WorkBook07SageMath_DEsolve.ipynb

Kernel: SageMath 9.1

Завдання 7.1

Показати, що функція $y = f(x)$ задовольняє диференціальне рівняння: $y'-3y=0$, $y=e^{3x}$.

y=function('y')(x)
de=diff(y,x)-3*e^(3*x)==0
sol=desolve(de,y)
show(sol)

Завдання 7.2

Показати, що функція $y = f(x)$ задовольняє диференціальне рівняння: $y''-y=0$, $y=2e^x-3e^{-x}$.

y(x)=2*e^x-3*e^(-x)
(diff(diff(y(x),x),x)-y(x)).show()

Завдання 7.3

Знайти загальний інтеграл диференціального рівняння з відокремленими змінними, виконавши інтегрування обох частин рівняння: $\cos{y}\cdot ydy=-2xdx$.

Завдання 7.4

Знайти загальний інтеграл диференціального рівняння з відокремленими змінними, виконавши інтегрування обох частин рівняння: $\frac{ydy}{e^y}=-xdx$.

Завдання 7.5

Знайти загальний інтеграл диференціального рівняння з відокремленими змінними, виконавши інтегрування обох частин рівняння: $\frac{dy}{y}=-2xe^{-x^2}dx$.

Завдання 7.6

Розв’язати диференціальне рівняння і перевірити, чи є отриманий вираз розв’язком даного рівняння, якщо $C = 1$: $y'=y^{2/3}$.

y=function('y')(x)
de=diff(y,x)==y^(2/3)
sol=desolve(de,y)
show(sol)
show(3*y^(1/3),"=",1+x)

Завдання 7.7

Розв’язати диференціальне рівняння і перевірити, чи є отриманий вираз розв’язком даного рівняння, якщо $C = 1$: $y'=3y(x+1)$.

y=function('y')(x)
de=diff(y,x)==3*y*(x+1)
sol=desolve(de,y)
show(sol)
show(e^(3/2*x^2+3*x))

Завдання 7.8

Розв’язати диференціальне рівняння і перевірити, чи є отриманий вираз розв’язком даного рівняння, якщо $C = 1$: $y'=x(y^2+1)$.

y=function('y')(x)
de=diff(y,x)==x*(y^2+1)
sol=desolve(de,y)
show(sol)
show(arctan(y),"=",1/2*x^2+1)

Завдання 7.9

Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння: $(x+1)y'+xy=0$.

y=function('y')(x)
de=0==(x+1)*diff(y,x)+x*y
sol=desolve(de,y)
show(sol)

Завдання 7.10

Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння: $y'=2y$.

y=function('y')(x)
de=2*y==diff(y,x)
sol=desolve(de,y)
show(sol)

Завдання 7.11

Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння: $y''-49y=0$.

y=function('y')(x)
de=diff(y,x,x)-49*y==0
sol=desolve(de,y)
show(sol)

Завдання 7.12

Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння: $y''+9y=15\sin{2x}$.

y=function('y')(x)
de=diff(y,x,x)+9*y==15*sin(2*x)
sol=desolve(de,y)
show(sol)

Завдання 7.13

Показати, що функція $y = f(x)$ задовольняє диференціальне рівняння на інтервалі ( (–\infty;+\infty) ), якщо ( С ), ( С_1 ), ( С_2 - const): ( y'^2-y'-xy'+y=0 ), ( y=Cx+C-C^2).

Завдання 7.14

Показати, що функція $y = f(x)$ задовольняє диференціальне рівняння на інтервалі $(–\infty;+\infty)$, якщо $С$, $С_1$, $С_2 - const$: $xy''-y'=0$, $y=C_1x^2+C_2$.

Завдання 7.15

Показати, що функція $y = f(x)$ задовольняє диференціальне рівняння на інтервалі $(–\infty;+\infty)$, якщо $С$, $С_1$, $С_2 - const$: $(\frac{dy}{dx})^2-(x+y)\frac{dy}{dx}+xy=0$, $y=C+\frac{x^2}{2}$.

Завдання 7.16

Показати, що функція $y = f(x)$ задовольняє диференціальне рівняння на інтервалі $(–\infty;+\infty)$, якщо $С$, $С_1$, $С_2 - const$: $y'+y\cos{x}=\frac{1}{2}\sin{2x}$, $y=\sin{x}-1+Ce^{-\sin{x}}$.

Завдання 7.17

Показати, що функція $y = f(x)$ задовольняє диференціальне рівняння на інтервалі $(–\infty;+\infty)$, якщо $С$, $С_1$, $С_2 - const$: $y(1-\ln{y})y''+(1+\ln{y})(y')^2=0$, $y=e^{\frac{x+C_1}{x+C_2}}$.

Завдання 7.18

Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння: $y'+ay=e^{mx}$.

Завдання 7.19

Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння: $(x+1)y'-ny=e^x(x+1)^{n+1}$.

Завдання 7.20

Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння: $x'+2xt=te^{-t^2}\sin{t}$.

Завдання 7.21

Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння: $4\frac{d^2u}{dv^2}-20\frac{du}{dv}+25v=0$.

y=function('y')(x)
de=4*diff(y,x,x)-20*diff(y,x)+25*y==0
sol=desolve(de,y)
show(sol)

Завдання 7.22

Знайти частинний розв’язок диференціального рівняння: $y'-\frac{2}{x+1}y=(x+1)^2e^x$, $y(0)=1$.

y=function('y')(x)
de=diff(y,x)-2/(x+1)*y==(x+1)^2*e^x
sol=desolve(de,y,[0,1])
show(sol)

Завдання 7.23

Знайти частинний розв’язок диференціального рівняння: $\sin{2t}ds=2s\cos{2t}dt$, $s(\frac{\pi}{4})=3$.

y=function('y')(x)
de=sin(2*x)*diff(y,x)==2*y*cos(2*x)*diff(y,x)
sol=desolve(de,y,[pi/4,3])
show(sol)

Завдання 7.24

Розв'язати задачу Коші та побудувати ізокліну, якщо: $y-xy'=b(1+x^2y')$, $y(1)=1$.

Завдання 7.25

Розв'язати задачу Коші та побудувати ізокліну, якщо: $y''-4y'+3y=0$, $y(0)=0$, $y'(0)=1$.

y=function('y')(x)
de=diff(y,x)-4*diff(y,x)+3*y==0
sol=desolve(de,y,[0,0])
show(sol)
y1(x)=sol
y1(x).plot(0,1,rgbcolor='red')