# Kaip papildyti vektorių sistemą iki erdvės bazės?

def papildom_poerdviai(W, V):
    """
    Gražina tiesinės erdvės V poerdvio W papildinio iki V bazę. 
    Kitaip sakant, randa tokį poerdvį U, kad V yra W ir U tiesioginė 
    suma ir gražina jo bazę.
    """
    Q, pi, lift = V.quotient_abstract(W)
    Basis = [lift(v) for v in Q.basis()]
    return Basis

# pi   yra projekcijos atvaizdis iš erdvės V į faktorerdvę V/W: pi(v) = v + W.
# lift yra "atvirkštinis" atvaizdis iš faktorerdvės Q = V/W  į  erdvę V, tenkinantis 
# lygybę pi(lift(u)) = u  su visais u iš Q.


def papildom(vec, V):
    """
    Tiesinės erdvės V vektorių šeimą vec papildo vektoriais v1,..., vn iki 
    erdvės V bazės ir gražina papildytus vektorius v1,..., vn.
    """
    return papildom_poerdviai(V.span(vec), V)

A_eilutes = [[244,-103,-92,24,71,-24,37,-16],
    [697,-297,-265,67,203,-68,112,-48],
    [781,-336,-294,77,227,-76,124,-54],
    [341,-148,-129,37,97,-32,56,-25],
    [781,-336,-297,76,230,-76,125,-54],
    [-21,13,6,3,-3,3,-12,4],
    [341,-148,-129,34,97,-32,59,-25],
    [-571,246,217,-52,-167,56,-94,42]]
A = matrix(QQ,8,8,A_eilutes)

# 5 pavyzdys. Rasime matricos
show(A)

# Žodano formą ir atitinkamą bazę.

# Randame matricos charakteristinį polinomą:

p = A.charpoly(var = 't')
show(p.factor())

# Nagrinėjame matricą B := A-3*E ir skaičiuojame jos laipsnių branduolių dimensijas:
B = A - 3*matrix.identity(8)
show(B)

# Matricos B branduolys ker B ir jo dimensija:
L1 = B.left_kernel()
L1.dimension()

# Matricos B^2 branduolys ker B^2 ir jo dimensija:
L2 = (B**2).left_kernel()
L2.dimension()

# Matricos B^3 branduolys ker B^3 ir jo dimensija:
L3 = (B**3).left_kernel()
L3.dimension()

# Poerdvio L2 bazę pildant iki erdvės L3 bazės, reikia pridėti 1 vektorių, kurį 
# atitiks lygiai vianas 3-os eilės Žordano langelis.
# Rasime šį vektorių:

v1 = papildom(L2.basis(), L3)[0]
v1

# Suskaičiuojame dar du vektorius:

v2 = v1*B  # priklauso L2
v3 = v2*B  # priklauso L1
v2
v3

# Vektorius v1, v2 ir v3 atitinka lygiai vianas 3-os eilės Žordano langelis. 

# Poerdvio L1 bazę pildant iki erdvės L2 bazės, reikia pridėti 3 vektorius.
# Vieną vektorių jau turime: vektorius v2 priklauso L2, bet nepriklauso L1.
# Taigi vektorių šeimą {v2, L1 bazė} pildant iki L2 bazės, reikės pridėti 
# lygiai 2 vektorius. Kiekvieną iš šių vektorių atitiks 2-os eilės Žordano 
# langelis. Rasime šiuos vektorius:

vektoriai = papildom(L1.basis()+[v2], L2)
v4 = vektoriai[0]
v6 = vektoriai[1]
v4
v6

# Suskaičiuojame dar du vektorius:

v5 = v4*B  # priklauso L1
v7 = v6*B  # priklauso L1
v5
v7

# Vektorius v4, v5 atitinka vienas 2-os eilės Žordano langelis, o 
# vektorius v6, v7 -- dar vienas 2-os eilės Žordano langelis.

# Poerdvyje L1 turime 3 tiesiškai nepriklausomus vektorius v3,v5 ir v7.
# Šią vektorių šeimą pildant iki erdvės L1 bazės, reikės pridėti vieną 
# vektorių. Rasime šį vektorių:

v8 = papildom([v3,v5,v7], L1)[0]
v8

# Taigi radome Žordano bazę v1,v2,...,v8. 
# Perėjimo matrica (iš standartinės bazės į Žordano bazę):

T = matrix(QQ,8,8,[v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7,v8])
show(T)

# Pradinės matricos Žordano matrica:

show(T*A*(T^(-1)))