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Production de diagrammes conformes de l'extension analytique de la solution de Reissner-Nordström.

Project: Relativité générale - Stage maths/physique, été 2023

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Image: ubuntu2204

Kernel: SageMath 10.1

In [2]:

%display latex
Parallelism().set(nproc=8)

This notebook was written under the supervision of Éric Gourgoulhon (LUTH) as part of my physics internship in July 2023.

Author : Nicolas Seroux

Structure conforme de la solution de Reissner-Nordström

Définition de la variété d'espace-temps et de la métrique de Reissner-Nordstrom

Espace-temps et atlas

In [3]:

M = Manifold(4, 'M', latex_name = r'\mathscr{M}', structure = 'Lorentzian')

On choisit de paramétrer la famille de solutions de Reissner-Nordström par les valeurs $r_-$ et $r_+$ des rayons des horizons. Afin de simplifier les expressions symboliques et la génération d'images, on pose arbitrairement $r_-=\frac{1}{2}$ et $r_+=1$ .

In [4]:

rp = 1
rm =1/2

m = (rp+rm)/2
Q = sqrt(rp*rm)

On munit $\mathscr{M}$ de coordonnées de type Eddington-Finkelstein entrantes $(v,r,\theta,\varphi)$ et sortantes $(u,r,\theta,\varphi)$ sur deux domaines non-disjoints $\mathcal{R}_\mathrm{IEF}$ (ingoing Eddington-Finkelstein) et $\mathcal{R}_\mathrm{OEF}$ (outgoing Eddington-Finkelstein) :

In [5]:

regIEF = M.open_subset('R_{IEF}', r'\mathcal{R}_{\mathrm{IEF}}')

regOEF = M.open_subset('R_{OEF}', r'\mathcal{R}_{\mathrm{OEF}}')

M.declare_union(regIEF, regOEF)

In [6]:

X_IEF.<v,r,th,ph> = regIEF.chart(r'v r:(0,+oo) th:(0,pi):\theta ph:(0,2*pi):\varphi:periodic')
F_IEF=X_IEF.frame()

In [7]:

X_OEF.<u,r,th,ph> = regOEF.chart(r'u r:(0,+oo) th:(0,pi):\theta ph:(0,2*pi):\varphi:periodic')
F_OEF=X_OEF.frame()

On définit par ailleurs les régions $\mathcal{R}_\mathrm{Cauchy}$ et $\mathcal{R}_\mathrm{BH}$ qui correspondent respectivement au développement de Cauchy des régions asymptotiquement plates $\mathrm{I}a$ et $\mathrm{I}b$ , i.e. la région $r\geq r_-$ , et à la région de trou noir, i.e. $r\leq r_+$ . Ces régions sont définies sur un diagramme conforme d'après le schéma suivant :

Aux frontières près, on a alors :

\mathcal{R}_{\mathrm{IEF}}=\mathcal{R}_{\mathrm{Ia}}\cup\mathcal{R}_{\mathrm{II}a}\cup\mathcal{R}_{\mathrm{III}a},\qquad\mathcal{R}_{\mathrm{OEF}}=\mathcal{R}_{\mathrm{Ib}}\cup\mathcal{R}_{\mathrm{II}a}\cup\mathcal{R}_{\mathrm{III}c},\qquad\mathcal{R}_{\mathrm{Cauchy}}=\mathcal{R}_{\mathrm{Ib}}\cup\mathcal{R}_{\mathrm{II}a}\cup\mathcal{R}_{\mathrm{I}a},\qquad\mathcal{R}_{\mathrm{BH}}=\mathcal{R}_{\mathrm{IIIa}}\cup\mathcal{R}_{\mathrm{II}a}\cup\mathcal{R}_{\mathrm{III}c}.

In [8]:

regIIa = regIEF.intersection(regOEF, name='R_{IIa}', latex_name=r'\mathcal{R}_{\mathrm{IIa}}')


#Parties de regIEF :
regCauchyIEF = regIEF.open_subset('R_{CauchyIEF}', coord_def={X_IEF : r>rm})
X_CauchyIEF = X_IEF.restrict(regCauchyIEF)

regBHIEF = regIEF.open_subset('R_{BHIEF}', coord_def={X_IEF : r<rp})
X_BHIEF = X_IEF.restrict(regBHIEF)

regIa = regCauchyIEF.open_subset('R_{Ia}', r'\mathcal{R}_{\mathrm{Ia}}', coord_def={X_CauchyIEF:r>rp})
regIIIa = regBHIEF.open_subset('R_{IIIa}', r'\mathcal{R}_{\mathrm{IIIa}}',coord_def={X_BHIEF:r<rm})


#Parties de regOEF
regCauchyOEF = regOEF.open_subset('R_{CauchyOEF}', coord_def={X_OEF:r>rm})
X_CauchyOEF = X_OEF.restrict(regCauchyOEF)

regBHOEF = regOEF.open_subset('R_{BHOEF}', coord_def={X_OEF : r<rp})
X_BHOEF = X_OEF.restrict(regBHOEF)

regIb = regCauchyOEF.open_subset('R_{Ib}', r'\mathcal{R}_{\mathrm{Ib}}', coord_def={X_CauchyOEF: r>rp})
regIIIc = regBHOEF.open_subset('R_{IIIc}', r'\mathcal{R}_{\mathrm{IIIc}}', coord_def={X_BHOEF: r<rm})

regCauchy = regCauchyIEF.union(regCauchyOEF, name='R_{Cauchy}', latex_name=r'\mathcal{R}_\mathrm{Cauchy}')
regBH = regBHIEF.union(regBHOEF, name='R_{BH}', latex_name=r'\mathcal{R}_\mathrm{BH}')

On introduit une coordonnée de type Regge-Wheeler $r_*$ définie par :

r_*=r+\frac{r_+^2}{r_+-r_-}\log|r-r_+|-\frac{r_-^2}{r_+-r_-}\log|r-r_-|

In [9]:

rstar(r) = r+(rp^2/(rp-rm))*log(abs(r-rp))-(rm^2/(rp-rm))*log(abs(r-rm))

Cette fonction permet d'exprimer le changement de carte entre les coordonnées de $\mathcal{R}_\mathrm{IEF}$ et celles de $\mathcal{R}_{\mathrm{OEF}}$ .

In [10]:

trans_IEF_to_OEF = X_IEF.transition_map(X_OEF, [v-2*rstar(r), r, th, ph], restrictions1 = (rm<r, r<rp),restrictions2=(rm<r,r<rp))
trans_OEF_to_IEF=trans_IEF_to_OEF.inverse()

Métrique de Reissner-Nordström

En terme de $r_\pm$ , la métrique de Reissner-Nordström s'écrit dans les coordonnées d'Eddington-Finkelstein entrantes :

g=-\left(1-\frac{r_++r_-}{r}+\frac{r_+r_-}{r^2}\right)\mathrm{d}v^2+2\,\mathrm{d}v\mathrm{d}r+r^2\mathrm{d}\theta^2+r^2\sin^2\theta\,\mathrm{d}\varphi^2

In [11]:

g=M.metric()

g[0,1]=1
g[0,0]=-1+2*m/r-Q^2/r^2
g[2,2]=r^2
g[3,3]=r^2*sin(th)^2

g[F_OEF,0,0,X_OEF]=-1+2*m/r-Q^2/r^2
g[F_OEF,0,1,X_OEF]=-1
g[F_OEF,2,2,X_OEF]=r^2
g[F_OEF,3,3,X_OEF]=r^2*sin(th)^2

g.display()

$\displaystyle g = \left( \frac{3}{2 \, r} - \frac{1}{2 \, r^{2}} - 1 \right) \mathrm{d} v\otimes \mathrm{d} v +\mathrm{d} v\otimes \mathrm{d} r +\mathrm{d} r\otimes \mathrm{d} v + r^{2} \mathrm{d} {\theta}\otimes \mathrm{d} {\theta} + r^{2} \sin\left({\theta}\right)^{2} \mathrm{d} {\varphi}\otimes \mathrm{d} {\varphi}$

Diagrammes conformes

On introduit un petit paramètre $\varepsilon$ lié à la précision numérique de nos dessins, ainsi que des coefficients $\alpha_\pm$ définis par

\alpha_\pm=\frac{r_+-r_m}{2r_\pm^2},

et qui interviennent dans l'expression des projections nécessaires à la réalisation du diagramme conforme.

In [12]:

alphp = (rp-rm)/(2*rp^2)
alphm = (rp-rm)/(2*rm^2)

eps = 0.000000001

Un diagramme conforme consiste en une projection de l'espace-temps dans un plan euclidien $\mathbb{E}^2$ , que nous définissons avec deux systèmes de coordonnées $(T,X)$ et $(U,V)$ reliés par une rotation d'angle $\frac{\pi}{4}$ .

In [13]:

E2_X.<X,T> = EuclideanSpace()
X_2.<X,T> = E2_X.cartesian_coordinates()

E2_U.<U, V> = EuclideanSpace()
U_2.<U,V> = E2_U.cartesian_coordinates()

trans_X_to_U = E2_X.diffeomorphism(E2_U, {(X_2, U_2) : [T-X,T+X]})
trans_U_to_X = trans_X_to_U.inverse()

La projection dans $\mathbb{E}^2$ est définie séparément sur $\mathcal{R}_\mathrm{Cauchy}$ et sur $\mathcal{R}_\mathrm{BH}$ pour régulariser les horizons $r=r_+$ et $r=r_-$ respectivement :

In [14]:

Cauchy_to_E2_U = regCauchy.diff_map(E2_U, {
        (X_CauchyIEF, U_2): [sign(rp-r)*arctan(exp(-alphp*(v-2*rstar(r)))/alphp), arctan(exp(alphp*v)/alphp)],
        (X_CauchyOEF, U_2): [arctan(exp(-alphp*u)/alphp), sign(rp-r)*arctan(exp(alphp*(u+2*rstar(r)))/alphp)]
    })

Cauchy_to_E2_X = trans_U_to_X*Cauchy_to_E2_U
Cauchy_to_E2_U.display()

$\displaystyle \begin{array}{llcl} & \mathcal{R}_\mathrm{Cauchy} & \longrightarrow & \mathbb{E}^{2} \\ \text{on}\ R_{CauchyIEF} : & \left(v, r, {\theta}, {\varphi}\right) & \longmapsto & \left(U, V\right) = \left(\arctan\left(4 \, e^{\left(\frac{1}{2} \, r - \frac{1}{4} \, v - \frac{1}{4} \, \log\left({\left| r - \frac{1}{2} \right|}\right) + \log\left({\left| r - 1 \right|}\right)\right)}\right) \mathrm{sgn}\left(-r + 1\right), \arctan\left(4 \, e^{\left(\frac{1}{4} \, v\right)}\right)\right) \\ \text{on}\ R_{CauchyOEF} : & \left(u, r, {\theta}, {\varphi}\right) & \longmapsto & \left(U, V\right) = \left(\arctan\left(4 \, e^{\left(-\frac{1}{4} \, u\right)}\right), \arctan\left(4 \, e^{\left(\frac{1}{2} \, r + \frac{1}{4} \, u - \frac{1}{4} \, \log\left({\left| r - \frac{1}{2} \right|}\right) + \log\left({\left| r - 1 \right|}\right)\right)}\right) \mathrm{sgn}\left(-r + 1\right)\right) \end{array}$

In [15]:

BH_to_E2_U = regBH.diff_map(E2_U, {
        (X_BHIEF, U_2): [sign(rm-r)*arctan(exp(alphm*(v-2*rstar(r)))/alphm)+pi/2, pi/2-arctan(exp(-alphm*v)/alphm)],
        (X_BHOEF, U_2): [-arctan(exp(alphm*u)/alphm)+pi/2, pi/2+sign(rm-r)*arctan(exp(-alphm*(u+2*rstar(r)))/alphm)]
    })

BH_to_E2_X = trans_U_to_X*BH_to_E2_U
BH_to_E2_X.display()

$\displaystyle \begin{array}{llcl} & \mathcal{R}_\mathrm{BH} & \longrightarrow & \mathbb{E}^{2} \\ \text{on}\ R_{BHIEF} : & \left(v, r, {\theta}, {\varphi}\right) & \longmapsto & \left(X, T\right) = \left(\frac{1}{2} \, \arctan\left(\frac{{\left| 2 \, r - 1 \right|} e^{\left(-2 \, r + v\right)}}{2 \, {\left(r^{4} - 4 \, r^{3} + 6 \, r^{2} - 4 \, r + 1\right)}}\right) \mathrm{sgn}\left(2 \, r - 1\right) - \frac{1}{2} \, \arctan\left(e^{\left(-v\right)}\right), \frac{1}{2} \, \pi - \frac{1}{2} \, \arctan\left(\frac{{\left| 2 \, r - 1 \right|} e^{\left(-2 \, r + v\right)}}{2 \, {\left(r^{4} - 4 \, r^{3} + 6 \, r^{2} - 4 \, r + 1\right)}}\right) \mathrm{sgn}\left(2 \, r - 1\right) - \frac{1}{2} \, \arctan\left(e^{\left(-v\right)}\right)\right) \\ \text{on}\ R_{BHOEF} : & \left(u, r, {\theta}, {\varphi}\right) & \longmapsto & \left(X, T\right) = \left(-\frac{1}{2} \, \arctan\left(\frac{{\left| 2 \, r - 1 \right|} e^{\left(-2 \, r - u\right)}}{2 \, {\left(r^{4} - 4 \, r^{3} + 6 \, r^{2} - 4 \, r + 1\right)}}\right) \mathrm{sgn}\left(2 \, r - 1\right) + \frac{1}{2} \, \arctan\left(e^{u}\right), \frac{1}{2} \, \pi - \frac{1}{2} \, \arctan\left(\frac{{\left| 2 \, r - 1 \right|} e^{\left(-2 \, r - u\right)}}{2 \, {\left(r^{4} - 4 \, r^{3} + 6 \, r^{2} - 4 \, r + 1\right)}}\right) \mathrm{sgn}\left(2 \, r - 1\right) - \frac{1}{2} \, \arctan\left(e^{u}\right)\right) \end{array}$

On peut utiliser ces projections pour dessiner séparément les régions $\mathcal{R}_\mathrm{Cauchy}$ et $\mathcal{R}_\mathrm{BH}$ dans $\mathbb{E}^2$ .

In [16]:

graphCauchy = X_CauchyIEF.plot(X_2,ambient_coords=(X,T), mapping=Cauchy_to_E2_X, fixed_coords={th: pi/2,  ph: pi, v: 50},
                         ranges={r:(.5+eps,100)},color={r: 'black'},
                         number_values={r: 5})

graphCauchy += X_CauchyIEF.plot(X_2,ambient_coords=(X,T), mapping=Cauchy_to_E2_X, fixed_coords={th: pi/2,  ph: pi, v:-50},
                         ranges={r:(.5+eps,100)},color={r: 'black'},
                         number_values={r: 5})

graphCauchy += X_CauchyOEF.plot(X_2,ambient_coords=(X,T), mapping=Cauchy_to_E2_X, fixed_coords={th: pi/2,  ph: pi, u: -50},
                         ranges={r:(.5+eps,100)},color={r: 'black'},
                         number_values={r: 5})

graphCauchy += X_CauchyOEF.plot(X_2,ambient_coords=(X,T), mapping=Cauchy_to_E2_X, fixed_coords={th: pi/2,  ph: pi, u:50},
                         ranges={r:(.5+eps,100)},color={r: 'black'},
                         number_values={r: 5})

for r0 in [.51,.85,.95,.99,.999]:
    graphCauchy += X_CauchyIEF.plot(X_2,ambient_coords=(X,T), mapping=Cauchy_to_E2_X, fixed_coords={th: pi/2,  ph: pi, r:r0},
                         ranges={v: (-50, 50)},color={v: 'purple'}, thickness=.7, style='dotted',
                         number_values={v: 5})
    
for r0 in [1.0001, 1.001, 1.01, 1.1, 1.3, 2]:
    graphCauchy += X_CauchyIEF.plot(X_2,ambient_coords=(X,T), mapping=Cauchy_to_E2_X, fixed_coords={th: pi/2,  ph: pi, r:r0},
                         ranges={v: (-50, 50)},color={v: 'blue'}, thickness=.7, style='dotted',
                         number_values={v: 5})
    graphCauchy += X_CauchyOEF.plot(X_2,ambient_coords=(X,T), mapping=Cauchy_to_E2_X, fixed_coords={th: pi/2,  ph: pi, r:r0},
                         ranges={u: (-50, 50)},color={u: 'blue'}, thickness=.7, style='dotted',
                         number_values={u: 5})

graphCauchy

Le graphe intermédiaire graphBH_int est introduit uniquement pour des raisons graphiques.

In [17]:

graphBH_int = X_BHIEF.plot(X_2,ambient_coords=(X,T), mapping=BH_to_E2_X, fixed_coords={th: pi/2,  ph: pi, v: 50},
                         ranges={r:(0,1-eps)},color={r: 'black'},
                         number_values={r: 5})

graphBH_int += X_BHIEF.plot(X_2,ambient_coords=(X,T), mapping=BH_to_E2_X, fixed_coords={th: pi/2,  ph: pi, v:-50},
                         ranges={r:(0,1-eps)},color={r: 'black'},
                         number_values={r: 5})

graphBH_int += X_BHOEF.plot(X_2,ambient_coords=(X,T), mapping=BH_to_E2_X, fixed_coords={th: pi/2,  ph: pi, u: -50},
                         ranges={r:(0,1-eps)},color={r: 'black'},
                         number_values={r: 5})

graphBH_int += X_BHOEF.plot(X_2,ambient_coords=(X,T), mapping=BH_to_E2_X, fixed_coords={th: pi/2,  ph: pi, u:50},
                         ranges={r:(0,1-eps)},color={r: 'black'},
                         number_values={r: 5})


for r0 in [.1,.2, .4, .47, .49]:
    graphBH_int += X_BHIEF.plot(X_2,ambient_coords=(X,T), mapping=BH_to_E2_X, fixed_coords={th: pi/2,  ph: pi, r:r0},
                         ranges={v: (-50, 50)},color={v: 'blue'}, thickness=.7, style='dotted',
                         number_values={v: 5}, plot_points=300)
    graphBH_int += X_BHOEF.plot(X_2,ambient_coords=(X,T), mapping=BH_to_E2_X, fixed_coords={th: pi/2,  ph: pi, r:r0},
                         ranges={u: (-50, 50)},color={u: 'blue'},thickness=.7, style='dotted',
                         number_values={u: 5}, plot_points=300)

    
graphBH_int += X_BHIEF.plot(X_2,ambient_coords=(X,T), mapping=BH_to_E2_X, fixed_coords={th: pi/2,  ph: pi, r:0},
                         ranges={v: (-50, 50)},color={v: 'black'},
                         number_values={v: 5}, plot_points=300, style='--', thickness=3)

graphBH_int += X_BHOEF.plot(X_2,ambient_coords=(X,T), mapping=BH_to_E2_X, fixed_coords={th: pi/2,  ph: pi, r:0},
                         ranges={u: (-50, 50)},color={u: 'black'},
                         number_values={u: 5}, plot_points=300, style='--', thickness=3)

graphBH = graphBH_int

for r0 in [.51,.55,.65,.75,.89]:
    graphBH += X_BHIEF.plot(X_2,ambient_coords=(X,T), mapping=BH_to_E2_X, fixed_coords={th: pi/2,  ph: pi, r:r0},
                         ranges={v: (-50, 50)},color={v: 'purple'}, thickness=.7, style='dotted',
                         number_values={v: 5}, plot_points=300)

graphBH

Les lignes en pointillés correspondent aux hypersurfaces $r=\mathrm{const}$ . On voit que ces hypersurfaces sont de genre espace dans la région $\mathrm{II}a$ .

On peut combiner ces deux graphes pour obtenir le diagramme conforme d'une extension de la solution de Reissner-Nordström. L'extension maximale peut-être construite avec des motifs similaires répétés périodiquement.

In [18]:

graph = graphBH_int + graphCauchy
graph.show()

Géodésiques dans l'extension maximale

On s'intéresse aux géodésiques radiales projetées dans le diagramme conforme de l'espace-temps de Reissner-Nordström. On se donne donc une vitesse initiale :

In [19]:

p0=M((-10,1.001,pi/2,pi), name='p_0')
v0=M.tangent_space(p0)((3,0.0001,0,0), name='v_0')

#Affichage de la donnée initiale :
graph0 = graph

if p0.coordinates()[1]>rm:
    graph0 += p0.plot(chart=X_2, mapping=Cauchy_to_E2_X, size=10)
    graph0 += v0.plot(chart=X_2, mapping=Cauchy_to_E2_X, scale=1, arrowsize=3, color='red')
else:
    graph0 += p0.plot(chart=X_2, mapping=BH_to_E2_X, size=10)
    graph0 += v0.plot(chart=X_2, mapping=BH_to_E2_X, scale=5, arrowsize=3, color='red')

graph0

On peut ensuite intégrer la géodésique associée à cette vitesse initiale. Si l'intégration est opérée au niveau de la variété $\mathscr{M}$ en entier, l'affichage sépare les régions $\mathcal{R}_\mathrm{Cauchy}$ et $\mathcal{R}_\mathrm{BH}$ .

In [20]:

s = var('s')
geod = M.integrated_geodesic(g, (s, 0, 30), v0)
sol = geod.solve(step = .001) 
interp = geod.interpolate()

In [21]:

solCauchy=[]
solBH=[]

for i in sol :
    if i[2]>rm:
        solCauchy.append(i)
    if i[2]<rp:
        solBH.append(i)

In [22]:

graphCauchy2 = graphCauchy
N=len(solCauchy)
for i in range(0,N,N//10):
    p = M((solCauchy[i][1],solCauchy[i][2],pi/2,pi), name='p')
    graphCauchy2 += p.plot(chart=X_2, mapping=Cauchy_to_E2_X, color='red', label=' ')

graphCauchy2

In [23]:

graphBH2 = graphBH
N=len(solBH)
for i in range(0,N,N//10):
    p = M((solBH[i][1],solBH[i][2],pi/2,pi), name='p')
    graphBH2 += p.plot(chart=X_2, mapping=BH_to_E2_X, color='red', label=' ')
graphBH2

On peut voir que la géodésique reste dans $\mathcal{R}_\mathrm{IEF}$ . Ce comportement est en fait général : aucune géodésique de genre temps lancée depuis $\mathrm{I}a$ ne peut passer l'horizon de Cauchy de $\mathrm{II}a$ vers $\mathrm{III}c$ .