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Production de diagrammes conformes de l'extension analytique de la solution de Reissner-Nordström.
This notebook was written under the supervision of Éric Gourgoulhon (LUTH) as part of my physics internship in July 2023.
Author : Nicolas Seroux
Structure conforme de la solution de Reissner-Nordström
Définition de la variété d'espace-temps et de la métrique de Reissner-Nordstrom
Espace-temps et atlas
On choisit de paramétrer la famille de solutions de Reissner-Nordström par les valeurs et des rayons des horizons. Afin de simplifier les expressions symboliques et la génération d'images, on pose arbitrairement et .
On munit de coordonnées de type Eddington-Finkelstein entrantes et sortantes sur deux domaines non-disjoints (ingoing Eddington-Finkelstein) et (outgoing Eddington-Finkelstein) :
On définit par ailleurs les régions et qui correspondent respectivement au développement de Cauchy des régions asymptotiquement plates et , i.e. la région , et à la région de trou noir, i.e. . Ces régions sont définies sur un diagramme conforme d'après le schéma suivant :
Aux frontières près, on a alors :
On introduit une coordonnée de type Regge-Wheeler définie par :
Cette fonction permet d'exprimer le changement de carte entre les coordonnées de et celles de .
Métrique de Reissner-Nordström
En terme de , la métrique de Reissner-Nordström s'écrit dans les coordonnées d'Eddington-Finkelstein entrantes :
Diagrammes conformes
On introduit un petit paramètre lié à la précision numérique de nos dessins, ainsi que des coefficients définis par
et qui interviennent dans l'expression des projections nécessaires à la réalisation du diagramme conforme.
Un diagramme conforme consiste en une projection de l'espace-temps dans un plan euclidien , que nous définissons avec deux systèmes de coordonnées et reliés par une rotation d'angle .
La projection dans est définie séparément sur et sur pour régulariser les horizons et respectivement :
On peut utiliser ces projections pour dessiner séparément les régions et dans .
Le graphe intermédiaire graphBH_int
est introduit uniquement pour des raisons graphiques.
Les lignes en pointillés correspondent aux hypersurfaces . On voit que ces hypersurfaces sont de genre espace dans la région .
On peut combiner ces deux graphes pour obtenir le diagramme conforme d'une extension de la solution de Reissner-Nordström. L'extension maximale peut-être construite avec des motifs similaires répétés périodiquement.
Géodésiques dans l'extension maximale
On s'intéresse aux géodésiques radiales projetées dans le diagramme conforme de l'espace-temps de Reissner-Nordström. On se donne donc une vitesse initiale :
On peut ensuite intégrer la géodésique associée à cette vitesse initiale. Si l'intégration est opérée au niveau de la variété en entier, l'affichage sépare les régions et .
On peut voir que la géodésique reste dans . Ce comportement est en fait général : aucune géodésique de genre temps lancée depuis ne peut passer l'horizon de Cauchy de vers .