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UNIVERSIDAD NACIONAL DE ELSALVADOR


INTEGRANTE:                                                      CARNET

GERSON MANUEL MARTINEZ HERNANDEZ                                MH12043

WILBER ALEXANDER ORTIZ CORTEZ                                   OC08013

MATERIA: ECDUACIONES DIFERENCIALES

LICENCIATURA EN MATEMATICA

PROYECTO FINAL DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Ciudad Universitaria, San salvador, El salvador

**PROBLEMA 1 "graficas de soluciones exactas de ecuaciones diferenciales" **: considere la ecuacion diferencia dydx=y−sinx\begin{equation} \dfrac{dy}{dx}=y-sin x \end{equation} de [−3,3][-3,3]X[−3,3][-3,3].grafique 10 curvas solucion exacta,usando puntos aleatorio de [−2,2][-2,2]X[−2,2][-2,2].para elegir las condiciones iniciales de manera uniforme. Añadir un campo de pendientes e indicar las condicionales iniciales de la grafica.

u,v=var('u,v')
SlopeField=plot_slope_field(v-sin(u),(u,-3,3),(v,-3,3))

x = var ('x')
y = function ('y',x)
DE = diff (y,x)-y+sin(x)== 0
sol =[]; i=0; a=0; b=0;
pts=points([],size=20,color='red')

#loop over to obtain the sequence of plots
while i < 10:
    #randomly choose points in the [-2,2]^2 space
    a=2*random()-2
    b=2*random()-2
    #append the solutions whose initial condition was chosen randomly
    sol.append (desolve (DE , [y, x], ics =[ a, b]))
    #graph the initial condition
    pts=pts+points([a,b],size=40,color='red')
    i=i+1
g= plot (sol , x, -3, 3)
(g+pts+SlopeField).show(ymin = -3, ymax =3)

**PROBLEMA 2 "Resolver una ecuación diferencial de coeficientes constantes exactamente" **: Sage no tiene una función integrada para la solución de una ecuación diferencial exactamente lineal homogénea de orden superior a 2. Crear una función que resuelve la siguiente ecuación diferencial ad3ydx3+bd2ydx2+cdydx+d=0\begin{equation} a\dfrac{d^3y}{dx^3} + b\dfrac{d^2y}{dx^2}+c\dfrac{dy}{dx}+d = 0 \end{equation} En concreto, cree una función cuya entrada son los cuatro parámetros a; b; c; d de la ecuación diferencial anterior y cuya salida depende de una función de x con los tres parámetros esperados.

def prueba(a,b,c,d):
    x,c1,c2,c3,c4,c5,c6=var("x,c1,c2,c3,c4,c5,c6")
    A=a*x^3+b*x^2+c*x+d
    p=A.roots()
    #print p 
     #print H
    if a==0:
        raices(p)
    elif b==0:
        raices(p)
    elif c==0:
        raices(p)
    elif d==0:
        raices(p)
    elif a!=0 and b!=0 and c!=0 and d!=0:
        raices(p)
    elif a==0 or b==0 or c==0 or d==0 :
        raices(p)
    elif b==0 and c==0 :
         raices(p)
    return p

def raices(Y):
    print len(Y)
    for j in range(len(Y)):
        if Y[j][1]==1:
            #print"aqui estoy"
            if len(Y)==2 and Y[j][0].imag()!=0:
                raices_distintas(Y,j)
                break
            elif len(Y)==2 and Y[j][0].imag()!=0:
                raices_distintas(Y,j)
                break
            elif len(Y)==2 and Y[j][0].imag()==0:
                raices_distintas(Y,j)
            elif len(Y)==3 and Y[j][0].imag()!=0:
                raices_distintas(Y,j)
            elif len(Y)==3 and abs(Y[j][0].imag())==0:
                raices_distintas(Y,j)
            elif Y[j][0].imag()!=0:
                raices_distintas(Y,j)
            else:
                raices_distintas(Y,j)
        elif Y[j][1]==2 and len(Y)!=2:
            Y.reverse()
            return raices_repetidas(Y,j)
            break
        elif Y[j][1]==2 and len(Y)==2:
            return raices_repetidas(Y,j)
            break
        elif Y[j][1]==3:
            return calcular(Y)
            break

def raices_distintas(M,N):
    if M[N][0].imag()==0:
        #print "real"
        show(c3*exp(M[N][0].real()*x))
        show("+")
    else:
        n=N
        if n <=1:
            if abs(M[N][0].imag())==abs(M[N+1][0].imag()) :
                show(exp(M[N][0].real()*x)*(c1*cos(abs(-1*M[N][0].imag()).simplify()*x)+c2*sin(abs(-1*M[N][0].imag()).simplify()*x )))
                show("+")
            elif abs(M[N][0].imag())==abs(M[N+1][0].imag()) :
                show(exp(M[N][0].real()*x)*(c1*cos(abs(-1*M[N][0].imag()).simplify()*x)+c2*sin(abs(-1*M[N][0].imag()).simplify()*x )))
                show("+")
        return
def raices_repetidas(M,J):

    if M[J][0].imag()==0:
        #print "real"
        show((c1+c2*x)*exp(M[J][0].real()*x))

    else:
        #print"complejo"
        show(exp(M[J][0].real()*x)*(c1*cos(M[J][0].imag()*x)+c2*sin(M[J][0].imag()*x )+x*(c3*cos(M[J][0].imag()*x)+c4*sin(M[J][0].imag()*x ))))

    return

##prueba(0,1,2,1)
#prueba(1,0,1,-10)
#prueba(1,1,-1,-1)
#prueba(0,1,-4,5)
##prueba(0,1,-4,0)
##prueba(0,4,-12,9)
##prueba(1,3,0,-4)
#prueba(1,0,0,27)

**PROBLEMA 3 "graficas de soluciones exactas de ecuaciones diferenciales" **: Considere la ecuación diferencial dydx=x∗(4−x)+h\begin{equation} \dfrac{dy}{dx}=x*(4-x)+h \end{equation} ,donde h es un parámetro . Crear en sage un interactivo gráfico que trazan varias curvas solución de la ecuación diferencial en [−1,5][-1,5]X[−1,5][-1,5]. crear un deslizador con h que va de 2 a 6. Apreciar la naturaleza cambiante de las curvas solución a medida que mueve el deslizador.

@interact
def para(h=slider(2,6,1,default=2)):
    var('t')  #variable independiente
    j=var('j')
    x=function('x',t) #variable dependiente
    c=diff(x,t)== x*(4-x)-h #2
    pts=points([]) #creamos esta lista para poder hacer la grafica con condiciones iniciales
    lista=[]# creamos una lista con las solucuones
    j=1
    #m=0
    #n=0
    while j<=10: # creamos el cilo para poder graficar las curvas solucion con las condiciones iniciales
        m=6*random()-1
        n=6*random()-1
        B=desolve(c,x,ics=[m,n])# soluciones de la ecuacion difernecial 2 con condiciones iniciales
        k=solve(B,x)[0].rhs()# soluciones de x(t) solo tomamos 1
        lista.append(k)
        pts=pts+points([m,n],size=100,color='red')
        j=j+1
    g=plot(lista,[-2,6],color='blue')
    (g+pts).show(ymin=-1,ymax=5)