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Production de diagrammes conformes de l'extension analytique de la solution de Reissner-Nordström.

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Image: ubuntu2204
Kernel: SageMath 10.1
%display latex Parallelism().set(nproc=8)

This notebook was written under the supervision of Éric Gourgoulhon (LUTH) as part of my physics internship in July 2023.

Author : Nicolas Seroux

Structure conforme de la solution de Reissner-Nordström

Définition de la variété d'espace-temps et de la métrique de Reissner-Nordstrom

Espace-temps et atlas

M = Manifold(4, 'M', latex_name = r'\mathscr{M}', structure = 'Lorentzian')

On choisit de paramétrer la famille de solutions de Reissner-Nordström par les valeurs rr_- et r+r_+ des rayons des horizons. Afin de simplifier les expressions symboliques et la génération d'images, on pose arbitrairement r=12r_-=\frac{1}{2} et r+=1r_+=1.

rp = 1 rm =1/2 m = (rp+rm)/2 Q = sqrt(rp*rm)

On munit M\mathscr{M} de coordonnées de type Eddington-Finkelstein entrantes (v,r,θ,φ)(v,r,\theta,\varphi) et sortantes (u,r,θ,φ)(u,r,\theta,\varphi) sur deux domaines non-disjoints RIEF\mathcal{R}_\mathrm{IEF} (ingoing Eddington-Finkelstein) et ROEF\mathcal{R}_\mathrm{OEF} (outgoing Eddington-Finkelstein) :

regIEF = M.open_subset('R_{IEF}', r'\mathcal{R}_{\mathrm{IEF}}') regOEF = M.open_subset('R_{OEF}', r'\mathcal{R}_{\mathrm{OEF}}') M.declare_union(regIEF, regOEF)
X_IEF.<v,r,th,ph> = regIEF.chart(r'v r:(0,+oo) th:(0,pi):\theta ph:(0,2*pi):\varphi:periodic') F_IEF=X_IEF.frame()
X_OEF.<u,r,th,ph> = regOEF.chart(r'u r:(0,+oo) th:(0,pi):\theta ph:(0,2*pi):\varphi:periodic') F_OEF=X_OEF.frame()

On définit par ailleurs les régions RCauchy\mathcal{R}_\mathrm{Cauchy} et RBH\mathcal{R}_\mathrm{BH} qui correspondent respectivement au développement de Cauchy des régions asymptotiquement plates Ia\mathrm{I}a et Ib\mathrm{I}b, i.e. la région rrr\geq r_-, et à la région de trou noir, i.e. rr+r\leq r_+. Ces régions sont définies sur un diagramme conforme d'après le schéma suivant :

Aux frontières près, on a alors :

RIEF=RIaRIIaRIIIa,ROEF=RIbRIIaRIIIc,RCauchy=RIbRIIaRIa,RBH=RIIIaRIIaRIIIc.\mathcal{R}_{\mathrm{IEF}}=\mathcal{R}_{\mathrm{Ia}}\cup\mathcal{R}_{\mathrm{II}a}\cup\mathcal{R}_{\mathrm{III}a},\qquad\mathcal{R}_{\mathrm{OEF}}=\mathcal{R}_{\mathrm{Ib}}\cup\mathcal{R}_{\mathrm{II}a}\cup\mathcal{R}_{\mathrm{III}c},\qquad\mathcal{R}_{\mathrm{Cauchy}}=\mathcal{R}_{\mathrm{Ib}}\cup\mathcal{R}_{\mathrm{II}a}\cup\mathcal{R}_{\mathrm{I}a},\qquad\mathcal{R}_{\mathrm{BH}}=\mathcal{R}_{\mathrm{IIIa}}\cup\mathcal{R}_{\mathrm{II}a}\cup\mathcal{R}_{\mathrm{III}c}.
regIIa = regIEF.intersection(regOEF, name='R_{IIa}', latex_name=r'\mathcal{R}_{\mathrm{IIa}}') #Parties de regIEF : regCauchyIEF = regIEF.open_subset('R_{CauchyIEF}', coord_def={X_IEF : r>rm}) X_CauchyIEF = X_IEF.restrict(regCauchyIEF) regBHIEF = regIEF.open_subset('R_{BHIEF}', coord_def={X_IEF : r<rp}) X_BHIEF = X_IEF.restrict(regBHIEF) regIa = regCauchyIEF.open_subset('R_{Ia}', r'\mathcal{R}_{\mathrm{Ia}}', coord_def={X_CauchyIEF:r>rp}) regIIIa = regBHIEF.open_subset('R_{IIIa}', r'\mathcal{R}_{\mathrm{IIIa}}',coord_def={X_BHIEF:r<rm}) #Parties de regOEF regCauchyOEF = regOEF.open_subset('R_{CauchyOEF}', coord_def={X_OEF:r>rm}) X_CauchyOEF = X_OEF.restrict(regCauchyOEF) regBHOEF = regOEF.open_subset('R_{BHOEF}', coord_def={X_OEF : r<rp}) X_BHOEF = X_OEF.restrict(regBHOEF) regIb = regCauchyOEF.open_subset('R_{Ib}', r'\mathcal{R}_{\mathrm{Ib}}', coord_def={X_CauchyOEF: r>rp}) regIIIc = regBHOEF.open_subset('R_{IIIc}', r'\mathcal{R}_{\mathrm{IIIc}}', coord_def={X_BHOEF: r<rm}) regCauchy = regCauchyIEF.union(regCauchyOEF, name='R_{Cauchy}', latex_name=r'\mathcal{R}_\mathrm{Cauchy}') regBH = regBHIEF.union(regBHOEF, name='R_{BH}', latex_name=r'\mathcal{R}_\mathrm{BH}')

On introduit une coordonnée de type Regge-Wheeler rr_* définie par :

r=r+r+2r+rlogrr+r2r+rlogrrr_*=r+\frac{r_+^2}{r_+-r_-}\log|r-r_+|-\frac{r_-^2}{r_+-r_-}\log|r-r_-|
rstar(r) = r+(rp^2/(rp-rm))*log(abs(r-rp))-(rm^2/(rp-rm))*log(abs(r-rm))

Cette fonction permet d'exprimer le changement de carte entre les coordonnées de RIEF\mathcal{R}_\mathrm{IEF} et celles de ROEF\mathcal{R}_{\mathrm{OEF}}.

trans_IEF_to_OEF = X_IEF.transition_map(X_OEF, [v-2*rstar(r), r, th, ph], restrictions1 = (rm<r, r<rp),restrictions2=(rm<r,r<rp)) trans_OEF_to_IEF=trans_IEF_to_OEF.inverse()

Métrique de Reissner-Nordström

En terme de r±r_\pm, la métrique de Reissner-Nordström s'écrit dans les coordonnées d'Eddington-Finkelstein entrantes :

g=(1r++rr+r+rr2)dv2+2dvdr+r2dθ2+r2sin2θdφ2g=-\left(1-\frac{r_++r_-}{r}+\frac{r_+r_-}{r^2}\right)\mathrm{d}v^2+2\,\mathrm{d}v\mathrm{d}r+r^2\mathrm{d}\theta^2+r^2\sin^2\theta\,\mathrm{d}\varphi^2
g=M.metric() g[0,1]=1 g[0,0]=-1+2*m/r-Q^2/r^2 g[2,2]=r^2 g[3,3]=r^2*sin(th)^2 g[F_OEF,0,0,X_OEF]=-1+2*m/r-Q^2/r^2 g[F_OEF,0,1,X_OEF]=-1 g[F_OEF,2,2,X_OEF]=r^2 g[F_OEF,3,3,X_OEF]=r^2*sin(th)^2 g.display()

g=(32r12r21)dvdv+dvdr+drdv+r2dθdθ+r2sin(θ)2dφdφ\displaystyle g = \left( \frac{3}{2 \, r} - \frac{1}{2 \, r^{2}} - 1 \right) \mathrm{d} v\otimes \mathrm{d} v +\mathrm{d} v\otimes \mathrm{d} r +\mathrm{d} r\otimes \mathrm{d} v + r^{2} \mathrm{d} {\theta}\otimes \mathrm{d} {\theta} + r^{2} \sin\left({\theta}\right)^{2} \mathrm{d} {\varphi}\otimes \mathrm{d} {\varphi}

Diagrammes conformes

On introduit un petit paramètre ε\varepsilon lié à la précision numérique de nos dessins, ainsi que des coefficients α±\alpha_\pm définis par

α±=r+rm2r±2,\alpha_\pm=\frac{r_+-r_m}{2r_\pm^2},

et qui interviennent dans l'expression des projections nécessaires à la réalisation du diagramme conforme.

alphp = (rp-rm)/(2*rp^2) alphm = (rp-rm)/(2*rm^2) eps = 0.000000001

Un diagramme conforme consiste en une projection de l'espace-temps dans un plan euclidien E2\mathbb{E}^2, que nous définissons avec deux systèmes de coordonnées (T,X)(T,X) et (U,V)(U,V) reliés par une rotation d'angle π4\frac{\pi}{4}.

E2_X.<X,T> = EuclideanSpace() X_2.<X,T> = E2_X.cartesian_coordinates() E2_U.<U, V> = EuclideanSpace() U_2.<U,V> = E2_U.cartesian_coordinates() trans_X_to_U = E2_X.diffeomorphism(E2_U, {(X_2, U_2) : [T-X,T+X]}) trans_U_to_X = trans_X_to_U.inverse()

La projection dans E2\mathbb{E}^2 est définie séparément sur RCauchy\mathcal{R}_\mathrm{Cauchy} et sur RBH\mathcal{R}_\mathrm{BH} pour régulariser les horizons r=r+r=r_+ et r=rr=r_- respectivement :

Cauchy_to_E2_U = regCauchy.diff_map(E2_U, { (X_CauchyIEF, U_2): [sign(rp-r)*arctan(exp(-alphp*(v-2*rstar(r)))/alphp), arctan(exp(alphp*v)/alphp)], (X_CauchyOEF, U_2): [arctan(exp(-alphp*u)/alphp), sign(rp-r)*arctan(exp(alphp*(u+2*rstar(r)))/alphp)] }) Cauchy_to_E2_X = trans_U_to_X*Cauchy_to_E2_U Cauchy_to_E2_U.display()

RCauchyE2on RCauchyIEF:(v,r,θ,φ)(U,V)=(arctan(4e(12r14v14log(r12)+log(r1)))sgn(r+1),arctan(4e(14v)))on RCauchyOEF:(u,r,θ,φ)(U,V)=(arctan(4e(14u)),arctan(4e(12r+14u14log(r12)+log(r1)))sgn(r+1))\displaystyle \begin{array}{llcl} & \mathcal{R}_\mathrm{Cauchy} & \longrightarrow & \mathbb{E}^{2} \\ \text{on}\ R_{CauchyIEF} : & \left(v, r, {\theta}, {\varphi}\right) & \longmapsto & \left(U, V\right) = \left(\arctan\left(4 \, e^{\left(\frac{1}{2} \, r - \frac{1}{4} \, v - \frac{1}{4} \, \log\left({\left| r - \frac{1}{2} \right|}\right) + \log\left({\left| r - 1 \right|}\right)\right)}\right) \mathrm{sgn}\left(-r + 1\right), \arctan\left(4 \, e^{\left(\frac{1}{4} \, v\right)}\right)\right) \\ \text{on}\ R_{CauchyOEF} : & \left(u, r, {\theta}, {\varphi}\right) & \longmapsto & \left(U, V\right) = \left(\arctan\left(4 \, e^{\left(-\frac{1}{4} \, u\right)}\right), \arctan\left(4 \, e^{\left(\frac{1}{2} \, r + \frac{1}{4} \, u - \frac{1}{4} \, \log\left({\left| r - \frac{1}{2} \right|}\right) + \log\left({\left| r - 1 \right|}\right)\right)}\right) \mathrm{sgn}\left(-r + 1\right)\right) \end{array}

BH_to_E2_U = regBH.diff_map(E2_U, { (X_BHIEF, U_2): [sign(rm-r)*arctan(exp(alphm*(v-2*rstar(r)))/alphm)+pi/2, pi/2-arctan(exp(-alphm*v)/alphm)], (X_BHOEF, U_2): [-arctan(exp(alphm*u)/alphm)+pi/2, pi/2+sign(rm-r)*arctan(exp(-alphm*(u+2*rstar(r)))/alphm)] }) BH_to_E2_X = trans_U_to_X*BH_to_E2_U BH_to_E2_X.display()

RBHE2on RBHIEF:(v,r,θ,φ)(X,T)=(12arctan(2r1e(2r+v)2(r44r3+6r24r+1))sgn(2r1)12arctan(e(v)),12π12arctan(2r1e(2r+v)2(r44r3+6r24r+1))sgn(2r1)12arctan(e(v)))on RBHOEF:(u,r,θ,φ)(X,T)=(12arctan(2r1e(2ru)2(r44r3+6r24r+1))sgn(2r1)+12arctan(eu),12π12arctan(2r1e(2ru)2(r44r3+6r24r+1))sgn(2r1)12arctan(eu))\displaystyle \begin{array}{llcl} & \mathcal{R}_\mathrm{BH} & \longrightarrow & \mathbb{E}^{2} \\ \text{on}\ R_{BHIEF} : & \left(v, r, {\theta}, {\varphi}\right) & \longmapsto & \left(X, T\right) = \left(\frac{1}{2} \, \arctan\left(\frac{{\left| 2 \, r - 1 \right|} e^{\left(-2 \, r + v\right)}}{2 \, {\left(r^{4} - 4 \, r^{3} + 6 \, r^{2} - 4 \, r + 1\right)}}\right) \mathrm{sgn}\left(2 \, r - 1\right) - \frac{1}{2} \, \arctan\left(e^{\left(-v\right)}\right), \frac{1}{2} \, \pi - \frac{1}{2} \, \arctan\left(\frac{{\left| 2 \, r - 1 \right|} e^{\left(-2 \, r + v\right)}}{2 \, {\left(r^{4} - 4 \, r^{3} + 6 \, r^{2} - 4 \, r + 1\right)}}\right) \mathrm{sgn}\left(2 \, r - 1\right) - \frac{1}{2} \, \arctan\left(e^{\left(-v\right)}\right)\right) \\ \text{on}\ R_{BHOEF} : & \left(u, r, {\theta}, {\varphi}\right) & \longmapsto & \left(X, T\right) = \left(-\frac{1}{2} \, \arctan\left(\frac{{\left| 2 \, r - 1 \right|} e^{\left(-2 \, r - u\right)}}{2 \, {\left(r^{4} - 4 \, r^{3} + 6 \, r^{2} - 4 \, r + 1\right)}}\right) \mathrm{sgn}\left(2 \, r - 1\right) + \frac{1}{2} \, \arctan\left(e^{u}\right), \frac{1}{2} \, \pi - \frac{1}{2} \, \arctan\left(\frac{{\left| 2 \, r - 1 \right|} e^{\left(-2 \, r - u\right)}}{2 \, {\left(r^{4} - 4 \, r^{3} + 6 \, r^{2} - 4 \, r + 1\right)}}\right) \mathrm{sgn}\left(2 \, r - 1\right) - \frac{1}{2} \, \arctan\left(e^{u}\right)\right) \end{array}

On peut utiliser ces projections pour dessiner séparément les régions RCauchy\mathcal{R}_\mathrm{Cauchy} et RBH\mathcal{R}_\mathrm{BH} dans E2\mathbb{E}^2.

graphCauchy = X_CauchyIEF.plot(X_2,ambient_coords=(X,T), mapping=Cauchy_to_E2_X, fixed_coords={th: pi/2, ph: pi, v: 50}, ranges={r:(.5+eps,100)},color={r: 'black'}, number_values={r: 5}) graphCauchy += X_CauchyIEF.plot(X_2,ambient_coords=(X,T), mapping=Cauchy_to_E2_X, fixed_coords={th: pi/2, ph: pi, v:-50}, ranges={r:(.5+eps,100)},color={r: 'black'}, number_values={r: 5}) graphCauchy += X_CauchyOEF.plot(X_2,ambient_coords=(X,T), mapping=Cauchy_to_E2_X, fixed_coords={th: pi/2, ph: pi, u: -50}, ranges={r:(.5+eps,100)},color={r: 'black'}, number_values={r: 5}) graphCauchy += X_CauchyOEF.plot(X_2,ambient_coords=(X,T), mapping=Cauchy_to_E2_X, fixed_coords={th: pi/2, ph: pi, u:50}, ranges={r:(.5+eps,100)},color={r: 'black'}, number_values={r: 5}) for r0 in [.51,.85,.95,.99,.999]: graphCauchy += X_CauchyIEF.plot(X_2,ambient_coords=(X,T), mapping=Cauchy_to_E2_X, fixed_coords={th: pi/2, ph: pi, r:r0}, ranges={v: (-50, 50)},color={v: 'purple'}, thickness=.7, style='dotted', number_values={v: 5}) for r0 in [1.0001, 1.001, 1.01, 1.1, 1.3, 2]: graphCauchy += X_CauchyIEF.plot(X_2,ambient_coords=(X,T), mapping=Cauchy_to_E2_X, fixed_coords={th: pi/2, ph: pi, r:r0}, ranges={v: (-50, 50)},color={v: 'blue'}, thickness=.7, style='dotted', number_values={v: 5}) graphCauchy += X_CauchyOEF.plot(X_2,ambient_coords=(X,T), mapping=Cauchy_to_E2_X, fixed_coords={th: pi/2, ph: pi, r:r0}, ranges={u: (-50, 50)},color={u: 'blue'}, thickness=.7, style='dotted', number_values={u: 5}) graphCauchy
Image in a Jupyter notebook

Le graphe intermédiaire graphBH_int est introduit uniquement pour des raisons graphiques.

graphBH_int = X_BHIEF.plot(X_2,ambient_coords=(X,T), mapping=BH_to_E2_X, fixed_coords={th: pi/2, ph: pi, v: 50}, ranges={r:(0,1-eps)},color={r: 'black'}, number_values={r: 5}) graphBH_int += X_BHIEF.plot(X_2,ambient_coords=(X,T), mapping=BH_to_E2_X, fixed_coords={th: pi/2, ph: pi, v:-50}, ranges={r:(0,1-eps)},color={r: 'black'}, number_values={r: 5}) graphBH_int += X_BHOEF.plot(X_2,ambient_coords=(X,T), mapping=BH_to_E2_X, fixed_coords={th: pi/2, ph: pi, u: -50}, ranges={r:(0,1-eps)},color={r: 'black'}, number_values={r: 5}) graphBH_int += X_BHOEF.plot(X_2,ambient_coords=(X,T), mapping=BH_to_E2_X, fixed_coords={th: pi/2, ph: pi, u:50}, ranges={r:(0,1-eps)},color={r: 'black'}, number_values={r: 5}) for r0 in [.1,.2, .4, .47, .49]: graphBH_int += X_BHIEF.plot(X_2,ambient_coords=(X,T), mapping=BH_to_E2_X, fixed_coords={th: pi/2, ph: pi, r:r0}, ranges={v: (-50, 50)},color={v: 'blue'}, thickness=.7, style='dotted', number_values={v: 5}, plot_points=300) graphBH_int += X_BHOEF.plot(X_2,ambient_coords=(X,T), mapping=BH_to_E2_X, fixed_coords={th: pi/2, ph: pi, r:r0}, ranges={u: (-50, 50)},color={u: 'blue'},thickness=.7, style='dotted', number_values={u: 5}, plot_points=300) graphBH_int += X_BHIEF.plot(X_2,ambient_coords=(X,T), mapping=BH_to_E2_X, fixed_coords={th: pi/2, ph: pi, r:0}, ranges={v: (-50, 50)},color={v: 'black'}, number_values={v: 5}, plot_points=300, style='--', thickness=3) graphBH_int += X_BHOEF.plot(X_2,ambient_coords=(X,T), mapping=BH_to_E2_X, fixed_coords={th: pi/2, ph: pi, r:0}, ranges={u: (-50, 50)},color={u: 'black'}, number_values={u: 5}, plot_points=300, style='--', thickness=3) graphBH = graphBH_int for r0 in [.51,.55,.65,.75,.89]: graphBH += X_BHIEF.plot(X_2,ambient_coords=(X,T), mapping=BH_to_E2_X, fixed_coords={th: pi/2, ph: pi, r:r0}, ranges={v: (-50, 50)},color={v: 'purple'}, thickness=.7, style='dotted', number_values={v: 5}, plot_points=300) graphBH
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Les lignes en pointillés correspondent aux hypersurfaces r=constr=\mathrm{const}. On voit que ces hypersurfaces sont de genre espace dans la région IIa\mathrm{II}a.

On peut combiner ces deux graphes pour obtenir le diagramme conforme d'une extension de la solution de Reissner-Nordström. L'extension maximale peut-être construite avec des motifs similaires répétés périodiquement.

graph = graphBH_int + graphCauchy graph.show()
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Géodésiques dans l'extension maximale

On s'intéresse aux géodésiques radiales projetées dans le diagramme conforme de l'espace-temps de Reissner-Nordström. On se donne donc une vitesse initiale :

p0=M((-10,1.001,pi/2,pi), name='p_0') v0=M.tangent_space(p0)((3,0.0001,0,0), name='v_0') #Affichage de la donnée initiale : graph0 = graph if p0.coordinates()[1]>rm: graph0 += p0.plot(chart=X_2, mapping=Cauchy_to_E2_X, size=10) graph0 += v0.plot(chart=X_2, mapping=Cauchy_to_E2_X, scale=1, arrowsize=3, color='red') else: graph0 += p0.plot(chart=X_2, mapping=BH_to_E2_X, size=10) graph0 += v0.plot(chart=X_2, mapping=BH_to_E2_X, scale=5, arrowsize=3, color='red') graph0
Image in a Jupyter notebook

On peut ensuite intégrer la géodésique associée à cette vitesse initiale. Si l'intégration est opérée au niveau de la variété M\mathscr{M} en entier, l'affichage sépare les régions RCauchy\mathcal{R}_\mathrm{Cauchy} et RBH\mathcal{R}_\mathrm{BH}.

s = var('s') geod = M.integrated_geodesic(g, (s, 0, 30), v0) sol = geod.solve(step = .001) interp = geod.interpolate()
solCauchy=[] solBH=[] for i in sol : if i[2]>rm: solCauchy.append(i) if i[2]<rp: solBH.append(i)
graphCauchy2 = graphCauchy N=len(solCauchy) for i in range(0,N,N//10): p = M((solCauchy[i][1],solCauchy[i][2],pi/2,pi), name='p') graphCauchy2 += p.plot(chart=X_2, mapping=Cauchy_to_E2_X, color='red', label=' ') graphCauchy2
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graphBH2 = graphBH N=len(solBH) for i in range(0,N,N//10): p = M((solBH[i][1],solBH[i][2],pi/2,pi), name='p') graphBH2 += p.plot(chart=X_2, mapping=BH_to_E2_X, color='red', label=' ') graphBH2
Image in a Jupyter notebook

On peut voir que la géodésique reste dans RIEF\mathcal{R}_\mathrm{IEF}. Ce comportement est en fait général : aucune géodésique de genre temps lancée depuis Ia\mathrm{I}a ne peut passer l'horizon de Cauchy de IIa\mathrm{II}a vers IIIc\mathrm{III}c.