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Kurvenintegrale

Ein Kurvenintegral ist eine Verallgemeinerung des bestimmten Integrals, bei dem eine Funktion entlang einer Kurve im Raum integriert wird.

Genauer: Für eine Funktion $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ und eine Parameterdarstellung der Kurve $\gamma: [a,b] \to \mathbb{R}^n$ , definiert man das Kurvenintegral als $\int_\gamma f(\mathbf{x})\, ds = \int_a^b f(\gamma(t)) \|\gamma'(t)\| dt,$ wobei $ds$ das Längenmaß auf der Kurve ist.

$\|\gamma'(t)\|$ ist die Länge (Norm) von $\gamma'(t)$ , dem Vektor der Ableitungen der Funktionen, die die Kurve im Raum definieren, nach $t$ . Mit dieser Definition ist der Wert des Kurvenintegrals unabhängig von der Art der Parametrisierung der Kurve.

Für Vektorfelder $\mathbf{F}$ bezeichnet das Kurvenintegral häufig $\int_\gamma \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s} = \int_a^b \mathbf{F}(\gamma(t)) \cdot \gamma'(t) dt,$ was z.B. Arbeit beschreibt, die entlang eines Weges verrichtet wird. Dabei ist das Produkt innerhalb des Integrals das Skalarprodukt des Vektors der Komponenten der Werte von $\mathbf{F}$ bei $\gamma(t)$ mit dem Vektor der Ableitungen der Komponenten des Arguments - also $\gamma'(t)$ . Das ist nur möglich, wenn der Wertebereich der Funktion $\mathbf{F}$ dieselbe Dimension hat wie der Raum der Argumente: $\mathbf{F}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ .

Kurz: Das Kurvenintegral integriert Funktionen bzw. Vektorfelder entlang eines Pfades im Raum.

Kann man Kurvenintegrale auch für Vektorfelder $\mathbb{F}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ definieren, wenn $m \neq n$ ist?

Beispiel: Kurvenintegral eines Skalarfeldes

Ein einfaches Beispiel ist das Kurvenintegral des Skalarfeldes $f(x,y) = x + y$ entlang der Kurve $C$ von $A=(0,0)$ nach $B=(1,1)$ auf der Geraden $y = x$ .

Berechnung:

\int_C f(x,y) \, ds = \int_0^1 (x + x) \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 } \, dt

Parametrisierung: $\gamma(t) = (t,t), \quad t \in [0,1]$

f(\gamma(t)) = t + t = 2t

\left\|\gamma'(t)\right\| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}

Integral:

\int_0^1 2t \cdot \sqrt{2} \, dt = \sqrt{2} \int_0^1 2t \, dt = \sqrt{2} \cdot [t^2]_0^1 = \sqrt{2} \cdot 1 = \sqrt{2} \neq 0

Das Kurvenintegral ist also $\sqrt{2}$ .

In [4]:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Parameter
t = np.linspace(0, 1, 100)
r = np.vstack((t, t))  # Parametrisierung r(t) = (t, t)

# Skalarfeld f(x,y) = x + y
f = r[0] + r[1]

# Plot
plt.figure(figsize=(6,6))
plt.plot(r[0], r[1], label='Kurve C: y=x von (0,0) nach (1,1)', color='blue')

# Farbgebung der Punkte entlang der Kurve nach Feldwert f
sc = plt.scatter(r[0], r[1], c=f, cmap='viridis', label='Werte von f(x,y)', s=50)
plt.colorbar(sc, label='$f(x,y) = x+y$')

plt.xlabel('$x$')
plt.ylabel('$y$')
plt.title('Visualisierung des Skalarfeldes $f(x,y) = x+y$ auf Kurve $C$')
plt.axis('equal')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

Out[4]:

Mehr Beispiele

Beispiel: Kurvenintegral eines Vektorfeldes

Betrachten wir das Kurvenintegral eines Vektorfeldes $\mathbf{F}(x,y) = (y, x)$ entlang der Kurve $\gamma$ auf dem Kreisbogen des Einheitskreises von $(1,0)$ nach $(0,1)$ .

Definition der Kurve:

\gamma(t) = (\cos t, \sin t), \quad t \in [0, \frac{\pi}{2}]

Vektorfeld:

\mathbf{F}(x,y) = (y, x)

Kurvenintegral:

\int_{\gamma} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s} = \int_0^{\pi/2} \mathbf{F}(\gamma(t)) \cdot \gamma'(t) dt

Berechne zuerst: $\gamma'(t) = (-\sin t, \cos t)$ $\mathbf{F}(\gamma(t)) = (\sin t, \cos t)$

Skalarprodukt: $\mathbf{F}(\gamma(t)) \cdot \gamma'(t) = \sin t \cdot (-\sin t) + \cos t \cdot \cos t = -\sin^2 t + \cos^2 t$

Integral: $\int_0^{\pi/2} (\cos^2 t - \sin^2 t) dt$

Berechnung

In [5]:

import sympy as sp
t = sp.symbols('t')
f = sp.cos(t)**2 - sp.sin(t)**2
integral = sp.integrate(f, (t, 0, sp.pi/2))
integral

Out[5]:

$\displaystyle 0$

Visualisierung der Kurve und des Vektorfeldes

In [3]:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

t_vals = np.linspace(0, np.pi/2, 100)
x_vals = np.cos(t_vals)
y_vals = np.sin(t_vals)

X, Y = np.meshgrid(np.linspace(-0.2,1.2,20), np.linspace(-0.2,1.2,20))
U = Y
V = X

plt.figure(figsize=(6,6))
plt.plot(x_vals, y_vals, 'r-', label='Kurve $\\gamma$')
plt.quiver(X, Y, U, V, color='b', alpha=0.5)
plt.scatter([1,0], [0,1], color='red')  # Start- und Endpunkt
plt.title('Kurve und Vektorfeld $\\mathbf{F}(x,y) = (y,x)$')
plt.legend()
plt.axis('equal')
plt.grid(True)
plt.show()

Out[3]:

From: GPT-4.1 Mini Date: Thu Oct 02 2025 20:26:17 GMT+0200 (Mitteleuropäische Sommerzeit)

Das Integral ist $\int_0^{\pi/2} (\cos^2 t - \sin^2 t) dt = \int_0^{\pi/2} \cos(2t) dt,$ weil gilt: $\cos^2 t - \sin^2 t = \cos(2t)$ .

Nun: $\int_0^{\pi/2} \cos(2t) dt = \left.\frac{\sin(2t)}{2}\right|_0^{\pi/2} = \frac{\sin(\pi)}{2} - \frac{\sin(0)}{2} = 0.$

Erklärung: Die positive und negative Arbeit der Vektorfeld-Komponenten heben sich entlang dieses Kurvenabschnitts genau auf, so dass sich kein Netto-Beitrag ergibt. Alternativ bedeutet es, dass das Feld "keine Arbeit" entlang dieses Weges verrichtet.

From: GPT-4.1 Mini Date: Thu Oct 02 2025 20:27:15 GMT+0200 (Mitteleuropäische Sommerzeit)

In der Visualisierung sieht man:

Die Kurve verläuft vom Punkt $(1,0)$ nach $(0,1)$ auf dem Kreisbogen.
Das Vektorfeld $\mathbf{F}(x,y) = (y, x)$ zeigt entlang der Kurve Vektoren, die teils parallel, teils antiparallel zur Kurvenrichtung sind.
Durch die Mischung positiver und negativer Beiträge (Richtung der Vektoren relativ zum Weg) heben sich die Arbeitselemente auf.
Insgesamt entsteht daher keine Nettoarbeit, was das Integral $0$ erklärt.

Kurz: Die entgegengesetzte Ausrichtung der Feldvektoren entlang der Kurve ist in der Grafik erkennbar.