Linearna algebra

Zadatak 1

Zadajte simboličke matrice $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right],\quad \mathbf{B}=\left[\begin{array}{cc}b_{11}&b_{12}\\ b_{21} & b_{22}\end{array}\right],$ te izračunajte matricu $\mathbf{C}$ definiranu izrazom $\mathbf{C}=\mathbf{AB}-\mathbf{BA}.$ Kada bi $\mathbf A$ i $\mathbf B$ bili brojevi a ne matrice, kolika bi bila vrijednost $\mathbf C$ ?

Matrica je pravokutna tablica brojeva. Matrica reda m x n ima m redaka i n stupaca. Zadana matrica $\mathbf{A}$ je reda 2x2. Vidi ovaj link, ali ne ovaj !

A = matrix(2, 2, var('a11', 'a12', 'a21', 'a22'))
show(A)
show(A*A)  # Matrice se mogu množiti pod određenim uvjetima na njihove redove (detaljnije ćete vidjeti u Matematici 1) i rezultat množenja je opet matrica. Umnožak dvije matrice A i B realiziramo koristeći operator * , isto kao i kod množenja brojeva, A*B

# Matrice istog reda se mogu i zbrajati i oduzimati korištenjem standarnih operatora + i - i rezultat ovih operacija je opet matrica

Zadatak 2

Unesite dvije matrice, $\mathbf A$ i $\mathbf B$ , čiji matrični elementi su brojevi, koje su obje kvadratne, regularne i reda barem 3x3. Izračunajte:

$\det(\mathbf A)\det(\mathbf{A}^{-1})$ i
$\det(\mathbf{A}\mathbf{B})-\det(\mathbf A)\det(\mathbf B)$

Ovdje $\mathbf{A}^{-1}$ označava matricu inverznu matrici $\mathbf A$ , a $\det(\mathbf A)$ označava determinantu matrice $\mathbf A$ . Determinanta matrice je broj. Više o tome u Matematici 1.

Matrica je kvadratna ako ima jednak broj redaka i stupaca. Znači kvadratne matrice su uvijek reda m x m.

U trenutku rješavanja ovog labosa još vjerojatno ne znate za pojam regularna matrica. Bit će dovoljno da unesete neke dvije matrice $\mathbf A$ i $\mathbf B$ , takve da su im determinante različite od nule. Vidjet ćete kasnije u Matematici 1 da je to upravo jedna od karakterizacija regularnih matrica.

A = matrix(2, 2, [1, 2, 0, 1]) # Definirali smo matricu A sa konkretnim brojevima. A je reda 2x2.
show(A)
show(A.det()) # Determinanta matrice A
show(A.inverse()) # Matrica inverzna matrici A

Zadatak 3

Definirajte simboličke matrice
ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \matrix at position 17: …mathbf A=\left[\̲m̲a̲t̲r̲i̲x̲{\alpha_{1,1}&\…

Izračunajte $\det \mathbf B$ i $\mathbf A^{-1}$ .

def simbolicka_matrica(v, n):
    xevi = list(var(v + '_%d%d' %(i,j)) for i in interval(1, n) for j in interval(1, n))
    return matrix(n, xevi)

A = simbolicka_matrica('alpha', 2)

show(A)

# Da si olakšate, koristite definiranu rutinu simbolicka_matrica().

Zadatak 4

Unesite matricu ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \matrix at position 17: …mathbf A=\left[\̲m̲a̲t̲r̲i̲x̲{{\sqrt2\over 2…

Izračunajte $\mathbf{A}^{2n}$ za $n\in\{1,2,\ldots,10\}$ .

### Napomena: potenciranje matrica se, kao i kod brojeva, radi pomoću operacije ^

Zadatak 5

Unesite neku kvadratnu matricu $\mathbf B$ , čiji matrični elementi su brojevi, oblika $2\times 2$ . Nacrtajte vektore $\vec x=(1,0)$ i $\vec y=(0,1)$ redom u crvenoj i plavoj tamnoj boji, te vektore $\mathbf B\vec x$ i $\mathbf B\vec y$ u svijetlim tonovima istih boja.

x = vector([1, 0])
y = vector([0, 1])
vx = arrow((0, 0), x, color=(0.7, 0, 0)) # Vektor na crtežu reprezentiramo strelicom sa početkom u ishodištu koordinatnog sustava i vrhom u točki čije su koordinate određene vektorom. Boja je zadana u (red, green, blue) obliku, kao kombinacija osnovne tri boje. Intenzitet svake od osnovne tri boje zadan je brojem između 0 i 1.
vy = arrow((0, 0), y, color=(0, 0, 0.7))

# Primjena matrice na vektor se isto piše kao operacija množenja između matrica.

show(vx+vy, aspect_ratio=1)

Primjer

U ovisnosti o (interaktivno zadanim) parametrima $l,m\in[-1,1]$ nacrtajte u prostoru plohu $x^2+y^2+lz^2=m.$

x,y,z = var('x, y, z')
@interact
def _(l=(-1,1), m=(-1,1)):
    P = implicit_plot3d( x^2+y^2+l*z^2==m, (x,-2,2), (y,-2,2), (z,-2,2), color='black')
    show(P)

Zadatak 6

Nacrtajte u prostoru ravnine zadane formulama $3x+2y+z=0$ (žute boje) i $x-y-z=0$ (zelene boje), te vektore $(3,2,0)$ i $(1,-1,-1)$ , crvenom i plavom bojom.

Zadatak 7

Unesite neku kvadratnu matricu $\mathbf A$ , čiji matrični elementi su brojevi, reda $3\times3$ . Za interaktivno zadani realan broj $\lambda\in[-10,10]$ ispišite sljedeće vrijednosti:

$\mathbf A-\lambda \mathbf I$ ,
$\det(\mathbf A-\lambda \mathbf I)$ i
$\mathop{{\mathrm{r}}}(\mathbf A-\lambda \mathbf I)$ , gdje je $\mathrm{r}$ rang matrice.

Matrica $\mathbf I$ označava specijalnu matricu koju zovemo matrica identiteta. Rang matrice $\mathbf A$ je cijeli nenegativan broj. Više o rangu matrice u Matematici 1.

A = matrix(2, 2, [1, 2, 0, 0])
show(A)
show(A.det())
show(A.rank()) # Rang matrice A

#Primijetite da se matrica može množiti s realnim brojem. Rezultat je matrica istog reda
show(5*A)