.���Let��P����w�� ���denote�a���polynomial�� of�total�weight��w���,�then�any��x���2���F�����^��n����(�G�Y��)��can�be�written�as��38����\���x������dھ�=���P����n���e�(�C�����i�����1���?��(����_�1��L��)�,������������,����C�����i�����k�����(�����k��6�))���+��y���_�n�+�1������38�����dھ�=���P����n���e�(�C�����i�����1���?��(����_�1��L��)�,������������,����C�����i�����k�����(�����k��6�))���+��P���_�n�+�1����(�C�����i�����1����(����_�1��L��)�,������������,����C�����i�����k�����(�����k��6�))�+��y���/�n�+�2������oC�����dھ�=���35����m��
�ˍ�����{�X��� �����l�D�=�1�����P����n�+�l��
���(�C�����i�����1���?��(����_�1��L��)�,������������,����C�����i�����k�����(�����k��6�))���+��y���_�m�+�1�������S��wher���e�xrthe�xq������j����'s�ar�e�irr�educible�r�epr�esentations�xqof��G���and��y����t�����2���F�����^��t��R�.�So��x��
�is�in�� ���^��n���e�(�G�Y��)���+��F�����^��m�����(�G��)�xr�for�xqall��m�,�y�that�is,��x��ㅍ�is�� in�the�topological�closur���e������ ff ��� �� ���*�n���e�(�G�Y��)������of�� ���^��n���e�(�G�Y��)�.��But�� ���^��n���(�G�Y��)��is�a�closed�set�in��R�(�G��)�,�thus��x���2��� ���^��n���e�(�G��)�.���.�� � ff����d� ff �Y�� ff �� � � ff������ Finally����,�ٰwe���can�use�ǿtransitivity�of�induction�and�r���estriction:��suppose�����2�K�� ���^��n���e�(�H� ��)��with��H�����K������G�Y��,�ٰand����R���^�����G�(�K�5��)��E�is�saturated.�hThen���Ind�������#
�K��㻍�#
H���;��(�� ���)�f��2�� ���^��n���e�(�K��)�,���thus��Ewe�do�not�need��Fto�r���estrict�r�epr�esentations�to��H� ��,���but�only���to�� �K�5��.��7�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Qps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (subsubsection.3.1.2) cvn /DEST pdfmark end������color push gray 0�3.1.2�
� color pop�� Stable�� elements,�Swan'��s8s�lemma���&��Consider�� a�sugr���oup��H�L6����G�Y��.����color push gray 0�Denition.� � color pop�An�� element��x���2��R���^�����G�(�H� ��)��is�called��Fstable��if��38��� �e��Res������� �J��=��g�� ��w�H��ڍ�� �J���&�g�� ��w�H�e+�\�H��� ���(�c����g���8�(�x���))��=���Res������|��H��ڍ��|Ο��&�g��D��H�e+�\�H���)ml�(�x��)����for�� all��g���2���G�Y��.���� W��e�� want�to�pr���ove:�����ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Ips:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Theorem.3.6) cvn /DEST pdfmark end�aP��color push gray 0�Theorem��3.6.�bz� color pop�FLet��G�2=��أ�H�]���ؤ�S��yl����p���n�(�G�Y��)���Fwher���e��S�yl����p���n�(�G�Y��)��Fis��a��p�F-Sylow�of��G�mP�Fand�let��R���^�����G�(�G�Y��)�����(�p�)���x�Fdenote�the��p�F-primary��
38�component�� of��R���^�����G�(�G�Y��)�F.��Then:����� ��>�Res������ ����G���� ���H��� �i��:���R�������G�(�G�Y��)�����(�p�)�����4�� ������!�R�������(�H� ��)�����(�p�)��m��.��38��Fis�� injective,�and�its�image�consists�of�the�stable�elements�in��R���^�����G�(�H� ��)�����(�p�)���� ��color push gray 0�� ���18����I� color pop����� ���ps:SDict begin /product where{pop product(Distiller)search{pop pop pop version(.)search{exch pop exch pop(3011)eq{gsave newpath 0 0 moveto closepath clip/Courier findfont 10 scalefont setfont 72 72 moveto(.)show grestore}if}{pop}ifelse}{pop}ifelse}if end���������ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin H.R end�Eps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (page.19) cvn /DEST pdfmark end����n����>�덍�color push gray 0���I� color pop����n����덍��� �color push gray 0� �FPr���oof.� color pop�����Step�� 1.����Res�����$���N�G�����NH���h�is�injective�on��p�-primary�components.��
38�Let�� �x���2���F�����^��n����(�G�Y��)�,�then���Ind����������G������H�����7�Res�����$��*E��G����*E�H���1^��(�x���)�=��CK�[�G�Y��/�H� ��]�(��mod���_�F�����^��n�+�1��)Y�(�G��))�.��But���Ӎ�- ��CK�[�G�Y��/�H� ��]��=��CK�[�G��/�H� ��]���� ��(�CK�[�G��/�H� ��]�� ��"����(�CK�[�G��/�H� ��]))��=��"����(�CK�[�G��/�H� ��])�=�[�G� ��:��H��]�� (��mod���_�F������1��ff�(�G�Y��))���ԍ�so�� that����� �|��Ind������� ��^�G���� ��^H���� ����Res������ �B��G���� �B�H��� �[J�(�x���)��=�[�G� ��:��H� ��]�x����(��mod���_�F������n�+�1��)Y�(�G�Y��))������which�S�is�S�injective�on��p�-primary�components�since��H����contains�a��p�-Sylow�of��G�Y��.���Thus���Res�����$�� n�G���� nH���u��is�injective�on����p�-primary�� components,�as�needed.����FStep�� 2.���If��x���2����Im���H�(��Res�����$�����G������H����}�)��then��x����is�stable.���W��B�rite�� �x���=����Res�����$��|��G����|�H������(�y�)�.��Then,�since��y��is�a�character�of��G�ٙ�we�have��c����g���8�(�y�)��=��y�� �for�all��g��2���G�ٙ�and:�� �������&�-�Res�������6Y��=��g��:"�H��ڍ��6Y���&�g��:"�H�e+�\�H���MJ��(�c����g���8�(�x���))�������o��=����Res�������|Ο�=��g��D��H��ڍ��|Ο��&�g��D��H�e+�\�H���)ml�(�c����g���R��Res��������G�����H���!]�(�y�))��=���Res�������|Ο�=��g��D��H��ڍ��|Ο��&�g��D��H�e+�\�H����(��Res���������G����������&�g��}��H���AR�c����g���8�(�y�))�=���Res�������|Ο�=��g��D��H��ڍ��|Ο��&�g��D��H�e+�\�H����(��Res���������G����������&�g��}��H������(�y�))�����q������o��=����Res������|��G�����|Ο��&�g��D��H�e+�\�H���)ml�(�x���)��=���Res������|��H��ڍ��|Ο��&�g��D��H�e+�\�H����+�Res������:���G����:��H���A��(�y�)�����Xo�����o��=����Res������|��H��ڍ��|Ο��&�g��D��H�e+�\�H���)ml�(�x���)�������FStep�� 3.���If��x���2��R���^�����G�(�H� ��)�����(�p�)��
���is�stable�then��x��2����Res�����$��|��G����|�H������(�R���^�����G�(�G�Y��)�����(�p�)��m��)�.���First�� observe�that�if��x����is�stable,�then�by�the�double�coset�formula:��������@���Res������PN��G����PN�H����Y#�Ind�������h^��G����h^�H���ow��(�x���)������� �X[=����v��{�X���iƍ���g�t�2�[�H�e+�n�G�D�/�H��]����.�x�Ind�������>@�H��ڍ��>@���&�g��A�m�H�e+�\�H���U��(�x������g�����)��=����v��{�X���iƍ��g�t�2�[�H�e+�n�G�D�/�H��]����.�x�Ind�������>@�H��ڍ��>@���&�g��A�m�H�e+�\�H����V���Res�������fl<��=��g��j4i�H��ڍ��fl<���&�g��j4i�H�e+�\�H�����c����g���8�(�x���)�����
����� �X[=����v��{�X���iƍ���g�t�2�[�H�e+�n�G�D�/�H��]����.�x�Ind�������>@�H��ڍ��>@���&�g��A�m�H�e+�\�H����V���Res������fl<�H��ڍ��fl<���&�g��j4i�H�e+�\�H���}\��(�x���)��=����v��{�X���iƍ��g�t�2�[�H�e+�n�G�D�/�H��]���.�x�CK�[�H� ��/����g���8�H�v��\����H��]�x��.����� e{��Plugging�� �x���=���C1��into�this�equality����,�we�get:�����f���Res������vJ��G����vJ�H���}cg�(�CK�[�G�Y��/�H� ��])��=���Res������|��G����|�H����@=�Ind�������*��G����*�H���1���(�C1�)�=����v��{�X���iƍ��g�t�2�[�H�e+�n�G�D�/�H��]���.�x�CK�[�H��/����g���8�H�v��\����H��]��"���so���that�whenever��x��#�is�stable,��mwe�have���Res�����$��I@�G����I@H������Ind�������*Yw�G����*YwH���1r>�(�x���)��G=���Res�����$�����G������H������(�CK�[�G�Y��/�H� ��])�x���=�[�G�D��:��H��]�x���.�T6Now��,��msay����j�S�yl����p���n�(�G�Y��)�j��G�=����p���^��i���~�,�� and�choose�an�integer��q��so�that��q�[�G� ��:���H� ��]�=��1�� �(��mod���_�p���^��i���)�.��Then����� �T �Res������ � ��G���� � �H���� ��E�Ind������� �
�G���� �
H��� �2��(�qx���)��=��q�[�G� ��:��H� ��]�x���=��x����(��mod���_�p����i���~�)����which�� implies�that��x���2����Res�����$��|��G����|�H������(�R���^�����G�(�G�Y��)�����(�p�)��m��)��whenever��x��2��R���^�����G�(�H� ��)�����(�p�)��
���is�stable.��� �� � � ff����d� ff �Y�� ff �� � � ff�������ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Ips:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Theorem.3.7) cvn /DEST pdfmark end��r��color push gray 0�Corollary�� 3.7.� � color pop�FIf��H�v��,����
k�
msam10�E����G�ٙ�Fis�a�normal�subgr���oup�such�that��H�L6����S��yl����p���n�(�G�Y��)�F,�then��-�� ���R�������G�(�G�Y��)�����(�p�)�����0����4�����O[���4��=������U��Im��%���(��Res���������G������H����}�)��=��R�������(�H� ��)�������G�D�/�H��o���(�p�)�����䍍��� �color push gray 0� �FPr���oof.� color pop������If����H�:��is�normal,��the���stability�condition�becomes��c����g���8�(�x���)�A=��x��,��that���is,��x���is�invariant���by�the�action�of����G�Y��/�H� ��.����N]� � ff����d� ff �Y�� ff �� � � ff���� ��ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Ips:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Theorem.3.8) cvn /DEST pdfmark end�k��color push gray 0�Corollary�� 3.8.� � color pop�FIf��H�L6�:=���S��yl����p���n�(�G�Y��)��Fis�abelian,�then��RK��� �ps�Res������ �&)�G���� �&)H��� ��:���R�������G�(�G�Y��)�����(�p�)�����4�� ������!�R�������(�H� ��)����N�����G���(�H�e+�)�����Fis�� an�isomorphism.���荍��� �color push gray 0� Pr���oof.� color pop������By�U�theor���em���7�ps:SDict begin H.S end����color push gray 03.6� color pop���՛����ps:SDict begin H.R end��՛�|ps:SDict begin [/Color [1 0 0]/H /I/Border [0 0 1]BorderArrayPatch/Subtype /Link/Dest (Theorem.3.6) cvn H.B /ANN pdfmark end,����Res�����$��@��G����@�H�����is�an�U�isomorphism�on�stable�elements�in��R���^�����G�(�H� ��)�����(�p�)��m��.��iMor���eover��B�,���R���^�����(�H��)�U��is��p���^��i���~�-��N�torsion�ԁfor�Ԁsome��i���,��so�that���Res�����$���6�G�����6H���w~�is�in�fact�surjective�on�all�stable�elements�of��R���^�����G�(�H� ��)�.�Obviously�any�stable���element��is�in�particular�invariant�under�the�action�of��N����G��TF�(�H� ��)�,���so�we�only�need�to�show�that�all�elements�of����R���^�����G�(�H� ��)���^��N�����G���(�H�e+�)��5W�ar���e�� stable.��� ��color push gray 0�� ��19����I� color pop����� �R��ps:SDict begin /product where{pop product(Distiller)search{pop pop pop version(.)search{exch pop exch pop(3011)eq{gsave newpath 0 0 moveto closepath clip/Courier findfont 10 scalefont setfont 72 72 moveto(.)show grestore}if}{pop}ifelse}{pop}ifelse}if end���������ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin H.R end�Eps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (page.20) cvn /DEST pdfmark end����n����>�덍�color push gray 0���I� color pop����n������Let��(�g����2���G�N��and�let��C��be�the��'centralizer�of����^��g���`�H��F�\�(�H�zF�in��G�Y��.�ySince��H��is�abelian,�r�H� ��,���П�^��g�� H�H�%*����C�Y��,�and��(�H��and����^��g���`�H��ar���e��
38��p�-Sylows�� of��C�Y��.��Thus�for�some��t���2��C�ٙ�we�� have����^��tg�� ��H�L6�=���H� ��.�Then��38������~?��Res������ ����H��ڍ�� ������&�g�� ����H�e+�\�H��� ����c����tg��`��(�x���)������� �$<=����Res������|��H��ڍ��|Ο��&�g��D��H�e+�\�H���+�c����t��8��c����g���8�(�x���)�����t}����� �$<=���c����t�����)�������z�Res�������0�H��e+��=��t����ፑ�0�(����&�g���-�H�e+�\�H��)����t����<���c����g���8�(�x���)������������B������ �$<�=����Res������|��H��e+��=��t���ڍ��|Ο��&g��D��H�e+�\�H���+�c����g���8�(�x���)���
�since�� �t���2��C���������� �$<�=����Res�������|Ο�=��g��D��H��ڍ��|Ο��&�g��D��H�e+�\�H���+�c����g���8�(�x���)���
�since�� �H�� ����t�����=������g��oP�H�������38����� �Now�� if��x���2��R���^�����G�(�H� ��)���^��N�����G���(�H�e+�)��5W�then��c����tg��`��(�x���)�=��x����thus:��d"��� ��}�Res������� ��3��=��g�� �X`�H��ڍ�� ��3���&�g�� �X`�H�e+�\�H��� �+y�c����g���8�(�x���)��=���Res������|��H��ڍ��|Ο��&�g��D��H�e+�\�H���)ml�(�x��)����and�� �x����is�stable.����#� � ff����d� ff �Y�� ff �� � � ff����7�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Lps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (subsection.3.2) cvn /DEST pdfmark end�,����color push gray 0�B3.2� � color pop�� Examples����ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Qps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (subsubsection.3.2.1) cvn /DEST pdfmark end�
=q���color push gray 0�3.2.1�
� color pop�� Groups�� that�are�saturated��
j��ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Ips:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Theorem.3.9) cvn /DEST pdfmark end� =r��color push gray 0Proposition�� 3.9.� � color pop�FAbelian�gr���oups�ar�e�saturated�over��CC�F.��38����� �color push gray 0� Pr���oof.� color pop������Let�+��G��v�be�an�+�abelian�gr���oup�and�dene������<�b��Zፘ�G����y�:=����Hom��c7�(�G�Y��,����CC���^�����G�)�.���Then�any�gr���oup�homomorphism�(of�abelian���gr���oups)�N����:���G� ��!��H����induces�a�map���:ፑ ��b�����N�����9��:����f�����b��9����H���<C�!�������w�b��Zፓ�G���
r��,�X�which�is�N�injective�if,�and�N�only�if,������is�N�surjective.� 2Additionally����,���ʍther���e�c�is�a�natural�c�isomorphism�between��G��.�and�its�double�dual���p��R��b��␍�����R�b��Zፓ�G����r��given�by�associating�to��g�}.�the�evaluation�in����g���.���Now���if����H�{p���R�G�Y��,���then�the�injection��H�{p�!��R�G���induces�a�map���:ፑkl�b������������:��������b��Zፑ�R�G���
�(�!����f��&��b��9����R�H����e�,���and�also�a�map����2����b��L��:ፑkkb�������������:���>���f��b���I����f��&�b��9����R�H�������!���p����b��␍������b��Zፑ�R�G����
���.�fThe�latter���map�Z�is�injective,��Rwhich�means�by�the�above�that���:ፑ,��b����������!�is�Z�surjective.���Thus�the�characters�of��H����all�come�fr���om���r���estrictions�� of�characters�of��G�Y��,�and��G�ٙ�is�saturated.��� ��i� � ff����d� ff �Y�� ff �� � � ff���� ���ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Jps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Theorem.3.10) cvn /DEST pdfmark end��e��color push gray 0�Proposition�� 3.10.� � color pop�FThe�gr���oup��Q���/�8�����Fis�saturated.������� �color push gray 0� Pr���oof.� color pop������The�c�quaternion�c�gr���oup�contains�one�subgr���oup�isomorphic�to��C���/�2��L��,�ilwhich�is�generated�by�� �1�,�iland�thr���ee���subgr���oups�Ӄisomorphic�to�ӂ�C���_�4��L��,��dwhich�all�Ӄcontain��C���/�2�� P�and�ar�e�ӂall�conjugate,��dgenerated�r���espectively�by��i���,��c�j���and����k��f�.���Since�
all�
these�gr���oups�ar�e�saturated,�0fwe�only�need�to�check�that�the�maximal�saturated�
subgr�oup��H�Q��=����h�k��f�i����0��������O[�����=�����
���C���_�4�����is�� � �-compatible�with��Q���/�8��L��,�which�we�do�manually����.���Recall�� that�����z=@�R�������G�(�Q���/�8��L��)��=�����:⍑V.�CZ�[�x���_�1���,����x���/�2���,��y�]���K�xQ� ff `M � �R�(�2�x�����i���~�,���8�y�,��x���������2��
���i���ff�,��x���_�1��L��x���/�2��>�� ����4�y�)�����ez~�,����R�������(�C���_�4���)��=�����:⍑�K�CZ�[�t�]���K�xQ� ff #ɟ (���}n(�4�t�)������ *��wher���e,�<in�+"particular��B�,�<�y���=��c���/�2��L��()�,�with�+"���the�+!irr���educible�r�epr�esentation�of�+!�Q���/�8��w��of�degr�ee�+!2,�<and��t���=��c���_�1��L��(��)��with�+"�����the���usual�generator�of��R�(�C���_�4��L��)�.�<ZNote���that��i�������G�(�C���_�1���(��))�܍�2�܌� ���^��1���(�Q���/�8���)�=�܌�I����Q��{��8���
-��.�<ZMor���eover��B�,��{the���r�epr�esentation����r�estricts���on�� �C���_�4�����to������+�����^�� �1��
�[�,and�� so��K���� �_�Res����� �� ���Q��{��8������� ���C�����4���� �B��(�y�)��=��c���/�2��L��(�����+������y� �������1�� �X�)��=�� �c���_�1���(��)����2����=�� �t����2���.���Í�ther���efor�e�� �C���_�1��L��(��)���^��2����=����Res��|��(� �Y�z�)�,�and�so��38��}!_�i�������G�(�C���_�1��L��(��)����2���)��=��i�������(��Res�����(�Y�z�))�=��CC�[�Q���/�8��L��/�C���_�4���]�.�Y�ے�2��� ����2���(�Q���/�8���)�.����Thus:����U���i�������G�(�C���_�1��L��(��)����n���e�)��=��i�������(�C���_�1��L��(��)����2�m�+�l��G��)�=��i�������(�C���_�1��L��(��))�i�������(�Y��z���m�����)��2�� ����l��������� ����2�m������for���$��l� ��=��0,���1��38��which�� means�that��C���_�4�����is�� �-compatible�with��Q���/�8��L��,�and�ther���efor�e�� �Q���/�8���is�saturated.���̈́ � ff����d� ff �Y�� ff �� � � ff����
���ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Jps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Theorem.3.11) cvn /DEST pdfmark end�� ��color push gray 0�� ��20����I� color pop����� ��ps:SDict begin /product where{pop product(Distiller)search{pop pop pop version(.)search{exch pop exch pop(3011)eq{gsave newpath 0 0 moveto closepath clip/Courier findfont 10 scalefont setfont 72 72 moveto(.)show grestore}if}{pop}ifelse}{pop}ifelse}if end���������ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin H.R end�Eps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (page.21) cvn /DEST pdfmark end����n����>�덍�color push gray 0���I� color pop����n������color push gray 0�Proposition�� 3.11.� � color pop�FLet��p��Fbe�an�odd�prime,�then�the�dihedral�gr���oup��D����p��hn�Fof�order��2�p��Fis�saturated.��38����� �color push gray 0� Pr���oof.� color pop������Recall�� that��>��� �ַ�R�������G�(�G�Y��)��=�����:⍑
��CZ��������[����x���,����y����]�����K�xQ� ff 1@�� (��(�2�x���,����py�,��x�y�)�����6n:�.���"��Since�0��D����p�����=���C����p�����o��P�C���/�2��}y�and�0��C����p���n�,�@��C���/�2���ar���e�abelian,�@�these�ar�e�0�the�maximal�saturated�subgr���oups�of��D����p���n�.��(The�signatur�e��
38��"��}�of�3��D����p���r���estricts�on��C���/�2���~�to�the�r�epr�esentation�3���,�`�which�generates�3��R�(�C���/�2��L��)�.�4�Thus��C���/�2���~�is�� �-compatible�with��D����p���n�,���and�� we�only�need�to�look�at��C����p���n�.���Since��� �Res��5��(�Y�z�)��=�� �C���_�1��L��(��)���^��2�����the�� same�ar���gument�as�in�the�pr�oof�of�pr�oposition���7�ps:SDict begin H.S end����color push gray 03.10� color pop��� ����ps:SDict begin H.R end�� �}ps:SDict begin [/Color [1 0 0]/H /I/Border [0 0 1]BorderArrayPatch/Subtype /Link/Dest (Theorem.3.10) cvn H.B /ANN pdfmark end�applies.�������wQ� � ff����d� ff �Y�� ff �� � � ff������ Another�� idea�is�to�quantify�the�obstr��uction�to��i������&G�being�a�ring�homomorphism.�����ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Jps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Theorem.3.12) cvn /DEST pdfmark end�aP��color push gray 0�Lemma�� 3.12.� � color pop�FSuppose��H��Fis�normal�in��G�ٙ�Fand��y���2��R�(�H� ��)�� �Fis�stable�by��G�Y��F,�that�is:��38�� �!�y�(�� ��������� �1��r'�)��=��y�(���)����Ffor�� any�����2���H� ��F,������2��G�Y��F.��Then�for�any��x���2��R�(�H� ��)���� �F��i�������G�(�x���)�i�������(�y�)��=��i�������G�(�x�y�)�i�������(�1�)������� �color push gray 0� �FPr���oof.� color pop������If���y��is�stable�by��G���then�the�induced��character��i�������G�(�y�)��is��i�������(�1�)�y���^��0����,���wher���e��the�values�of��y���^��0��v"�ar�e�those�of��y��on��
38��H��and�� 0�on��G�K]�n����H� ��.��In�other�wor���ds�we�have���Res��5��(�y���^��0����)��=��y�.�Thus:����go�i�������G�(�x���)�i�������(�y�)��=��i�������G�(�x��)�i�������(�1�)�y����0����=���i�������(�x���A�Res��y��(�y����0����))�i�������(�1�)�=��i�������(�x��y�)�i�������(�1�)�.�������wQ� � ff����d� ff �Y�� ff �� � � ff���� �ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Qps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (subsubsection.3.2.2) cvn /DEST pdfmark end�0����color push gray 0�3.2.2�
� color pop�� The�� saturated�ring�of��A���_�4���
j��ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Jps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Theorem.3.13) cvn /DEST pdfmark end� =r��color push gray 0�Proposition�� 3.13.� � color pop��ZK��U���R�������G�(�A���_�4��L��)��=�����:⍑���CZ�[�x���,����y�,��z�]���K�xQ� ff RQ�� Gۍ(�3�x���,���2�y�,�2�z�,��y���*�3��>�� ����z���*�2���)��������0����ZF����O[���ZF�=���������:⍒ �x��CZ�[�x���,����y���^��0����,��z�]��f���xQ� ff ��9� Gۍ(�3�x���,���6�y���*�0����,�2�z�,�2�y���*�0����� ����x����*�2��ff�,��x����*�6��X*�+����y���*�0�3����� ��z���*�2��L��)������Ĺ��Fwith�� �x���=���c���_�1��L��(��)�,����y���^��0����=��c���/�2���(��L��)�,����z��=��d���/�3���(������(�1,0�)��w� ���������(�0,1�)���R�)�� �Fwher���e�������(�i�
��,�j�0��)��J��Far�e�r�epr�esentations�of��C���/�2��>������C���/�2��L��F.������� �color push gray 0� Pr���oof.� color pop������The�� gr���oup��A���_�4�����has�the�following��p�-Sylow�str��uctur�e:�����ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Eps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Item.16) cvn /DEST pdfmark end�aP���� �color push gray 0���n!(i)�� color pop��� For��}�p����=��2�,�we��~have��S��yl���/�2��L��(�A���_�4���)����0����������O[������=������l�C���/�2��k���"�C���/�2���,�generated�by��~�(�12�)(�34�)��and��(�13�)(�24�)�.��The�gr���oup��C���/�2��k���"�C���/�2��GJ�is��
38�� normal�� in��A���_�4��L��.����ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Eps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Item.17) cvn /DEST pdfmark end�J0���� �color push gray 0���2(ii)�� color pop��� For�� �p���=��3�,�we�have��S��yl���/�3��L��(�A���_�4���)����0���������O[�����=�����
���C���/�3���,�generated�by�say��(�123�)�;�it�is�self-normalizing.����3�F-primary�� part.���Since��C���/�3�����is�self-normalizing�and�abelian,�the�action�of�its�normalizer�is�trivial.�Thus��h� �a��R�������G�(�A���_�4��L��)�����(�3�)�����0����
�7����O[���
�7�=��������R�������(�C���/�3���)��=�����:⍑�K�CZ�[�t�]���K�xQ� ff #ɟ (���}n(�3�t�)�������t��2�F-primary�p�part.��-�Elements�p�of��A���_�4�����act�on��C���/�2������J��C���/�2�����by�cir���cular�permutations�of�the�thr���ee�nontrivial�elements.���Since�� �C���/�2��>������C���/�2�����is�abelian,�it�is�saturated�so:��bፒ �N �R�������G�(�C���/�2��>������C���/�2��L��)����0���������O[�����=���������:⍑)��CZ�[�t���_�1���,����t���/�2���]����xQ� ff Vnj� �R�(�2�t���_�1���,���2�t���/�2���,��t�������2���D�1����t���/�2��>�� ����t���_�1���t�������2����2����)������� ��color push gray 0�� ���21����I� color pop����� ),��ps:SDict begin /product where{pop product(Distiller)search{pop pop pop version(.)search{exch pop exch pop(3011)eq{gsave newpath 0 0 moveto closepath clip/Courier findfont 10 scalefont setfont 72 72 moveto(.)show grestore}if}{pop}ifelse}{pop}ifelse}if end���������ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin H.R end�Eps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (page.22) cvn /DEST pdfmark end����n����>�덍�color push gray 0���I� color pop����n������the���stable���elements�ar���e�those�invariant�under�cir���cular�permutations�of��t���_�1��L��,����t���/�2���,��t���_�1����+�y;�t���/�2���.�b�Ther���e���ar�e���no�such��
38�elements��>in��=degr���ee��1�.��QFor��n�N����2�,�ۍwe��>have��R���^��n���e�(�C���/�2��Y�����C���/�2��L��)�N�=�N��h�t���^���n�����1����,����t���^���n�����2����,��t����
��n� �1����1�����t���/�2��L��i�,�ۍand��=the��>action�of��A���_�4��
�is�described���by�� the�permutation�matrix:���������g�� �`��0���o�� �`�@������ �`��0��� �`�1��� �`�0���
37��� �`�1��� �`�1��� �`�1������ �`�0��� �`�0��� �`�1�������g�� �`��1���o�� �`�A�����!�ˍ�whose�E�(one-dimensional)�E�invariant�subspace�is��t���^���n�����1����3�+����t���^���n�����2����+����t����
��n� �1����1�����t���/�2��L��.�,Let�E��y���=��t���^���2���D�1�����+��t���_�1��L��t���/�2���+����t���^���2����2������and�E��z���=��t���^���3����1�����+��t���^���2���D�1���L��t���/�2����+��t���^���3��鋍2����,���then����� ���R�������G�(�A���_�4��L��)�����(�2�)�����0����
�7����O[���
�7�=��������R�������(�C���/�2��>������C���/�2���)����A�����4������0����ռ����O[���ռ�=���������:⍑,�+�CZ�[�y�,����z�]��)��xQ� ff C� Gۍ(�2�y�,���2�z�,��y���*�3��>�� ����z���*�2���)�����]���.������Dene�� �y���^��0����=���y���� ��x�����^��2���f�to�obtain�the�pr���esentation���ۍ� ����R�������G�(�A���_�4��L��)��=�����:⍑9�5�CZ�[�x���,����y���^��0����,��z�]���K�xQ� ff ��9� Gۍ(�3�x���,���6�y���*�0����,�2�z�,�2�y���*�0����� ����x����*�2��ff�,��x����*�6��X*�+����y���*�0�3����� ��z���*�2��L��)����� �$��.���ύ�FExplicit�C�generators.���W��e�determine�the�images�of�the�classes��c���_�1��L��(��)�,����c���/�2���(��L��)�C��under�the�natural�map���ff�.��For�this,�O�we���use�� that�the�maps���Res�����and����f�commute.���38���� �color push gray 0�������� color pop��� �The���class����c���_�1��L��(��)��r���estricts�to�the�degr���ee�one�generator��t��of��R���^�����G�(�C���/�3��L��)��and�to��0��on��C���/�2���V��u��C���/�2��L��.���Thus�its��3�-primary���� part�� must�be�equal�to��x����and�its��2�-primary�part�to��0�,�and��[�c���_�1��L��(��)]��=��x���.������ �color push gray 0�������� color pop��� �The�Y
class�Y �c���/�2��L��(��L��)��r���estricts�to�� �t���^��2�����on��C���/�3�����and�to��t���^���2���D�1���~�+�Ͱ�t���_�1��L��t���/�2��}�+�ͱ�t���^���2����2������on��C���/�2����Ͱ�C���/�2��L��,�`�thus�its�Y
�3�-torsion�part�is�� �x�����^��2���p�and���� its�� �2�-primary�part�is��y�,�so��[�c���/�2��L��(��L��)]��=��y���� ��x�����^��2��-~�=���y���^��0����.��9A���� �color push gray 0�������� color pop��� �For�� �z�:��write��i������m_�=����Ind�����S����A�����4����M����C��{��2��� ��C��{��2����* L�,��i����^����J�=����Res�����S��|��A�����4����M��|��C��{��2��� ��C��{��2����*i:�,�and�consider:��Z������ ũf�i��������2�(�z�)������� �c�=���t�����3����1���>��+����t�����2���D�1���L��t���/�2���+��t�����3��鋍2�������G������ �
c�i�������G�i��������2�(�z�)������� �c�=���i�������G�(�t�����3����1���>��+����t�����2���D�1���L��t���/�2���+��t�����3��鋍2���L��)���������� �Si�3�z���=��z������� �c��=���i�������G�(�t�����3����1���>��+����t�����2���D�1���L��t���/�2���+��t�����3��鋍2���L��)�����38�� �and�� note�that��t���_�1��L��(�t���^���2���D�1���>��+����t���_�1���t���/�2���+����t���^���2����2����)��=��t���^���3����1���L��.��Then������� �W=�i�������G�(�t�����3����1���L��)������� �0=���i�������G�(�t���_�1��L��(�t�����2���D�1���>��+����t���_�1���t���/�2���+����t�����2����2����))��=��i�������G�(�t���_�1�������i��������2�(�c���/�2��L��(��L��)))�����38����� �0=���i�������G�(�t���_�1��L��)�c���/�2���(��L��)������� �Now�� �2�t���_�1����=���0��so��2�i�������G�(�t���_�1��L��)�=��0�,�but��R���^��1��L��(�G�Y��)��is��3�-torsion,�thus��i�������G�(�t���_�1���)��=��0�.��This�� means�that��i�������G�(�t���^���3����1����)��=��0�� �and���� ���z���=��i�������G�(�t�����2���D�1���L��t���/�2��>��+����t�����3��鋍2����)���� �a�J(dir���ect�J)computation�then�shows�that��c���/�3��L��(������(�1,0�)����� �<�������(�0,1�)���R�)�=t=��t���^���2���D�1����t���/�2���p�+�<��t���^���3��鋍2����,�|�so�J(that��z�=t�=��i�������G�(������(�1,0�)����� �<�������(�0,1�)���R�)�=��
38�� �d���/�3��L��(������(�1,0�)��w� ���������(�0,1�)���R�)�.�������wQ� � ff����d� ff �Y�� ff �� � � ff���� �ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Qps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (subsubsection.3.2.3) cvn /DEST pdfmark end�0����color push gray 0�3.2.3�
� color pop�� The�� saturated�ring�of��P� S��L�(�2,����p�)���&��Let�D�G�y�=����P� S��L�(�2,����p�)��be�the�Cpr���ojective�special�linear�gr�oup�over�C�CF����p���n�,�&�wher�e��p��is�Can�odd�prime�such�that��p����������3,���5�(��mod���_8�)�.��The�� or���der�of��G�ٙ�is��j�G�Y��j���=������r���K�p�(�p�+�1�)(�p� �1�)���K���� ff .���� ��`��2������� ��color push gray 0�� ���22����I� color pop����� @���ps:SDict begin /product where{pop product(Distiller)search{pop pop pop version(.)search{exch pop exch pop(3011)eq{gsave newpath 0 0 moveto closepath clip/Courier findfont 10 scalefont setfont 72 72 moveto(.)show grestore}if}{pop}ifelse}{pop}ifelse}if end���������ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin H.R end�Eps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (page.23) cvn /DEST pdfmark end����n����>�덍�color push gray 0���I� color pop����n������color push gray 0�Sylow�}rstructure�and�stable�elements.� color pop� �`�For�each�prime��l���dividing�the�or���der�of��G�Y��,���let��H����l���J�=��n�S��yl����l����(�G��)��and��
38��N����l�����=���N����G��TF�(�H����l����)�.��Ther���e�� ar�e��4��possible�cases:��w�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Eps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Item.18) cvn /DEST pdfmark end�wg����color push gray 0��
n#(i)�� � color pop��� �l� ��=���p�.��Then�� �H����p�����0����������O[������=������0�C����p��hn�is�generated�by�the�matrix������������:���
"�1���"1���
37���
"0���"1�����"�������%�D�.�The�normalizer�of��H����p��hn�is�the�gr���oup:��$;]�� ��u�N����p�����=������������
���������:���7��a���&p�b���
37���#9�0���!#9�a���^�� �1������0���������;��2���P� S��L�(�2,����p�)��������xl�,���J�� �with�� action���?���� ��t���������:��� ���a��� ��)b���
37��� ����0��� ����a���^�� �1������ ���������� ��������������:��� ���1������n���
37��� ���0�����1�����]B�������'�(�����������:��� ���a���^�� �1����#
K� �b���
37�����0���'</�a�����0E�������:�W�=�������������:���
c:�1���c:�a���^��2��L��n���
37���
c:�0���\�1�����(Vm�������1�7�,����� �inducing�Ʋ��J�7!�����^��a���=��2���
t]�for�Ʊa�generator����of��R�(�C����p���n�)�.���On��R���^�����G�(�C����p���)����0����J����O[���J�=���������ꚍ� ��DZ�[�x�t�]�� ɟș� ff B��Wۍ��(�px�t�)����� ���,��^this�induces��x�c��7!�J�a���^��2��L��x���.���The�subring��Í� generated�Q�by��x����8]��L��p� �1��L̟DX� M� }h�f䍑>�2������is�stable�Q�by�this�action,��"and�conversely�if��a��is�an�element�of�multiplicative�or���der��Sy�� �(�p�Q� �R�1�)�,��]then��a�monomial��x�����^��m�� ���being�stable�by�the�action��x��s�7!�}��a���^��2��L��x��J�implies�that��m��is�a�multiple�of������r����p� �1������ ff �ɟ� ��`~2��������.���� Thus������� �K��ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Jps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (equation.3.1) cvn /DEST pdfmark end�� �K��R�������G�(�H����p���n�)����N��#��p������0����
?����O[���
?�=���������:⍑���CZ�[�t�]�����xQ� ff #ɟ (���(�pt�)�����,���,����j�t�j���=�����:⍑�K�p���� ��1���K�xQ� ff �� (��� �2�����7^.����Y�(3.1)������ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Eps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Item.19) cvn /DEST pdfmark end�wf����color push gray 0���4(ii)�� � color pop��� �l���is���an���odd�prime�dividing��p��h� ��i�1�.�OeThen��H����l�����0�����*����O[����*�=�����2
�C����l��D���i����/�for�some�integer��i���,��kgenerated�by������������:���
.�n������0���
37���
��0����n�n���^�� �1������*r%�������4�6�for�some���ɍ� �n�g��of�g�or���der��l��Y���^��i�����in��CF���^��������p���؎�.��A�g�straightforwar�d�computation�gives�g�that��N����l�����:=���N�� �\��^��G��#��(�H����l����)��is�generated�by�diagonal��E}�� matrices��U(which��Tcommute�with�the�elements�of��H����l����)�together�with�the�matrix������������:����@�0���!� 1���
37���
�w� �1���!� 0�����&� �������1��which�sends������ an�'Helement��h����2��H����l��/%�to�'Hits�inverse.�qThe�induced�action�on�the�'Ir���epr�esentation�'Hring�is������7!�����^�� �1��
�[�,�Qwhich���� translates�� as��x���7!�� �x����in�the�graded�ring.��Thus��=����� �s�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Jps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (equation.3.2) cvn /DEST pdfmark end�� �s�R�������G�(�H����l����)����N�����l������0����ò����O[���ò�=���������:⍑+�CZ�[�y�]����xQ� ff �j� S�(�l��Y���*�i��'�y�)�����-A,�,����j�y�j���=��2.����Y�(3.2)�����K�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Eps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Item.20) cvn /DEST pdfmark end�ݍ���color push gray 0���E(iii)�� � color pop��� �l�r�=�o�r���is��han��iodd�prime�dividing��p�ho�+��1�.���W��e�pr���ove��hthat��H����r��e��is�cyclic.���Note�that�the��r���-Sylow�of��G��is���� isomorphic�%to�$that�of��G��Y���^��0����:=����P� S��L�(�2,����p���^��2��L��)��since�the�index�of��G�p��in��G��Y���^��0��O��is�coprime�to��r���.��Let������2��CF����
�����C��p����2������have��Ay�� multiplicative��
or���der�� �r�����^��i����.��The�matrix��A���^��0����=�������������:���
c:�����m�0���
37���
�0���������^�� �1������*�������3��generates�a�cyclic�gr���oup��H���^��� ��0�����r����~�of�or�der�� �r�����^��i���!�in��G��Y���^��0��8��,��which���y�� is��%thus�an��$�r���-Sylow�subgr���oup.�ONote�that�������=��/�������2�����<��CF���^��������p���؎�,� �however�any�matrix�of��G�@��similar�to��A��generates�an���� isomorphic��jgr���oup�in��G�Y��.�%�One�can�take�for��kexample��A�l��=���l����������:�����0���$T�� �1���
37����1���������+�����^�� �1������;���������C���,���the�companion�matrix�to�the���[�� minimal�� polynomial�of���.���� The���normalizer��N���^��� �\�0�����r���8&�of��C���^���Y��0�����r��t���i�������in��G��Y���^��0���c�is�a�dihedral�gr���oup�of���or�der��p���^��2��B.� ��a�1�,��3generated�by���all�diagonal�matrices��5'�� together�,Twith�,Sthe�matrix������������:����?�0���""1���
37���
�v� �1���""0�����'"�������1�}�which�sends��A��to�its�inverse.��The�change�of�basis�sending��A��to����� �A���^��0��+H�allows�LAus�to�LBview��N����r����as�a�subgr���oup�of��N���^��� �\�0�����r����c�,�Rand�thus�the�elements�of��N����r���act�LBeither�trivially�or�by���� inversion�� on��H����r���t�.���� It��Ar���emains��Bto�show�that�ther�e��Bexists�a�matrix��S����such�that��S�����^�� �1��
���AS�_�=�E~�A���^�� �1��
�[�.��\Let��a�E}�=����+�����^�� �1��
�[�.��[By��Ba�dir���ect����� calculation,��wone�X`shows�that�any�matrix�of�the�form������������:������ �x���0�Hy���
37���
�ax�]�+����y���0ͼx�����6Rӟ������AGT�in��G�Y�L�(�2,����p�)��satises�this�pr���operty����,���Q�� thus���S�C��2�*)�P� S��L�(�2,����p�)��exists���if�and�only�if�ther���e�is�a�pair��(�x���,����y�)�*)�2��CF���^���2�����p������such��that�� �x�����^��2��k�� ���ax��y�� ��y���^��2��v��=�**�1�.��This��^;�� equation���is���equivalent�to��X��Q��^��2�����+����1��0�=��b�&fY��z��^��2��aG�,��}with����X�$�=��/�x�
��+�����]��'/�a���=��2���'/��։ ff -��� ���o�4������
�y�,��Y���=��0�y��and����b����=�����]��c�a���=��2���c��։ ff -��� ���o�4�����Z=� ����1�.�+�Ther���e�ar�e����(�p����+��1�)/�2���� �squar���es�(�in��CF����p��P�(including��0�),�:Nso�ther�e�ar�e��(�p���+���1�)/�2��elements�of�the�form�(��X��Q��^��2��?��+��1�,�:Nand,�if�(��b��~�6�=���0��then�ther���e���� ar���e�Qalso�R�(�p�)��+��1�)/�2��elements�Rof�the�form��b�&fY��z��^��2��aG�.�ߌThus�whenever��b���6�=��O�0�,�=&the�set�of�elements�of�the�form��� ��color push gray 0�� ��23����I� color pop����� W���ps:SDict begin /product where{pop product(Distiller)search{pop pop pop version(.)search{exch pop exch pop(3011)eq{gsave newpath 0 0 moveto closepath clip/Courier findfont 10 scalefont setfont 72 72 moveto(.)show grestore}if}{pop}ifelse}{pop}ifelse}if end���������ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin H.R end�Eps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (page.24) cvn /DEST pdfmark end����n����>�덍�color push gray 0���I� color pop����n����덑 �X��Q��^��2���+�+�s�1���and�the�set�of��elements�of�the�form��b�&fY��z��^��2��S�have�nontrivial�intersection,��Nand�ther���e�is�a�solution�to��
38�� �x�����^��2��ff�ax��y���+��y���^��2����=���� �1�.�!bNow��,��?�b��M�=��0����if���and�only�if��a���^��2����=����4�,��?that�is,��>�a��=���2�(��mod�����p�)�.�!bBut�then������is�a�solution�of���� �t���^��2��S��� �2�t�
�+��1�,���that��ois,���1t�=�1s����^�� �1��
^��has��pmultiplicative�or���der��2�,�in�contradiction�with�our�assumption.���Thus��b���� �is�� always�nonzer���o,�which�completes�the�pr�oof.���� W��e�� have:������� �~R�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Jps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (equation.3.3) cvn /DEST pdfmark end�� �~R�R�������G�(�H����r���t�)����N��#��r������0����@����O[���@�=���������:⍑3�CZ�[�y�]�����xQ� ff �Ɵ S�(�r�����*�i����y�)�����.���,����j�y�j���=��2.����Y�(3.3)�����\�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Eps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Item.21) cvn /DEST pdfmark end��덍��color push gray 0����(iv)�� � color pop��� �l� ��=���2�.��Since�� �p����3,���5�(�����mod��fO8�)�,�the��2�-Sylow�subgr���oup�of��G�ٙ�has�or�der��4�.��Ther�e�ar�e�two�cases:��38���� �color push gray 0������� � color pop���/ �if�� �p�����5�(�����mod��fO8�)�,�let��a��satisfy��a���^��2����� �1�(��mod���_�p�)�.��Then����� ����H���/�2����=����������
��h���_�1���:=�������������:���
w��a���{��0���
37���
c:0���c:� �a�����&�֟������/ڠ�,����h���/�2���:=�������������:���
c:�0���w��a���
37���
w�a���c:�0�����c:��������%�\������ ����.���"��/ �I�O�claim�O�that�O��N���/�2�����0���������O[�����=�����4��A���_�4��L��.� tFirst,�YDwe�have��C����G��TF�(�h���_�1��L��)����\��N����G���(�H���/�2��L��)��=��f�I� ��d�g�,�YDas�O�a�O�dir���ect�calculation�shows,�and����/ similarly��for��h���/�2��d��and���h���_�1��L��h���/�2��-
�=:��=�h���/�3���.��Ther���efor�e,�=�if���N����2��>�N���/�2���acts�nontrivially�on��H���/�2��L��,�=�it�must�permute�����/ all����3��nontrivial�elements.���If��T���=��� Y���������:���
�{�x���*�� �ax���
37���
�{x���W[ax�����,�E�������4|g�,���with��x�����^��2��o��=�����]��b�1��<���։ ff zx�� �2�a������7�,���then��T� �ph���_�1��L��T����^�� �1���$�=� Y�h���/�2����and����T�h���/�2���T����^�� �1���$�=� Y�h���/�3���.���"��/ Both��w�2��v�and��a��ar���e�nonr�esidues���v�mod���L�p��since��p� ����5�(��mod���8�)��v�and��wif��a��wer���e�a�r�esidue,���then��P� S��L�(�2,����p�)����/ �would��~contain�an�element�of�or���der�4,��contradicting��H���/�2�����0�����@����O[����@�=�����WE�C���/�2��[�����C���/�2��L��.�Thus�ther�e�is�an��x���satisfying����/ �x�����^��2��Z��=��+�1�/�2�a�.�WMor���eover�"��T� �is�unique�up�to�multiplication�by�an�element�of��C����G��TF�(�H���/�2��L��)�=��H���/�2���,�K:which����/ shows�� that��N���/�2����=�����"��h��U�T� �p�,����H���/�2���L͞"��i������0����%}����O[���%}��=�����0���A���_�4��L��.���38���� �color push gray 0������� � color pop���/ �if�� �p�����3�(��mod���_�p�)�,�let��b��f�satisfy��b��&f��^��2��:K�� �2�(��mod���_�p�)�.��Then���� ���H���/�2����=������������
���������:���#9�0���!#9� �1���
37���#91���%P0�����.|˟������7Õ�,��������������:��� V*�b���d3�1���
37��� F�1���F�� �b�����%����������-���������[��/ �Again,��9we�have��N���/�2�����0�����0����O[����0�=�����+%�A���_�4��a�acting�by�cyclic�permutations,�generated�by��H���/�2��a�together�with�the�ma-��P���/ trix�� �T�Ĉ�=�������� ����m �������]��W�1��W��։ ff �͟�ˍ���b�����������]��3��1��3���։ ff �͟�ˍ���b�������
n��
�
� �����]��33�b�/�+�2��33��։ ff
�ʟ� ���2�����������]��.��b�/� �2��.���։ ff
�ʟ� ���2���������=������!���E���.���38�� In�� both�cases�the�normalizer�acts�as�cyclic�permutations�on�the�nontrivial�elements�of��H���/�2��L��,�and�thus:��h� �u;�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Jps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (equation.3.4) cvn /DEST pdfmark end�� �u;�R�������G�(�H���/�2��L��)����N��{��2������0�����:����O[����:�=���������:⍑,���CZ�[�y�,����z�]���xQ� ff C� Gۍ(�2�y�,���2�z�,��y���*�3��>�� ����z���*�2���)�����]��,����j�y�j���=��2,����j�z�j��=��3.����Y�(3.4)������Putting�� all�of�this�together��B�,�we�get:�����ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Jps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Theorem.3.14) cvn /DEST pdfmark end�aP��color push gray 0�Theorem�l�3.14.�� � color pop�FLet��G� ��=���P� S��L�(�2,����p�)��Fbe�the�pr���ojective�special�linear�l�gr�oup�over��CF����p���n�F,�p�wher�e��p��Fis�an�odd�prime�such�that����p�����3,���5�(��mod���_8�)�F.��W���rite:������b7��j�G�Y��j���=��4������p����l����S���i�����1�������1����D!����������l������i��#��n�������n��� ����r���ug����j�����1��� ���1����%5����������r���ug����j��#��m���`?��m���K��,���*��Fwith���'��l����k��6�j�(�p�� ��1�)�,����r����k���j�(�p��+��1�)�.��38��FThen:���䍍�� �َ�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Jps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (equation.3.5) cvn /DEST pdfmark end�� �َ�R�������G�(�G�Y��)����0���������O[�����=���������:⍑��CZ�[�x���_�1��L��,������������,����x����n���e�,��y���_�1���,�������%�y����m���Q�,��z�,��t�,��u�]����xQ� ff ��L�&��Z�(�l����؍��i�����k�����k���q��x����k��6�,����r���ug����j�����k��� ;��k���R��y����k���,�2�z�,�2�t�,��pu�,��z���*�3��>�� ����t���*�2��L��)��������Y�(3.5)����o��Fwith�� �j�x����k��6�j���=��j�y����k���j��=��j�z�j��=��2�F,�� �j�t�j��=��3�F,��j�u�j��=�(�p���� ��1�)/�2�F.��
���ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Gps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (section.4) cvn /DEST pdfmark end�� ��color push gray 0�� ���24����I� color pop����� uI��ps:SDict begin /product where{pop product(Distiller)search{pop pop pop version(.)search{exch pop exch pop(3011)eq{gsave newpath 0 0 moveto closepath clip/Courier findfont 10 scalefont setfont 72 72 moveto(.)show grestore}if}{pop}ifelse}{pop}ifelse}if end���������ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin H.R end�Eps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (page.25) cvn /DEST pdfmark end����n����>�덍�color push gray 0���I� color pop����n����n���color push gray 0�4�ff� color pop����Completed���rings��I��Let����f���D�b��9����N�R���
� �(�G�Y��)��N�be�the�completion��Mof��R�(�G��)��with�r���espect�to�the��I� ���-adic�topology����,��awith��M�I�)C�the�augmentation�ideal.��
38�Since�,�this�topology�coincides�with�the��F���-topology�and�the�� �-topology����,�W�the�generators�of�the�graded�rings����R���^�����G�(�G�Y��)�� �and��R���^�����(�G�Y��)��ar���e�topological�generators�for����f�����b��9����R��� ���(�G��)�.������color push gray 0�FRemark.� b� color pop�The� �r���estriction�and�induction�maps�naturally�extend�to����f��)��b��9����R���D�(�G�Y��)��and�satisfy�the�same�r�estriciton-���cor���estriction�� formulas�as�in�the�not�complete�case.��2K�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Lps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (subsection.4.1) cvn /DEST pdfmark end��ō��color push gray 0�B4.1� � color pop�� �fp�B-groups���&��color push gray 0�Notation.� color pop� �`�Fix�4�a�prime��p��and�assume��G����is�4�a��p�-gr���oup�of�exponent��e���.� �Then�the�characters�of��G��all�have�values���in�b�CZ�[��]�,�hwith����a�primitive��p���^��e���z�-th�r���oot�of�unity����.��W��e�want�to�look�at�the��p�-adic�completion�of��CZ�[��]�.�The��p�-adic���valuation��~on��CZ�[��]��is��well-dened:���any�two�embeddings��CQ�(��)�\'�!�����ĉ ff "�J<��CQ����xI�#��p��15�ar���e�Galois-conjugated��~and�thus�have��TӍthe�c same�cimage,�h�so�we�can�pick�some�primitive��p���^��e���z�-th�r���oot�of�unity�in�����ĉ ff "�J<��CQ����
A�#��p�����and�call�it����again.��Then�the�image���of����CQ�(��)��in���П��ĉ ff "�J<��CQ����
��#��p���/�is��CQ����p���n�(��)�.� Ther���e�is�a���unique�valuation�on��CQ����p���(��)��extending���that�on��CQ����p���,���and�since����CZ�[��]��is�the��
38�ring�*lof�integers�of��CQ�(��)�,�Uther���e�is�a�unique��p�-adic�valuation�on��CZ�[��]��extending�that�on��CZ�.��The�completed���ring�� �CZ����p���n�[��]��is�the�ring�of�integers�of��CQ����p���(��)�.��Let��K����=���CQ����p���[��]�,�and�let��A���=��CZ����p���[��]�.���Back�B~to�Br���epr�esentation�rings:���we�Bconsider�the�evaluation�morphisms��R�(�G�Y��)���!��CZ�[��]�,�N�which�we�see�Bas�having���values�� in��A�.��This�makes��R�(�G�Y��)��into�a�subring�of�the�ring�of�functions��F���(�G��,����A�)�.�����ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Ips:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Theorem.4.1) cvn /DEST pdfmark end�"��color push gray 0�Proposition�� 4.1.� � color pop�FThe�topological�closur���e�of��R�(�G�Y��)��Fin��F���(�G��,����A�)��Fis��R�(�G��)����
��CZ����p���n�F.��������� �color push gray 0� Pr���oof.� color pop������The�Nelements�Oof�a�basis�for��R�(�G�Y��)��(that�is,�:�the�irr���educible�characters�of��G�Y��)�ar���e�still�linearly�indepen-���dent��Nin��O�F���(�G�Y��,����K�5��)�,���thus�they�ar���e�linearly�independent�over��A��and�over��CZ����p���n�.�=�Thus��R�(�G�Y��)���
��CZ����p��ɼ�is�a��Osubring�of����F���(�G�Y��,����A�)�.��In�G�fact,�S#since��CZ����p��0[�is�closed�in��A�,�so�is��R�(�G�Y��)����
����CZ����p��0Z�in��F���(�G��,����A�)�;�Z�thus��R�(�G��)����
��CZ����p��0[�is�G�the�closur���e�of��R�(�G��)����in�� �F���(�G�Y��,����A�)�.������� � ff����d� ff �Y�� ff �� � � ff�����j�� The���evaluation�morphisms������8�:��:�R�(�G�Y��)��!��A����ar���e�continuous�with�r���espect�to�the��I� ���-adic�topology�on��R�(�G�Y��)����and�� the��p�-adic�topology�on��A�,�so�each������can�be�extended�to���:ፑn�^���������j��:����f����b��9�����R��� ���(�G�Y��)���!��A�.��Dene���1�� ����i���:����f����b��9�����R��� ���(�G�Y��)���!�F���(�G��,����A�)����as�� �i���(��)��=�(�g���7!���:ፑ�,�^����������g����
S �(��))�.�����ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Ips:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Theorem.4.2) cvn /DEST pdfmark end�Z��color push gray 0�Proposition�� 4.2.� � color pop�FThe�map��i����Fis�injective.������� �color push gray 0� Pr���oof.� color pop������W��e���want��to�show�that�if���:ፑ���^����������g����
!��(��)���=����0��for�all��g���2����G���then������=��0�,���or�in��other�wor���ds,�if���(�x����n���e�)����n����is�a�sequence��
38�of�characters�in��R�(�G�Y��)��such�that��(�x����n���e�)��conver���ges�and���lim��h�x����n���e�(�g���)���=����0��for�all��g����2����G�Y��,�<�then��x����n����conver���ges�to�the���zer���o�� character��B�.������� �color push gray 0�������� color pop��� �First�� assume��G�ٙ�is�cyclic�of�or���der��q���=��p���^��r��%t�and�� x�a�generator��
��f�of��G�Y��.��Recall�that:���鍒 ���R�(�G�Y��)����0���������O[�����=���������:⍑���CZ�[��]����xQ� ff #G� (��(�������q��'3� ����1�)������ �wher���e�� ��(�
�&f�)��=���,�and�� ���^��M����=��I�� ����^��M�����=�(�1���� ���)���^��M��>��.��Note�that��R�(�G�Y��)��is�also�generated�as�a�ring�by��X��:=������_�1��L��.���� Let�-.�(�x����n���e�)����n���/�2���R�(�G�Y��)���^��DN���be�a�--sequence�of�characters�and�suppose�that��(�x����n���e�(�g���))����n����tends�to�zer���o��p�-adically����,���� for�>�all�>��g�A��2�'��G�Y��.�UDFirst�note�that�since��(�x����n���e�(�1�))��tends�to�zer���o,�n2we�must�have��x����n�� ^�2�'��I���for��n��lar���ge�enough.���� Fix��z�M��2��X�CN��{�and�suppose�that�ther���e�is�an��N����such�that��x����n�����2��X�I�� ����^��M��� �for�all��n��Y>�N� �\�;�37I��\claim�that�for��{�n��lar���ge���� enough,�� �x����n���}�2���I�� ����^��M�&��+�1�����=��X��Q��^��M�&��+�1�����.��Recall�that���:�� ���R�������G�(�G�Y��)����0���������O[�����=���������:⍑��CZ�[���⑉ ff � �o��X���� �]����xQ� ff f^�
m�� ��(�q���⑉ ff � �o�X���� �)������� ��color push gray 0�� ���25����I� color pop����� �0��ps:SDict begin /product where{pop product(Distiller)search{pop pop pop version(.)search{exch pop exch pop(3011)eq{gsave newpath 0 0 moveto closepath clip/Courier findfont 10 scalefont setfont 72 72 moveto(.)show grestore}if}{pop}ifelse}{pop}ifelse}if end���������ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin H.R end�Eps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (page.26) cvn /DEST pdfmark end����n����>�덍�color push gray 0���I� color pop����n����덑 �wher���e��� ��⑉ ff � �o��X���� �denotes�� the�class�of��X����in��R���^�����G�(�G�Y��)�.��In�particular��B�,�we�have�� ���^��M��>��/ ���^��M�&��+�1��+�=���CZ�/�p���^��r���t�CZ�.�W��B�rite:��38��l߭�x����n���}�=������(��U�a���/�n�,0���\�+����a���_�n�,1��
���X�C��+����������]�+��a����n�,�m����X��Q���m����<���)��� �r*�X��Q���M��W��=���a���/�n�,0��
���X��Q���M��
�?�+����f���(�X�Q��)�X�����M�&��+�1����� �for�� some�polynomial��f���.��Then�for�all��g���2���G�Y��,��P���i���v����p���n�(�����g���8�(�x����n���e�))�������min���������n����v����p������������g�����g����R��������1�a���/�n�,0��
���X��Q���M����{��������2M�������L���,����v����p������������g�����g����R��������1�f���(�X�Q��)�X�����M�&��+�1����֟�������C
�������[�����o��� ���.��aa�� �Now��,�W8we�,.know�,-that,�W9for��n��lar���ge�enough�and�for�all��g���2���G�Y��,�W8�v����p���n�(�����g���8�(�x����n���e�))����v����p���(�����g���8�(�X��Q��^��M���{�))�1�+�1��r���,�W9which�,-is��
38�� possible�`only�aif��a���/�n�,0��� ����0��(��mod�����p���^��r���t�)�.��Since�� ���^��M��>��/ ���^��M�&��+�1�����0����Ns����O[���Ns�=�����"���CZ�/�p���^��n���e�CZ�,�D�this�implies�that��x����n�����2��� ���^��M�&��+�1��c��,�D�which���� pr���oves�� the�claim.��38���� �color push gray 0�������� color pop��� �Consider�� the�map:���� ��6� ��:����f����b��9�����R��� ���(�G�Y��)���!������33�M�������f��tOb��9���KY�R���j�(�C��)��38�� �wher���e�ۚthe�ۙdir�ect�sum�ۙis�over�all�cyclic�subgr���oups�of��G�Y��,��and�� ���is�induced�by�r���estriction�of�characters.���� If��k�i���(��)��P=��0��for�some����O�2����f��F�b��9����R���
�(�G�Y��)�,���in�particular��i���(��Res�����$�����G��;����C��� ��(��))�=��O�0��for�all�cyclic�subgr���oups��C�M����G�Y��.�b�Since��i��V�is���� injective�� on�cyclic�gr���oups,�this�implies�that�� �?��(��)��=��0�.���� T��o���see���that�� ����is�injective,��Dlet���;
�2����f��d �b��9����R���
Y��(�G�Y��)����satisfy�� �?��(��)�;=��0�,��Dthat�is,���Res�����$�����G��;����C����@�(��)�;
=��0����for�all�cyclic�subgr���oups���� �C�Y��.�]�A��theor���em���of���Artin�([���7�ps:SDict begin H.S end���color push gray 0Ser77� color pop����f����ps:SDict begin H.R end���f�{ps:SDict begin [/Color [0 1 0]/H /I/Border [0 0 1]BorderArrayPatch/Subtype /Link/Dest (cite.serre) cvn H.B /ANN pdfmark end���f,�F�13.1,�F�Th.�]�30])�states�that�every�rational�character�of��G�E��is�a�linear���� combination�k�with�rational�coecients�of�permutation�characters�k�dened�by�cyclic�subgr���oups�of��G�Y��.���� Thus�� we�can�write:���� ����C1���=�������{�X���
���C�D��G���*~�G�E�( ��
pplr8t�Gcycl.�����&�������C����CQ�[�G�Y��/�C��]�,��X��� �with���each������C�� a�2�7[�CQ�.��uLet��m�7Z�2��CN��such�that��m�7��8�����C�� a�2��CZ��for�all��C�Y��.��uNow��,���for�any�cyclic�subgr���oups��C�����7Z�G��,���� we�� have���Res�����$��5��G��;��5�C������(��)��=��0�,�� and�in�particular������C����������Res�����$���z�G��;���zC������(��)��=��0�.��Thus��38��H(��m���������=��m������C1�������=����
h�{�X���
�����C�D��G���*~�Gcyc.�����$���m����������C����CQ�[�G�Y��/�C��]���������=�������{�X���
���C�D��G���*~�Gcycl.�����&���m����������C���x��Ind��������w�G��;���wC�����(��Res���������G��;����C�������)��=��0��"���� �and���thus����m�T��������=����0��in����f�����b��9������R���
�K�(�G�Y��)�.�<eSince����I� ���-adic�completion�is�exact�(see�[���7�ps:SDict begin H.S end���color push gray 0AM69� color pop���=g����ps:SDict begin H.R end��=g�ps:SDict begin [/Color [0 1 0]/H /I/Border [0 0 1]BorderArrayPatch/Subtype /Link/Dest (cite.atiyah-macdonald) cvn H.B /ANN pdfmark end��=g,�Th.�<d10.12]),�ther���e���is�no���� nontrivial�� torsion�in����f�����b��9����R��� ���(�G�Y��)�,�and�thus�����=��0�.�������wQ� � ff����d� ff �Y�� ff �� � � ff������ Thus����f���4�b��9����>�R��� ���(�G�Y��)��>�can�be�viewed�as��?a�subring�of��F���(�G��,����A�)�.�RSince��R�(�G��)�c=�c�CZ������I� ���,��Mwe��?have����f���4�b��9����R��� ���(�G��)�c=�c�CZ�������f��k��^��9�����I����h�,��Mwith�������f��Z��^��9���I����|�=��.�lim����b��_�n��1��#���I�� ����^��n���Z�/�I�� ����^��n�+�1�����.�_Since�A��I�� ����^��n���/�I�� ����^��n�+�1�����is�nite�A�for�all��n�.���1�,�rLthe�limit����f�����^��9����I����is�A�compact.�_It�contains��I����as�a�dense���subset,�� so�it�is�the�closur���e��I� ���,�that�is,����f�����^��9����I��� Ĉ�=���I����
����CZ����p���n�.��Thus����f�����b��9����R��� ���(�G�Y��)��is�a�subring�of��CZ����p���2�����f��L��^��9����I��� 6L�=���R�(�G�Y��)��
��CZ����p���n�.���In��summary����,� �the�generators�of��R���^�����G�(�G�Y��)���or��R���^�����(�G�Y��)��give�us�generators�of��the�completed�ring����f����b��9����R���
���(�G��)�,� �itself�a���dense���subring���of�the�completion��R�(�G�Y��)�U��
�U��CZ����p��v�of��R�(�G��)��in����F���(�G��,����A�)�.�BbSo�generators�of���the�graded�rings�ar���e���(topological)�� generators�of��R�(�G�Y��)����
��CZ����p���n�.��38��color push gray 0�FRemark.� � color pop�When�� �G�ٙ�is�a��p�-gr���oup,�ther�e�is�no�prime-to-�p��torsion�in��R���^�����G�(�G�Y��)�.��Thus�the�kernel�of�the�map:��h� �߆� ����n���e�(�G�Y��)����
��CZ����p�������� ����q!�����:⍑ �� ���^��n���(�G�Y��)���K�xQ� ff %� e� ���*�n�+�1����(�G�Y��)�����,>\�
��CZ����p�������is�� exactly�� ���^��n�+�1����(�G�Y��)����
��CZ����p���n�.��This�� implies���8�� �zY�R�������G�(�G�Y��)����
��CZ����p�����0����������O[������=������������ ���^��n���e�(�G��)��
��CZ����p���c�3�� ff >�I� e�� ���*�n�+�1����(�G��)��
��CZ����p������S���.���V��Or�in�other�wor���ds,�'�tensoring�with��CZ����p����commutes�with�taking�graded�rings.���This�is�also�tr��ue�for�saturated���rings.�����ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Lps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (subsection.4.2) cvn /DEST pdfmark end�� ��color push gray 0�� ��26����I� color pop����� ����ps:SDict begin /product where{pop product(Distiller)search{pop pop pop version(.)search{exch pop exch pop(3011)eq{gsave newpath 0 0 moveto closepath clip/Courier findfont 10 scalefont setfont 72 72 moveto(.)show grestore}if}{pop}ifelse}{pop}ifelse}if end���������ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin H.R end�Eps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (page.27) cvn /DEST pdfmark end����n����>�덍�color push gray 0���I� color pop����n����Y����color push gray 0�B4.2� � color pop�� General� nite�groups������Let���G�B��be�any�nite�gr���oup,�@and�x�a�prime�� �p�.�T�Let��H����p��q��=����S��yl����p���n�(�G�Y��)���and����f����b��9����R����p�����!�(�G��)���=����f�����b��9������R���
�=�(�G��)���
���CZ����p���n�.�T�The�r���estriction��
38�and�� induction�maps�ar���e�both�continuous,�so�they�extend�to�maps��38��� �ZL�Res�� ���:����f��p�b��9���G�R����p����N8�(�G�Y��)�������f����b��9����R����p�����8�(�H����p���n�)�G:���Ind���
���ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Ips:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Theorem.4.3) cvn /DEST pdfmark end� �D��color push gray 0�Proposition�� 4.3.� � color pop�FThe�map���Res�����:����f����b��9�����R����p�����8�(�G�Y��)������ ���� 6!����f����b��9�����R����p�����(�H����p���n�)�� �Fis�injective.��38����� �color push gray 0� Pr���oof.� color pop������The�� r���estriction-cor�estriction�formula�is�still�valid�on����f�����b��9����R����p����� �(�G�Y��)�:��N���� ����Ind������� �ڈ�G���� �ڈH���� ĝ��Res������ �S��G���� �S�H��#��p���� �&�(�x���)��=��CC�[�G�Y��/�H����p���n�]�x�� ��I�� claim�that��CC�[�G�Y��/�H����p���n�]���2����f����b��9����R����p�����8�(�G��)���^����؎�.��Indeed:����C���CC�[�G�Y��/�H����p���n�]��=��"����(�CC�[�G��/�H����p���n�])���+������� ���8�CC�[�G��/�H����p���n�]�� ��"����(�CC�[�G��/�H����p���n�])��������x���=���"����(�CC�[�G��/�H����p���n�])(�1�� ��u�)����wher���e�� �u��2��I� ���.���Note�that��������� ��}s�"����(�CC�[�G�Y��/�H����p���n�])�,����p��������N�\�=��1�,��@so����"����(�CC�[�G�Y��/�H����p���n�])��is�invertible�in����f�����b��9����R����p����� �(�G��)�.���Mor���eover��B�,��@since����u��2��I� ���,���the�� sum��1����+��u��+��u���^��2��>��+����������A�conver���ges�� and��(�1���� ��u�)�� �is�invertible�with�inverse���� ����(�1���� ��u�)���� �1��
ls�=���1��+��u��+��u����2��>��+��u����3���+�����������.����Thus�� �CC�[�G�Y��/�H����p���n�]���2����f����b��9����R����p�����8�(�G��)���^����؎�.��This�� means�that���Ind����������G������H��#��p�����%��Res�����$��-۟�G����-۟H��#��p����;
�is�injective,�and�thus���Res�����is.���]��� � ff����d� ff �Y�� ff �� � � ff����2��� Note�� that����f�����b��9����R����p����� �(� �)��is�again�a�Mackey�functor��color push cmyk 0 1 0 0�I(check!)� color pop�,�so�that:���������f�� ����b��9��� ����R����p���� ���(�G�Y��)����0���������O[�����=�����
��(����f��(��b��9���R����p���� �(�H����p���n�))����N�����G���(�H��#��p�����)���
���ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Gps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (section.5) cvn /DEST pdfmark end�C����color push gray 0�5�ff� color pop����Saturated���rings�as�T��f�ambara�functors���'�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Lps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (subsection.5.1) cvn /DEST pdfmark end�Ǯ���color push gray 0�B5.1� � color pop�� Representation� rings�and�tensor�induction���&��First�� the�actual�denition�(fr���om�Pierr�e's�notes).���Fix�S�a�gr���oup�S��G����and�a�eld��CK�.��wW��e�view�a��G�Y��-set��X����as�a�category�with�an�object�for�each�point�and�arr���ows���between���objects��x���,����y��for�each��g�O��2�6'�G���such�that��g�!�����x��=�6'�y�.�̓A���vector�bundle�is�dened�as�a�functor�between��X����and��4the��3category�of��CK�-vector�spaces�and�linear�maps.�Y3Let��K����G��TF�(�X�Q��)��be�the�semigr���oup�of�isomorphism�classes���of�� vector�bundles�over��X�Q��,�under�dir���ect�sum.�����ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Ips:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Theorem.5.1) cvn /DEST pdfmark end��e��color push gray 0�Lemma�̌5.1.�3� color pop�FLet��X�w�Fbe�̍a�transitive��G�Y��F-set�with�a�distinguished�point��x�nr�2�T��X�Q��F,�߯and�let��H����=���Stab��_�(�x���)�F.��=Then�ther���e�is�an���isomorphism�� (depending�on��x���F)�between��K����G��TF�(�X�Q��)��Fand�the�semiring�of�r���epr�esentations�� �R�(�H� ��)�F.��38����� �color push gray 0� Pr���oof.� color pop������Let�p�W�1�be�a�r���epr�esentation�pof�o�H����and�consider�the�induced�r���epr�esentaiton�p�V�Y�=����Ind���������G�����H�����=���CK�[�G�Y��]����
��ѷ�DK�����[�H� ��]�W� ���.���Dene��ka��lvector�bundle�on��X��V�as�follows:�@ofor�each��y���2��X�Q��,��Gwrite��k�y��=��g�������x���and�let��(�V����)����y��h~�=��g�������W����=��g��
����W������V����.���This�� depends�only�on��y��and�the�action�of��g����takes��V����x��1��to��V����g�tx���+�,�so�this�is�a�vector�bundle.���Conversely���if��V�'��is���a�vector�bundle�on��X�Q��,��dene��W����=��-�V����x�����.�Z�This�is�a�well-dened��H� ��-module�(since�it�is�stable���by�� �H� ��),�so��W�u��is�a�r���epr�esentation.��Those�� two�constr��uctions�ar���e�mutually�inverse.���t�G� � ff����d� ff �Y�� ff �� � � ff������color push gray 0�FRemark.�Y`� color pop�The�isomorsphism�above�depends�on��x���;�Ichoosing�the�basepoint��y��Y�=��Z�g�=��#k�x���as�a�basepoint�instead,���one�D�obtains�D�the�isomorphic�r���epr�esentation�D�of��g��H� �g����^�� �1��
��which�is�D�given�by�pr���ecomposing�the�action�og��H����on��V����x�����by�� conjugation�with��g���.��38�� W��e�� can�now�dene�our�r���estrictions�and�transfers:����color push gray 0�Denition.� � color pop�Let�� �f���:���X��!��Y��z�be�a�map�of��G�Y��-sets.��Then�we�dene:��� ��color push gray 0�� ��27����I� color pop����� Ì��ps:SDict begin /product where{pop product(Distiller)search{pop pop pop version(.)search{exch pop exch pop(3011)eq{gsave newpath 0 0 moveto closepath clip/Courier findfont 10 scalefont setfont 72 72 moveto(.)show grestore}if}{pop}ifelse}{pop}ifelse}if end���������ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin H.R end�Eps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (page.28) cvn /DEST pdfmark end����n����>�덍�color push gray 0���I� color pop����n����덍�� �color push gray 0�������� color pop��� �The�� �restriction��f�����^�������:���K����G��TF�(�Y�z�)��!��K����G���(�X�Q��)�,�� �f�����^�������(�V����)����x��y�=��V�����f�� ���������(�x�t�)���38���� �color push gray 0�������� color pop��� �The�� �induction��(or�transfer)��f������m_�:���K����G��TF�(�X�Q��)��!��K����G���(�Y�z�)�,�� �f�������G�(�V����)����y��D��=���V�����f�� ���� �1�� X��(�y�)������� �color push gray 0�������� color pop��� �The�� �norm��(or�tensor�induction)��f���:���K����G��TF�(�X�Q��)��!��K����G���(�Y�z�)�,�� �f��]�(�V����)����y��D��=��
�V�����f�� ���� �1�� X��(�y�)���
��ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Ips:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Theorem.5.2) cvn /DEST pdfmark end�'���color push gray 0�Theorem�� 5.2.� � color pop�FThe�function��K����G��TF�(� �)��Fwith�these�thr���ee�maps�is�a�T����ambara�functor��B�.������� �color push gray 0� Pr���oof.� color pop������color push cmyk 0 1 0 0�Icheck!� color pop����p�� � ff����d� ff �Y�� ff �� � � ff������ �In�~�[���7�ps:SDict begin H.S end���color push gray 0T��am93� color pop���
7����ps:SDict begin H.R end��
7�}ps:SDict begin [/Color [0 1 0]/H /I/Border [0 0 1]BorderArrayPatch/Subtype /Link/Dest (cite.tambara) cvn H.B /ANN pdfmark end��
7],�~�T��ambara�gives�~�a�formula�for�the�norm�of�a�sum.�+This�is�part�of�the�pr���oof�that�semi-T��ambara��
38�functors�.�(then�called�.�semi-TNR�.�functors)�ar���e�actual�T��ambara�functors,�?that�is,�the�norm�.�extends�fr���om�semir�-���ings�� to�rings.��Let��f���:���X��!��Y��z�be�� a�map�of��G�Y��-sets.�Let��38�� �u��V�Y�=���f�(�y�,����C�Y��)�j�y��2��Y�z�,��C� ����f������ �1�����(�y�)�g����then�� the�pullback��X�C������Y���9�V���can�be�written�as�the�disjoint�union�of�two�sets:��38����color push gray 0�� ��� � color pop��� �U�S��=���f�(�x���,����C�Y��)�j�x���2��X�Q��,��C� ����f�����^�� �1�����(�y�)�,��x���2��C�Y��g������color push gray 0�� ��� � color pop��� �U�� �͟�^��0��2��=���f�(�x���,����C�Y��)�j�x���2��X�Q��,��C� ����f�����^�� �1�����(�y�)�,��x������q�/�������2������l�C�Y��g�.���Then�� we�have�two�commutative�diagrams�of��G�Y��-sets:���q��������� ��������� ��%�U��������������� �П�m��r������������� ͼ���� ��5D
xyatip10�/��5D
xybtip10�/������ ������2� fd ������������ ��f�z��t������������� ���5�������� �s��5� z fd�������� м��X��������������� ר-����f������������� Ԩ-�ֻ������� �t��ք R fd�������� ��ɟ%Z�V��������������� �͟)L�s������������� �4��"�Z�/�/������ ���"Ҍ� fd ���������� �4��%Z�Y����������������� ���������� ���U�� �͟�^��0��������������������m��r��t��=��0����������������G��� �/�/�������G���2� fd ����������� ��E�j]�t���=��0��������������� ����������� ��ϟ�� �F fd��������!�G�X���������������(�˟
��f�������������%�˟����������%N����� � fd�������� �+�%�&�V���������������6��)���s���������������#-&�/�/��������#`X� fd z��������"��%�&�Y�����������?�(��wher���e�� �r���,����r����^��0�����,��s�� �ar���e�the�pr�ojections�and��t���:��U�S��!��V���sends�� �(�x���,����C�Y��)��to��(�f���(�x��)�,����C�Y��)��(similarly�for��t���^��0����).�����ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Ips:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Theorem.5.3) cvn /DEST pdfmark end�aP��color push gray 0�Proposition�� 5.3��([���7�ps:SDict begin H.S end���color push gray 0T��am93� color pop���
7����ps:SDict begin H.R end��
7�}ps:SDict begin [/Color [0 1 0]/H /I/Border [0 0 1]BorderArrayPatch/Subtype /Link/Dest (cite.tambara) cvn H.B /ANN pdfmark end��
7,�Pr���op.��4.1])�.� � color pop�FLet��X����Fand��Y��z�Fbe��G�Y��F-sets�and��S����Fa�semi-TNR�functor��B�.�Let��a�,����b��~�2���S���(�X�Q��)�F.��P����� �Ċ�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Jps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (equation.5.1) cvn /DEST pdfmark end�� �Ċ�f����]��©�(�a����+��b�&f�)��=��s��������P�������@�t����]���r�����������(�a�)������t�����0��!���]����r������0����(�b�&f�)�����������Y�(5.1)����z��� W��e���now���apply�this�formula�to�r���epr�esentation���rings�and�the�norm�map��N���^������G����H������,���for��H���a�normal�subgr���oup�of��
38��G���of���prime�index.��VW��e�have��X�f��=���G�Y��/�H� ��,��d�Y�)0�=��G��/�G�nO�=��fg����and��f�Ã�is�the�constant�map.��VMor���eover��B�,��d�V�;��is�just�the���set��xof�subsets��yof��G�Y��/�H� ��.�� Let��O�G��(�V����)��be�a�complete�set�of�r���epr�esentatives��xfor�the��G�Y��-orbits�in��V����,�Vand�pick�a�set����S��;��G����of��coset�r���epr�esentatives��of���G�Y��/�H� ��.���Then,���for�a�r���epr�esentation�����of��H�(:�and�a�subset��C�a��=��f�g���_�1��L��,������������,����g�����i���~�g��of����G�Y��/�H��with�� �g�����j��د�2��S� ��,�write������ �������
�C�����=�������g�����1���
��
��������g��{��2����
���������]
������g�����i����38��wher���e�� ����^��g��(8�is�the�conjugate�of����by��g���.��Note�that�this�is�still�a�r�epr�esentation�of��H� ��.���ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Ips:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Theorem.5.4) cvn /DEST pdfmark end�aP��color push gray 0�Proposition�� 5.4.� � color pop�FLet��H��Fbe�a�subgr���oup�of��G�ٙ�Fand�let�����,�����L��Fbe�r�epr�esentations�of��H� ��F.��A>���� �l��ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Jps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (equation.5.2) cvn /DEST pdfmark end�� �l��N��������G����H������(��]�+����� ���)��=����=M�{�X���iƍ��C�D�2O�6z�(�V�1u�)����"[��Ind�������1�b�G��G鍍�1�b�Stab��@ ��C�����G�q������M���������
�C��
@.������
�(�X�>B�n�C�D�)����S����������Y�(5.2)����!7~��FThis�� formula�does�not�depend�on�the�set�of�orbit�r���epr�esentatives�� �O�G��(�V����)�F.��38����� �color push gray 0� Pr���oof.� color pop������W��e�� apply�T�ambara's�formula:��P��� ����N��������G����H������(��]�+����� ���)��=��s��������P�������@�t����]��©�r�����������(����)����t�����0��!���]����r������0����(�� ���)���������� ��color push gray 0�� ���28����I� color pop����� ����ps:SDict begin /product where{pop product(Distiller)search{pop pop pop version(.)search{exch pop exch pop(3011)eq{gsave newpath 0 0 moveto closepath clip/Courier findfont 10 scalefont setfont 72 72 moveto(.)show grestore}if}{pop}ifelse}{pop}ifelse}if end���������ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin H.R end�Eps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (page.29) cvn /DEST pdfmark end����n����>�덍�color push gray 0���I� color pop����n������The��map��r�)p�sends�a�pair��(�x���,����C�Y��)��to��x��,�3�thus��r����^�������(����)�����(�x�t�,�C�D�)��=(�=��v(���)����x���i�=������^��x��ˌ�.��Similarly���r�����^��0����(�� ���)�����(�x�t�,�C�D�)��='�=������^��x��~��.��Now��for�any��
38��C� ��2���V�Y�=��P� ٙ�(�X�Q��)�,������ �f؟��� �� �;L�t����]��©�r�����������(����)��������� Â֟�C�� ���=����U���33�O����d����x�t�2�C���h��r�����������(����)�����(�x�t�,�C�D�)��2��=����U���33�O����d����x�t�2�C���������x�������and���� �������Q�t���^���0��!���]���©�r�����^��0����(�� ���)���������/�i����C��8���=����� �N���
�aG�x����� ��/�����t�2������W�C��(���� �̟�^��x��~��.��Let��\�� �W�������x����C�����=��������(�����z����������^��x���������if���(qK�x���2���C���������� �̟�^��x���������if���(qK�x������q�/�������2������l�C��������then����1������ ,��t����]��©�r�����^�������(����)������t���^���0��!���]����r�����^��0����(�� ���)���������U�����C��_NW�=���B�� �N���
�A�aG�x�t�2�X�������^���x����C�����.�v*Let��1�����C�� lI�=���B�� �N���
�A�aG�x�t�2�X������^���x����C����,�<then��1���0�is�a�r���epr�esentation�of���1�Stab���_�C�Y��,�=and������g�t��C���l�=����(�����C����)���^��g���8�,�� the�conjugate�r���epr�esentation.��P������9p��s��������P�������@�t����]��©�r�����������(����)������t�����0��!���]����r������0����(�� ���)���������Y>͟���y�������� �%�=����
�g��33�M���P-����C�D�2P� �`�(�X�>B�)���"������C����=����
�9��33�M���P-����C�D�2O�6z�(�V�1u�)�����"[����� �����0@'��33M����d��*���D�0��2�G�D��C���E� ���о�D���Ԯ����!�������'�i����� �%�=����
�9��33�M���P-����C�D�2O�6z�(�V�1u�)�������g��"[��0���o��"[�@������8q���33M������+[��g�t�2�G�D�/��Stab��x`�C���Sa
�(�����g�t�.�C��ܥ�)����g��1���o�A����x�B�=����
�9��33�M���P-����C�D�2O�6z�(�V�1u�)�������g��"[��0���o��"[�@������8q���33M������+[��g�t�2�G�D�/��Stab��x`�C���Sa
�(�����C����)����g�����g���8�1���o���8A���������&����� �%�=����=M�{�X���iƍ���C�D�2O�6z�(�V�1u�)����"[��Ind�������1�b�G��G鍍�1�b�Stab��@ ��C�����G�q������M���������
�C��
@.��� �̟��
�(�X�>B�n�C�D�)����S�����������!7~�� �As��pr���omised,�F�this��formula�does�not�depend�on�the�set�of�orbit�r���epr�esentatives���O�G��(�V����)�:�W3picking�another���r���epr�esentative��zboils�down�to�conjugating�������^��
�C��
@.��� �̟�^��
�(�X�>B�n�C�D�)�� g��by�some�element��g�{G�2�a��G�Y��,��Ywhich�does�not�change�the���induced�� r���epr�esentation.���e�?� � ff����d� ff �Y�� ff �� � � ff����
���ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Ips:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Theorem.5.5) cvn /DEST pdfmark end�
aP��color push gray 0�Corollary�� 5.5.� � color pop�FLet��H��Fbe�a�normal�subgr���oup�of��G�ٙ�Fof�prime�index��p��Fand�let��a�,����b��~�2���R�(�H� ��)�F.��Then��38��h&Z�N��������G����H������(�a����+��b�&f�)��=��N��������G����H����(�a�)���+��N��������G����H����(�b�&f�)�+����g��{�X���iƍ��C�D�2O�6z�(�V�1u�)����!�F�Ind�������0��G����0�H���7���(�a����
�C��&��b�����
�(�X�>B�n�C�D�)�����)�.�� T��FMor���eover:��q捒 ����N��������G����H������(� �a�)��=�������(�����z����� N���^������G����H����(�a�)���+���Ind�������>��G����>�H���WS�(�a���^��2��L��)�����rZ�Fif���zim�p��=��2��������� N���^������G����H����(�a�)�����rZ�Fotherwise���������/����� �color push gray 0� Pr���oof.� color pop������This��is�seen�by�applying�the�addition�formula�to��a��and�� �a��and�noticing�that,��Hin�the�odd�prime�case,���the�� middle�terms�cancel.���bw�� � ff����d� ff �Y�� ff �� � � ff����7�ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Lps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (subsection.5.2) cvn /DEST pdfmark end�,����color push gray 0�B5.2� � color pop�� Steenrod� operations����ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Ips:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Theorem.5.6) cvn /DEST pdfmark end��{��color push gray 0�Theorem�� 5.6.� � color pop�FLet��p��Fbe�a�prime,�and�let�����2��R�(�G�Y��)���^��+�� X��Fbe�� an�actual�r���epr�esentation�� of��G��F.��Then�� Í�G�<�N����ҍ����G�D��C��#��p��� ��G���9N�(��)��=�����(��U� ���_�1��L��(��)����p����n���)���*� �
����C1��+�������p� �1��ꍍ���{�X���
�����<�i�
��=�1������*5��������:⍑!U�p��
�F���Wi���+��1����.����������7Q���������:⍑@���1��@!7�xQ� ff �Ɵ (���p�����G!0 ���_�1��L��(��)����p���2� �����:⍑�Z�1��$��xQ� ff �Ɵ (���p�����
$� ����p���n�(��)�������� ����
��(����� ��1�)����i������Fwher���e�� ��L��Fis�a�choice�of�generator�for��R�(�C����p���n�)��Fand�the�� ����k���6�Far�e�the�Adams�operations.�����ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin 13.20007 H.A end�Ips:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (Theorem.5.7) cvn /DEST pdfmark end� �D��color push gray 0�Lemma�� 5.7.� � color pop�FW���ith�notation�as�above��nX��?
>�N����ҍ����G�D��C��#��p��� ��G���9N�(��)��=�������������:⍑���1���m�xQ� ff �Ɵ (���p������f ���_�1��L��(��)����p���2�+�����:⍑$��p���� ��1��$��xQ� ff �� (������p�����b
����p���n�(��)��������x�E�
����C1��+�������p� �1��ꍍ���{�X���
�����<�i�
��=�1�����*5����������:⍑_��1�����xQ� ff �Ɵ (���p�����!�� ���_�1��L��(��)����p���2� �����:⍑�Z�1��$��xQ� ff �Ɵ (���p�����
$� ����p���n�(��)��������v�H�
���� �̟��i���J�.��� ��color push gray 0�� ���29����I� color pop����� ���ps:SDict begin /product where{pop product(Distiller)search{pop pop pop version(.)search{exch pop exch pop(3011)eq{gsave newpath 0 0 moveto closepath clip/Courier findfont 10 scalefont setfont 72 72 moveto(.)show grestore}if}{pop}ifelse}{pop}ifelse}if end���������ps:SDict begin H.S end�ps:SDict begin H.R end�Eps:SDict begin [/View [/XYZ H.V]/Dest (page.30) cvn /DEST pdfmark end����n����>�덍�color push gray 0���I� color pop����n����덍��� �color push gray 0� �FPr���oof.� color pop������Note�� that���ۍ� �q��R�(�G�K]�����C����p���n�)����0���������O[�����=�����
���R�(�G�Y��)��
��R�(�C����p���)����0���������O[�����=����������
���p� �1���Q���Aڟ�33�M�������:�i�
��=�0��� 3�R�(�G�Y��)��
���� �̟��i���J�.�����Recall���that����N���^������G����H������(��)(�g������
�&f�)��acts�diagonally�as���(�g���)�,��<with�a�cyclic�permutation�corr���esponding�to��
�&f�.�p�Fix��g�`�2����G���"��and��hlet��B�t�=���f�e�����i���~�g�����i�
��2�I��
�[�be�a�basis�of�eigenvectors�for���(�g���)�,� with���(�g��)�c����e�����i�����=��������i���~�e�����i���.��fLet��h�B��O\��^��
�p��Wp�=�������n�� �
�e�����i�����1���1��
�����������]
����e�����i��#��p������j�e�����j��د�2�B��O\����o���inm�,�����a�Ыbasis�Ьfor��V�����^��
�p�����.��Pick�a�generator��
���of��C����p���n�,�$�then��
��acts�Ьon��V�����^��
�p�����by�cyclic�permutation�of�the�factors;�y as��
38�such����V�����^��
�p�����can���be�decomposed�into�isotypical�components,�0Son�which��
� B�acts�as�multiplication�by��!��?���^��k��4�for����k�� �=����0,������������,����p��� ��1�,��kwith��#�!��!�a��"primitive��p�-th�r���oot�of�unity����.�d�Let��E����k���X�be�the�subspace�on�which��
����is�multiplication��iby�� �!��?���^��k��Z5�.��Then��N����ҍ����G�D��C��#��p��� ��G���9N�(��)��=���� �L��
�(�����
���������]
���)�j��о�E�����k���
���
���� �̟�^��k����,�� and�� ������� �T��E���/�0�������� ���=��������*��������G�p� �1��ꍍ�>�{�X���
����
T��i�
��=�0������ ���(�
�&f�)����i���B�����u��� ��� ��� ��� ����� ����� ����� ����KA��u���2�B��O\���
�p����X����+�������"�퍍��� ��E�E����k�������� ���=��������*��������G�p� �1��ꍍ�>�{�X���
����
T��i�
��=�0�����!��?���� �i�
�k��
A�� ���(�
�&f�)����i���B�����u��� ��� ��� ��� ����� ����� ����� ����_��u���2�B��O\���
�p����X����+������� ����Let�� �u���=��e�����i�����1���1��
�����������]
����e�����i��#��p��� ���2�B��O\��^��
�p��X�and��w����=��� ��P��]>�� ���(�
�&f�)���^��i���B�����u��2��E���/�0��L��.��Then���(�g���)������w����=��������i�����1������������V������i��#��p������w���,�thus��"