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Representing a vector as linear combination (in German)

Views: 510
License: OTHER
Image: ubuntu2004
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Kernel: SageMath 9.4

Dieses Material ist lizensiert unter der Lizemz Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License Creative Commons License.

Darstellung eines Vektors als Linearkombination

In diesem Notebook lernen Sie, wie man einen Vektor als Linearkombination anderer Vektoren darstellt.

Als Beispiel betrachten wir die auch in diesem Video

behandelte Aufgabe, den Vektor b⃗=(234)\vec{b} = \begin{pmatrix}2 \\ 3 \\ 4\end{pmatrix} als Linearkombination der Vektoren a⃗1=(323),a⃗2=(210),a⃗3=(101)\vec{a}_1 = \begin{pmatrix}3 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix},\vec{a}_2 = \begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}, \vec{a}_3 = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} darzustellen.

Wir suchen also Koeffizienten a,b,ca,b,c, so dass aa⃗1+ba⃗2+ca⃗3=a(323)+b(210)+c(101)=(234).a \vec{a}_1 + b\vec{a}_2 + c \vec{a}_3 = a \begin{pmatrix}3 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix}+ b \begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} + c \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ 3 \\ 4\end{pmatrix}.

Zum Verständnis dieser Seite sollten Sie mit dem Lösen von linearen Gleichungssystemen vertraut sein. Diese Aufgaben sollte Ihnen keine Probleme bereiten.

b0=vector([2,3,4])
a1=vector([3,2,3])
a2=vector([2,1,0])
a3=vector([1,0,1])

Werfen wir zunächst einen Blick auf die Lage dieser Vektoren im Raum.

o=vector([0,0,0])
p=arrow(o,b0,color="green")
p1=arrow(o,a1)
p2=arrow(o,a2)
p3=arrow(o,a3)
show(p+p1+p2+p3, viewer="threejs")
Graphics3d Object

Wir sehen, dass die 3 blauen Vektoren a⃗1,a⃗2,a⃗3\vec{a}_1, \vec{a}_2,\vec{a}_3 nicht alle in einer Ebene liegen. Sie sind also linear unabhängig. Wir suchen Zahlen a,b,ca,b,c, so dass a⋅a⃗1+b⋅a⃗2+c⋅a⃗3=b⃗a\cdot\vec{a}_1+b\cdot\vec{a}_2+c\cdot\vec{a}_3=\vec{b} ist. Daraus ergibt sich für jede der 3 Komponenten eine Gleichung in den Variablen a,b,ca,b,c. Diese Gleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem GSGS.

var('a,b,c')
g0 = a*a1[0]+b*a2[0]+c*a3[0] == b0[0]
g1 = a*a1[1]+b*a2[1]+c*a3[1] == b0[1]
g2 = a*a1[2]+b*a2[2]+c*a3[2] == b0[2]
GS = [g0,g1,g2]
show(GS)

Wir lösen das Gleichungssystem GSGS:

sol=solve(GS,a,b,c)
show(sol)

Wir entnehmen der Lösung die gefundenen Koeffizienten und setzen sie in die Linearkombination aa⃗1+ba⃗2+ca⃗3=b⃗a \vec{a}_1 + b\vec{a}_2 + c \vec{a}_3 = \vec{b} ein.

ca=sol[0][0].rhs()
cb=sol[0][1].rhs()
cc=sol[0][2].rhs()
ca*a1+cb*a2+cc*a3==b0
True

Kontrollaufgabe: