Semesteroppgave 3

Av Christian Fredrik Tollefsen og Markus Jarl Renberg

Oppgavetekst:

Lag en forelesning om komplekse tall. Forelesningen skal vare i 20 minutter og det skal redegjøres for følgende:

komplekse tall på kartesisk form
komplekse tall på polar form
komplekse tall på eksponential form
utregning av $\sqrt i$

Filene som leveres skal representere en ”utskrevet” versjon av forelesningen; denne versjonen skal i prinsippet kunne benyttes som en ren ”lese tekst” og skal kunne benyttes uavhengig av en muntlig fremføring.

På sommerkurset lærte vi at hvis vi fikk $\sqrt {-n}$ som svar på en oppgave, der $n$ var et rasjonelt, positivt tall, var ikke svaret definert.

Så, omtrent halvveis inn i FE-MAT1000, lærte vi et nytt begrep.

Komplekse tall

Tanken bak komplekse tall var å ha en løsning på et tidligere kjent problem, $\sqrt {-n}$ : $\hspace{8mm} \sqrt{-1} \equiv i$

Siden $\sqrt {-1} $ er definert som $i$, vil $i^2 = -1$. Slik kan vi også finne ut at

$i^3 = i^2 \cdot i = (-1) \cdot i = -i$

$i^4 = i^2 \cdot i^2 = (-1) \cdot (-1) = 1$

Slik fortsetter verdiene av i-ene. På programmerings-språk, ville vi sagt at $i^n = $ $i^{n \% 4} \hspace{4mm} ; \hspace{4mm} \% = $ Modulo.

La oss si at vi har $i^{316}$.

$i^{316\%4} = 0$

$i^0 = 1$

Dette vil si at om vi skulle grafet $i^{316}$, med $r = 1$ og $\varphi = \frac{\pi}{2}$, ville kurven ha ligget på x-aksen, til høyre, og rotert med et intervall på $\frac{\pi}{2}$ hver gang vi legger til 1 i eksponenten, som vist i bildet under.

from IPython.display import Image
Image(url='http://i.imgur.com/NqA1lEN.jpg')

Komplekse tall på kartesisk form

For å grafe på vanlig måte, oppga vi funksjonen $f(x)$ som den generelle formelen for førstegradslikninger: $f(x) = ax + b$.

Tilsvarende kan vi grafe komplekse tall, med den generelle formelen: $z = a+bi$

Her bestemmer $a$ koordinatet på x-aksen, mens $bi$ bestemmer koordinatet på den imaginære aksen.

La oss velge et tilfeldig stykke. Vi velger oss $-1 + \sqrt {-3}$. Siden $\sqrt {-3}$ ikke er definert, bruker vi definisjonen av $i$ til å løse problemet.

$-1 + \sqrt {-3} = -1 + \sqrt {-1} \cdot \sqrt 3 $

$= -1 + i \cdot \sqrt 3$

$= -1 + \sqrt 3 i$

Grafen til $z = -1 + \sqrt {3}i $ vil dermed se slik ut:

from IPython.display import Image
Image(url='http://i.imgur.com/KR4mcql.jpg')

Løsing av problemer på kartesisk form

Vi kan også løse andre typer problemer med kartesisk form. Gitt tallene

$z = -1 + \sqrt 3 i$

$w = 1 - \sqrt 2 i$

kan vi løse utrykket $\Large \frac{z}{w}$.

Det går ikke ann å dele på vanlig måte med komplekse tall. Derimot så har vi det konjugerte tallet til $w$.

Det konjugerte tallet til $w$ er definert som $\bar{w} = a - bi$. For å få dette tallet, bytter vi fortegn på den imaginære delen av utrykket $w = a + bi$, så $\bar{w} = a - bi$.

$\bar{w} \cdot w$ gir alltid et positivt, rasjonelt tall. Dette bruker vi til vår fordel når vi går videre til løsningen. For å løse $\Large \frac{z}{w}$, må vi definere hva deling er med komplekse tall.

En annen måte å skrive $\Large \frac{z}{w}$ på, er $z \cdot w^{-1}$. Å dele imaginære tall med et positivt rasjonelt tall er en gyldig operasjon.

For å definere hva $w^{-1}$ er, går vi fram slik:

$\Large w \cdot \bar{w} \cdot w^{-1} = \bar{w}$

$\Large \frac{w \cdot \bar{w} \cdot w^{-1}}{w \cdot \bar{w}} = \frac{\bar{w}}{w \cdot \bar{w}}$

$\Large w^{-1} = \frac{\bar{w}}{w \cdot \bar{w}}$

Nå som vi har definert hva deling med imaginære tall er, kan vi sette inn for $z$ og $w$:

$\frac{1 + \sqrt 2 i}{(1 - \sqrt 2 i) (1 + \sqrt 2 i)} = w^{-1}$

Når vi utfører operasjonen $\Large \frac{\bar{w}}{w \cdot \bar{w}}$, velger vi å ikke stryke $\bar{w}$ i teller mot den i nevner. Når vi dermed løser ut nevneren, vil den imaginære delen i nevneren $w \cdot \bar{w}$ være lik null, og vi står igjen med $\Large \frac{\bar{w}}{w \cdot \bar{w}}$ $=$ $\Large \frac{\bar{w}}{a^2 + b^2}$

$\frac{1 + \sqrt 2 i}{1 + 2 \cdot (-1)} = w^{-1} \Rightarrow$ $\frac{1 + \sqrt 2 i}{-1} = w^{-1}$

La oss bruke $w^{-1}$ til å løse problemet $\Large \frac{z}{w}$.

$(-1 + \sqrt 3 i) \cdot$ $\Large \frac{1 + \sqrt 2 i}{-1} \Rightarrow$

$\Large \frac{z}{w}$ $= (-1 - \sqrt 2 i) (-1 + \sqrt 3 i)$

Slik løser vi deling med komplekse tall på kartesisk form. Men det er sjeldent at man bruker kartesisk form til å løse slike problemer.

Komplekse tall på polarform

Komplekse tall på polarform, eller komplekse tall på trigonometrisk form, er en utdatert, men nyttig form for å utrykke polarkoordinater på det komplekse planet.

Polarkoordinater er vektorer fra origo, altså vektorer.

Her bruker vi $r$ og $\varphi$ til å utrykke grafen til $i$, der $r$ er lengden fra origo (også kjent som $|Z|$), og $\varphi$ er vinkelen fra origo.

Polarform blir uttrykt på måten $z = a + bi = r \cdot (\cos{\varphi} + i \cdot \sin{\varphi})$ der

$\hspace{8mm} \cos{\varphi} = \frac{a}{r} \Rightarrow \varphi = \cos^{-1}({\frac{a}{r})}$ og

$\hspace{8mm} r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.

La oss skrive tallet $z = -1 + \sqrt 3 i$ på polarform.

$r = \sqrt{(-1)^2 + \sqrt{3}^2} \Rightarrow r = \sqrt{4} = 2$

$\varphi = \cos^{-1}{(\frac{-1}{2})} = \frac{2\pi}{3} eller \frac{5\pi}{3}$

Vi kan også bruke $sin$-funksjonen til å beregne $\varphi$. Dermed får vi to verdier for $\varphi$, så vi kan vite om vi er i riktig kvadrant av enhetssirkelen.

$\varphi = \sin^{-1}{(\frac{\sqrt{3}}{2})} = \frac{\pi}{3} eller \frac{2\pi}{3}$

$\varphi = \frac{2\pi}{3}$ er gjentatt i begge svarene. Dermed oppfyller den begge kravene, og polarformen blir dermed $\Large z$ $ = 2(\cos{\frac{2\pi}{3}} + i \cdot \sin{\frac{2\pi}{3}})$.

Hvis vi skal grafe dette, bruker vi $\varphi$ som vinkel, og $r$ som lengden på grafen. Det gjøres slik:

from IPython.display import Image
Image(url='http://i.imgur.com/vtaFyHo.jpg')

Utregning av $\large z_1 \cdot z_2$

Hvis $\large z_1 = r_1$$(cos\varphi_1 + i\cdot sin \varphi_1)$ og $\large z_2 = r_2$$(cos\varphi_2 + i\cdot sin \varphi_2)$ så er:

$\large z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 [cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \cdot sin(\varphi_1 + \varphi_2)]$

La oss nå løse et ordentlig matteproblem. Gitt tallene $\large z$ $= -1 + \sqrt 3 i$ og $\large w$ $= 1 - \sqrt 2 i$, løs $z \cdot w$.

Først må vi finne $w$ på polarform. Vi har allerede funnet at $\large z$ $ = 2(\cos{\frac{2\pi}{3}} + i \cdot \sin{\frac{2\pi}{3}})$ så vi slipper å finne den igjen.

$r = \sqrt{1^2 + \sqrt{2}^2} = \sqrt{1+2} = \sqrt 3$

$\varphi = cos^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{3\pi}{4} eller \frac{7\pi}{4}$

$\varphi = sin^{-1}(-\frac{\sqrt 2}{2}) = \frac{\pi}{4} eller \frac{3\pi}{4}$

$\varphi = \frac{3\pi}{4}$

$w = 2(cos(\frac{3\pi}{4}) + i \cdot sin(\frac{3\pi}{4}))$

$z \cdot w = 2 \cdot \sqrt 3 [cos(\frac{2\pi}{3} + \frac{3\pi}{4}) + i \cdot sin(\frac{2\pi}{3} + \frac{3\pi}{4})]$

$= 2\sqrt 3 [cos(\frac{17\pi}{12}) + i \cdot sin(\frac{17\pi}{12})]$

$= \frac{(1 - i) (\sqrt 3 - 3 i)}{\sqrt 2}$

Komplekse tall på eksponentialform og $\sqrt i$

La $\varphi$ være en vinkel. Da er

$e^{i\pi} = cos \varphi + i \cdot sin \varphi $

Du kan kanskje se sammenhengen mellom polarform og eksponentialform allerede. Vi kan nemlig angi et komplekst tall $z = a + b \cdot i = r \cdot (cos{\varphi} + i \cdot sin{\varphi})$ i en tredje form:

$\hspace{8mm} \large z = r \cdot e^{i \varphi}$

La oss skrive det komplekse tallet $z = -1 + \sqrt{3}$ på eksponentialform.

Tidligere fant vi ut at $r = 2$, og at $\varphi = \frac{2\pi}{3}$

Eksponentialformen blir da $ z = 2 \cdot$ $\large e^{i\frac{2\pi}{3}}$

La oss nå bruke eksponentialformen til å regne ut $\Large \frac{z^{13}}{w^3}$ $; z = -1 + \sqrt 3$ og $w = 1 - \sqrt 2 i$.

$\Large \frac{z^{13}}{w^3} = \frac{(-1 + \sqrt 3)^{13}}{(1 - \sqrt 2 i)^3}$ $=$ $\Large \frac{(2 \cdot e^{i\frac{2\pi}{3}})^{13}}{(\sqrt{3} \cdot e^{i \frac{3\pi}{4}})^3}$ $=$ $\Large \frac{2^{13} \cdot e^{i\frac{26\pi}{39}}}{\sqrt{3}^3 \cdot e^{i \frac{9\pi}{12}}}$

$\large = \frac{2^{13}}{\sqrt{2}^3} \cdot e^{i\pi \frac{26}{39} - \frac{9}{12}}$

$= \frac{2^{13}}{\sqrt{2}^3} \cdot e^{i \frac{-1\pi}{12}}$

Dette er den simpleste formen vi kan gjøre den om til i dette tilfellet. I andre tilfeller står vi ofte igjen med et tall på formen $a + bi$.

Roten av $i$

Beviset for at $\sqrt i$ er et komplekst tall:

$\large i = \frac{1}{2} + i - \frac{1}{2} = \frac{1 + 2i -1}{2} = \frac{1 + 2i + i^2}{2} = \frac{(1+i)^2}{2} = i \Rightarrow$

$\large \sqrt i = \sqrt{\frac{(1 + i)^2}{2}} = \frac{1+i}{\sqrt 2}$

Nå som vi vet at $\sqrt i$ er et komplekst tall, kan vi skrive $\sqrt i$ som

$\sqrt i = a + bi \Rightarrow i = (a+bi)^2$

$i = a^2 - b^2 + 2abi$

$a^2 - b^2 = 0 \hspace{4mm} ; \hspace{4mm} 2ab = 1 \Rightarrow a = b \hspace{4mm}$

Vi kan nå representere dette geometrisk:

from IPython.display import Image
Image(url='http://i.imgur.com/4Ietdjf.jpg')

Dette kan vi også løse på eksponentialform:

$\large i = e^{i\frac{\pi}{2}}$

$\large \sqrt i_1 = e^{i\frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{2}} = e^{i \frac{\pi}{4}}$

Når vi tar kvadratroten av et reelt tall, så får vi ofte ut et positivt og et negativt svar. Derimot så er det ikke alltid slik. På imaginær form får vi ut to svar, separert med $2\pi$ på enhetssirkelen.

$\large \sqrt i_2 = \sqrt{e^{i\frac{\pi}{2} + 2\pi}} \Rightarrow$

$\large \sqrt i_2 = \sqrt{e^{i\frac{5\pi}{2}}} =$

$\large \sqrt i_2 = e^{i\frac{5\pi}{4}} $

$\large \sqrt i_1 = e^{i \frac{\pi}{4}} \hspace{4mm} ; \hspace{4mm} \sqrt i_2 = e^{\frac{5\pi}{4}}$

$\sqrt i$ på polarform:

$\large i_1 = 1 \cdot (cos{\frac{\pi}{4}} + i \cdot sin{\frac{\pi}{4}})$

$\large i_2 = 1 \cdot (cos{\frac{5\pi}{4}} + i \cdot sin{\frac{5\pi}{4}})$

from IPython.display import Image
Image(url='http://i.imgur.com/EKcRy6A.jpg')

Kilder

Mathema 1 (2. oppslag, 2011) Tapir Akademisk Forlag, Trondheim 2007