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Etude du trou noir BTZ et de l'espace-temps anti-de Sitter en dimension 2+1.

Path: BTZ.ipynb
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Kernel: SageMath 10.1
%display latex
Parallelism().set(nproc=8)

This notebook was written under the supervision of Éric Gourgoulhon (LUTH) as part of my physics internship in July 2023.

Author : Nicolas Seroux

Gravitation en 2+12+1 dimensions et trou noir BTZ

Espace-temps anti-de Sitter

Définitions préliminaires

On commence par définir l'espace temps anti-de Sitter à trois dimensions comme une sous variété R2,2\mathbb{R}^{2,2}.

On distinguera l'espace-temps AdS2+1≈SL2(R)≈S1×R2\mathrm{AdS}_{2+1}\approx\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})\approx\mathbb{S}^1\times\mathbb{R}^2 de son recouvrement universel Ads~2+1≈R3\widetilde{\mathrm{Ads}}_{2+1}\approx\mathbb{R}^3.

AdS = Manifold(3, 'AdS', latex_name=r'\mathrm{AdS}_{2+1}', structure='Lorentzian')
UAdS = Manifold(3, 'UAdS', latex_name=r'\widetilde{\mathrm{AdS}}_{2+1}', structure='Lorentzian')

Les symétries des espaces anti-de Sitter permettent de considérer des coordonnées de type sphérique :

X_AdS.<t,r,ph> = AdS.chart(r't r:(0,+oo) ph:(-pi,pi):\varphi:periodic')
X_UAdS.<t,r,ph> = UAdS.chart(r't r:(0,+oo) ph:\varphi')

On introduit l'espace vectoriel R2,2\mathbb{R}^{2,2} comme une variété pseudo-riemannienne munie de coordonnées cartésiennes et sphériques :

R22 = Manifold(4, 'R22', r'\mathbb{R}^{2,2}', structure='pseudo-Riemannian', signature=0, metric_name='eta', metric_latex_name=r'\eta')

X_Cart.<u,v,x,y> = R22.chart()
F_Cart = X_Cart.frame()

X_Sph.<u,v,r,ph> = R22.chart(r'u v r:(0,+oo) ph:(-pi,pi):\varphi:periodic')
F_Sph = X_Sph.frame()

trans_Sph_to_Cart = X_Sph.transition_map(X_Cart, [u, v, r*cos(ph),r*sin(ph)], restrictions2=(x^2+y^2!=0))
trans_Sph_to_Cart.set_inverse(u, v, sqrt(x^2+y^2),2*arctan(y/(sqrt(x^2+y^2)+x)), check=False)

trans_Cart_to_Sph = trans_Sph_to_Cart.inverse()

La métrique η\eta sur R2,2\mathbb{R}^{2,2} est plate :

eta = R22.metric()

eta[0,0], eta[1,1], eta[2,2], eta[3,3] = -1, -1, 1, 1

eta.display(X_Sph)

η=−du⊗du−dv⊗dv+dr⊗dr+r2dφ⊗dφ\displaystyle \eta = -\mathrm{d} u\otimes \mathrm{d} u-\mathrm{d} v\otimes \mathrm{d} v+\mathrm{d} r\otimes \mathrm{d} r + r^{2} \mathrm{d} {\varphi}\otimes \mathrm{d} {\varphi}

Plongement de AdS2+1\mathrm{AdS}_{2+1} dans R2,2\mathbb{R}^{2,2}

L'espace AdS2+1\mathrm{AdS}_{2+1} se plonge dans R2,2\mathbb{R}^{2,2} sur la sous-variété {(u,v,x,y)∈R2,2 ∣ −u2−v2+x2+y2=−ℓ2}\{(u,v,x,y)\in\mathbb{R}^{2,2}\,|\,-u^2-v^2+x^2+y^2=-\ell^2\}, i.e. {X∈R2,2 ∣ η(X,X)=−ℓ2}\{\mathbf{X}\in\mathbb{R}^{2,2}\,|\,\eta(\mathbf{X},\mathbf{X})=-\ell^2\}, où ℓ\ell est un paramètre qui donne la courbure de AdS2+1\mathrm{AdS}_{2+1}.

l = var('l', latex_name=r'\ell')
assume(l>0)

Le plongement est fourni par l'application Φ\Phi :

Phi = AdS.diff_map(R22, {(X_AdS, X_Sph) : [sqrt(r^2+l^2)*cos(t/l), sqrt(r^2+l^2)*sin(t/l), r, ph]},name='Phi', latex_name=r'\Phi')
Phi.display()

Φ:AdS2+1⟶R2,2(t,r,φ)⟼(u,v,x,y)=(ℓ2+r2cos⁡(tℓ),ℓ2+r2sin⁡(tℓ),rcos⁡(φ),rsin⁡(φ))(t,r,φ)⟼(u,v,r,φ)=(ℓ2+r2cos⁡(tℓ),ℓ2+r2sin⁡(tℓ),r,φ)\displaystyle \begin{array}{llcl} \Phi:& \mathrm{AdS}_{2+1} & \longrightarrow & \mathbb{R}^{2,2} \\ & \left(t, r, {\varphi}\right) & \longmapsto & \left(u, v, x, y\right) = \left(\sqrt{{\ell}^{2} + r^{2}} \cos\left(\frac{t}{{\ell}}\right), \sqrt{{\ell}^{2} + r^{2}} \sin\left(\frac{t}{{\ell}}\right), r \cos\left({\varphi}\right), r \sin\left({\varphi}\right)\right) \\ & \left(t, r, {\varphi}\right) & \longmapsto & \left(u, v, r, {\varphi}\right) = \left(\sqrt{{\ell}^{2} + r^{2}} \cos\left(\frac{t}{{\ell}}\right), \sqrt{{\ell}^{2} + r^{2}} \sin\left(\frac{t}{{\ell}}\right), r, {\varphi}\right) \end{array}

On identifie AdS2+1\mathrm{AdS}_{2+1} à l'image de Φ\Phi dans R2,2\mathbb{R}^{2,2}. On affiche ici la section de Φ(AdS2+1)\Phi(\mathrm{AdS}_{2+1}) dans le plan y=0y=0, qui correspond à l'image des points φ=0\varphi=0 et φ=π\varphi=\pi. 

graph_hyp = X_AdS.plot(X_Cart, mapping=Phi, ambient_coords=(x,u,v), fixed_coords={ph:0}, 
                    ranges={t:(-pi,pi), r:(0,2)}, number_values=9, 
                    color={t:'grey', r:'grey'}, thickness=1, parameters={l:1}, 
                    label_axes=False)

graph_hyp += X_AdS.plot(X_Cart, mapping=Phi, ambient_coords=(x,u,v), fixed_coords={ph:pi}, 
                    ranges={t:(-pi,pi), r:(0,2)}, number_values=9, 
                    color={t:'grey', r:'grey'}, thickness=1, parameters={l:1}, 
                    label_axes=False)

Phi_u_0, Phi_u_pi = Phi.coord_functions()[0](t,r,0).subs({l:1}), Phi.coord_functions()[0](t,r,pi).subs({l:1})
Phi_v_0, Phi_v_pi = Phi.coord_functions()[1](t,r,0).subs({l:1}), Phi.coord_functions()[1](t,r,pi).subs({l:1})
Phi_x_0, Phi_x_pi = Phi.coord_functions()[2](t,r,0).subs({l:1}), Phi.coord_functions()[2](t,r,pi).subs({l:1})

hyperboloid = parametric_plot3d([Phi_x_0, Phi_u_0, Phi_v_0], (t,-pi,pi), (r,0,2), color=(.8,.8,0.9))
hyperboloid += parametric_plot3d([Phi_x_pi, Phi_u_pi, Phi_v_pi], (t,-pi,pi), (r,0,2), color=(.8,.8,0.9))

graph_hyp += hyperboloid

show(graph_hyp, aspect_ratio=1, axes_labels=['x','u','v'])

La métrique sur AdS2+1\mathrm{AdS}_{2+1} est alors donnée par tiré-en-arrière selon Φ\Phi de la métrique plate η\eta :

gAdS = AdS.metric(name = 'g_{AdS}', latex_name=r'g_\mathrm{AdS}')
gAdS.set(Phi.pullback(eta))
gAdS.display()

gAdS=(−ℓ2+r2ℓ2)dt⊗dt+(ℓ2ℓ2+r2)dr⊗dr+r2dφ⊗dφ\displaystyle g_\mathrm{AdS} = \left( -\frac{{\ell}^{2} + r^{2}}{{\ell}^{2}} \right) \mathrm{d} t\otimes \mathrm{d} t + \left( \frac{{\ell}^{2}}{{\ell}^{2} + r^{2}} \right) \mathrm{d} r\otimes \mathrm{d} r + r^{2} \mathrm{d} {\varphi}\otimes \mathrm{d} {\varphi}

Recouvrement universel de AdS2+1\mathrm{AdS}_{2+1}

Le recouvrement universel AdS~2+1\widetilde{\mathrm{AdS}}_{2+1} de AdS2+1\mathrm{AdS}_{2+1} est obtenu en déroulant la coordonnée φ\varphi. On note π\pi la projection de AdS~2+1\widetilde{\mathrm{AdS}}_{2+1} sur AdS2+1\mathrm{AdS}_{2+1} :

Pi = UAdS.diff_map(AdS, [t,r,ph],name='pi', latex_name=r'\pi')
Pi.display()

π:AdS~2+1⟶AdS2+1(t,r,φ)⟼(t,r,φ)=(t,r,φ)\displaystyle \begin{array}{llcl} \pi:& \widetilde{\mathrm{AdS}}_{2+1} & \longrightarrow & \mathrm{AdS}_{2+1} \\ & \left(t, r, {\varphi}\right) & \longmapsto & \left(t, r, {\varphi}\right) = \left(t, r, {\varphi}\right) \end{array}

On obtient alors une métrique sur AdS~2+1\widetilde{\mathrm{AdS}}_{2+1} :

gUAdS = UAdS.metric(name = 'g_{UAdS}', latex_name=r'g_{\widetilde{\mathrm{AdS}}}')

gUAdS.set(Pi.pullback(gAdS))

gUAdS.display()

gAdS~=(−ℓ2+r2ℓ2)dt⊗dt+(ℓ2ℓ2+r2)dr⊗dr+r2dφ⊗dφ\displaystyle g_{\widetilde{\mathrm{AdS}}} = \left( -\frac{{\ell}^{2} + r^{2}}{{\ell}^{2}} \right) \mathrm{d} t\otimes \mathrm{d} t + \left( \frac{{\ell}^{2}}{{\ell}^{2} + r^{2}} \right) \mathrm{d} r\otimes \mathrm{d} r + r^{2} \mathrm{d} {\varphi}\otimes \mathrm{d} {\varphi}

Trou noir BTZ

Écriture de la métrique

Le trou noir BTZ est une solution des équations d'Einstein en dimension trois. On introduit donc MBTZ\mathscr{M}_{\mathrm{BTZ}} une variété lorentzienne à trois dimensions :

M = Manifold(3, 'M_{BTZ}', latex_name = r'\mathscr{M}_\mathrm{BTZ}', structure = 'Lorentzian')
M

MBTZ\displaystyle \mathscr{M}_\mathrm{BTZ}

La famille de solutions est paramétrée par les rayons r+r_+ et r−r_- des horizons, grâce auxquels on peut facilement exprimer la masse mm et le moment cinétique JJ. La fonction α(r)\alpha(r) est un paramètre utile pour la suite.

rp = var('rp', latex_name=r'r_+')
rm = var('rm', latex_name=r'r_-')

assume(l>0)
assume(rp>0)
assume(rm>0)
assume(rm<rp)

m = (rp^2+rm^2)/(l^2)
J = 2*rp*rm/l

alpha(r) = (r^2-rm^2)/(rp^2-rm^2)

On munit la variété de coordonnées adaptées à la symétrie sphérique de la solution :

X_Sph_BTZ.<t,r,ph> = M.chart(r't r:(0,+oo) ph:(0,2*pi):\varphi:periodic')
F_Sph=X_Sph.frame()

La métrique de MBTZ\mathscr{M}_\mathrm{BTZ} s'exprime alors :

g = M.metric(name='g', latex_name=r'g')

g[0,0] = m-r^2/l^2
g[1,1] = 1/(-m+r^2/l^2+J^2/(4*r^2))
g[2,2] = r^2
g[0,2] = -J/2

g.display()

g=(−r2ℓ2+r−2+r+2ℓ2)dt⊗dt+(−r−r+ℓ)dt⊗dφ+(1r2ℓ2+r−2r+2ℓ2r2−r−2+r+2ℓ2)dr⊗dr+(−r−r+ℓ)dφ⊗dt+r2dφ⊗dφ\displaystyle g = \left( -\frac{r^{2}}{{\ell}^{2}} + \frac{{r_-}^{2} + {r_+}^{2}}{{\ell}^{2}} \right) \mathrm{d} t\otimes \mathrm{d} t + \left( -\frac{{r_-} {r_+}}{{\ell}} \right) \mathrm{d} t\otimes \mathrm{d} {\varphi} + \left( \frac{1}{\frac{r^{2}}{{\ell}^{2}} + \frac{{r_-}^{2} {r_+}^{2}}{{\ell}^{2} r^{2}} - \frac{{r_-}^{2} + {r_+}^{2}}{{\ell}^{2}}} \right) \mathrm{d} r\otimes \mathrm{d} r + \left( -\frac{{r_-} {r_+}}{{\ell}} \right) \mathrm{d} {\varphi}\otimes \mathrm{d} t + r^{2} \mathrm{d} {\varphi}\otimes \mathrm{d} {\varphi}

Solution des équations d'Einstein

Les tenseurs de courbure associés à la métrique gg sont aisément calulés : 

Rc = g.ricci()
R = g.ricci_scalar()
G = Rc-(1/2)*R*g
G.set_name('G')

Le calcul du tenseur de Riemann serait superflu, car en dimension 2+12+1, toute l'information du tenseur de Riemann est contenue dans le tenseur de Ricci. En d'autres termes, le tenseur de Weyl est identiquement nul :

g.weyl().display()

C(g)=0\displaystyle \mathrm{C}\left(g\right) = 0

On reconnaît la forme de la métrique dans l'expression du tenseur d'Einstein :

G.display()

G=(−r2−r−2−r+2ℓ4)dt⊗dt+(−r−r+ℓ3)dt⊗dφ+(r2r4−r2r−2−(r2−r−2)r+2)dr⊗dr+(−r−r+ℓ3)dφ⊗dt+r2ℓ2dφ⊗dφ\displaystyle G = \left( -\frac{r^{2} - {r_-}^{2} - {r_+}^{2}}{{\ell}^{4}} \right) \mathrm{d} t\otimes \mathrm{d} t + \left( -\frac{{r_-} {r_+}}{{\ell}^{3}} \right) \mathrm{d} t\otimes \mathrm{d} {\varphi} + \left( \frac{r^{2}}{r^{4} - r^{2} {r_-}^{2} - {\left(r^{2} - {r_-}^{2}\right)} {r_+}^{2}} \right) \mathrm{d} r\otimes \mathrm{d} r + \left( -\frac{{r_-} {r_+}}{{\ell}^{3}} \right) \mathrm{d} {\varphi}\otimes \mathrm{d} t + \frac{r^{2}}{{\ell}^{2}} \mathrm{d} {\varphi}\otimes \mathrm{d} {\varphi}

En fait, le tenseur d'Einstein est proportionnel à la métrique gg : Gμν−1ℓ2gμν=0,G_{\mu\nu}-\frac{1}{\ell^2}g_{\mu\nu}=0,

G - (g)/l^2 == 0

True\displaystyle \mathrm{True}

ce qui signifie que (MBTZ,g)(\mathscr{M}_{\mathrm{BTZ}}, g) est une solution des équations d'Einstein dans le vide avec une constante cosmologique Λ=−1ℓ2\Lambda=-\frac{1}{\ell^2}.

De manière équivalente, on peut dire que le couple (MBTZ,g)(\mathscr{M}_{\mathrm{BTZ}}, g) forme une variété d'Einstein, ce qui signifie que son tenseur de Ricci est proportionnel à la métrique gg. On a plus précisment :

Rμν=2Λgμν=−2ℓ2gμν.R_{\mu\nu}=2\Lambda g_{\mu\nu}=-\frac{2}{\ell^2}g_{\mu\nu}.
Rc == -2*g/l^2

True\displaystyle \mathrm{True}

Construction géométrique de MBTZ\mathscr{M}_\mathrm{BTZ}

Comme toute solution des équations d'Einstein dans le vide en dimension 2+12+1, MBTZ\mathscr{M}_\mathrm{BTZ} est un espace à courbure constante :

R.display()

r(g):MBTZ⟶R(t,r,φ)⟼−6ℓ2\displaystyle \begin{array}{llcl} \mathrm{r}\left(g\right):& \mathscr{M}_\mathrm{BTZ} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & \left(t, r, {\varphi}\right) & \longmapsto & -\frac{6}{{\ell}^{2}} \end{array}

Cela implique que MBTZ\mathscr{M}_\mathrm{BTZ} est localement isométrique à AdS2+1\mathrm{AdS}_{2+1}. Nous allons exhiber MBTZ\mathscr{M}_\mathrm{BTZ} comme un quotient de AdS~2+1\widetilde{\mathrm{AdS}}_{2+1} par l'action proprement discontinue d'un sous-groupe discret de son groupe d'isométries.

Comme souvent pour étudier un trou noir, il est commode de découper l'espaces en régions séparées par les horizons (e.g. Schwarzschild, Reissner-Nordström, Kerr, etc. ). On introduit donc les parties RI\mathcal{R}_\mathrm{I}, RII\mathcal{R}_\mathrm{II} et RIII\mathcal{R}_{\mathrm{III}} dans AdS~2+1\widetilde{\mathrm{AdS}}_{2+1} et MBTZ\mathscr{M}_\mathrm{BTZ} selon que r+<rr_+<r, r−<r<r+r_-<r<r_+, ou r<r−r<r_- respectivement :

regI_UAdS = UAdS.open_subset('R_{IUAdS}', latex_name=r'\mathcal{R}_\mathrm{I}^{(\widetilde{\mathrm{AdS}})}', coord_def={X_UAdS : r>rp})
regII_UAdS = UAdS.open_subset('R_{IIUAdS}', latex_name=r'\mathcal{R}_\mathrm{II}^{(\widetilde{\mathrm{AdS}})}', coord_def={X_UAdS : rm<r<rp})
regIII_UAdS = UAdS.open_subset('R_{IIIUAdS}', latex_name=r'\mathcal{R}_\mathrm{III}^{(\widetilde{\mathrm{AdS}})}', coord_def={X_UAdS : r<rm})

regI_BTZ = M.open_subset('R_{IBTZ}', latex_name=r'\mathcal{R}_\mathrm{I}^{(\mathrm{BTZ})}', coord_def={X_Sph_BTZ : r>rp})
regII_BTZ = M.open_subset('R_{IIBTZ}', latex_name=r'\mathcal{R}_\mathrm{II}^{(\mathrm{BTZ})}', coord_def={X_Sph_BTZ : rm<r<rp})
regIII_BTZ = M.open_subset('R_{IIIBTZ}', latex_name=r'\mathcal{R}_\mathrm{III}^{(\mathrm{BTZ})}', coord_def={X_Sph_BTZ : r<rm})

Ces trois régions divisent naturellement AdS2+1\mathrm{AdS}_{2+1} :

graph_hyp_2 = X_AdS.plot(X_Cart, mapping=Phi, ambient_coords=(x,u,v), fixed_coords={ph:0}, 
                    ranges={t:(-pi,pi), r:(0,2)}, number_values=9, 
                    color={t:'grey', r:'grey'}, thickness=1, parameters={l:1}, 
                    label_axes=False)

graph_hyp_2 += X_AdS.plot(X_Cart, mapping=Phi, ambient_coords=(x,u,v), fixed_coords={ph:pi}, 
                    ranges={t:(-pi,pi), r:(0,2)}, number_values=9, 
                    color={t:'grey', r:'grey'}, thickness=2, parameters={l:1}, 
                    label_axes=False)

Phi_u_0, Phi_u_pi = Phi.coord_functions()[0](t,r,0).subs({l:1}), Phi.coord_functions()[0](t,r,pi).subs({l:1})
Phi_v_0, Phi_v_pi = Phi.coord_functions()[1](t,r,0).subs({l:1}), Phi.coord_functions()[1](t,r,pi).subs({l:1})
Phi_x_0, Phi_x_pi = Phi.coord_functions()[2](t,r,0).subs({l:1}), Phi.coord_functions()[2](t,r,pi).subs({l:1})

hyperboloid_2 = parametric_plot3d([Phi_x_0, Phi_u_0, Phi_v_0], (t,-pi,pi), (r,0,.5), color=(.2,.2,.2))
hyperboloid_2 += parametric_plot3d([Phi_x_pi, Phi_u_pi, Phi_v_pi], (t,-pi,pi), (r,0,.5), color=(.2,.2,.2))
hyperboloid_2 += parametric_plot3d([Phi_x_0, Phi_u_0, Phi_v_0], (t,-pi,pi), (r,.5,1), color=(.2,.2,0.5))
hyperboloid_2 += parametric_plot3d([Phi_x_pi, Phi_u_pi, Phi_v_pi], (t,-pi,pi), (r,.5,1), color=(.2,.2,.5))
hyperboloid_2 += parametric_plot3d([Phi_x_0, Phi_u_0, Phi_v_0], (t,-pi,pi), (r,1,2), color=(.8,.8,0.9))
hyperboloid_2 += parametric_plot3d([Phi_x_pi, Phi_u_pi, Phi_v_pi], (t,-pi,pi), (r,1,2), color=(.8,.8,0.9))

graph_hyp_2 += hyperboloid_2

show(graph_hyp_2, aspect_ratio=1, axes_labels=['x','u','v'])

On introduit de plus une projection naturelle de AdS~2+1\widetilde{\mathrm{AdS}}_{2+1} sur MBTZ\mathscr{M}_\mathrm{BTZ} :

piBTZ = UAdS.diff_map(M, [t,r,ph],name='pi_{BTZ}', latex_name=r'\pi_\mathrm{BTZ}')
piBTZ.display()

πBTZ:AdS~2+1⟶MBTZ(t,r,φ)⟼(t,r,φ)=(t,r,φ)\displaystyle \begin{array}{llcl} \pi_\mathrm{BTZ}:& \widetilde{\mathrm{AdS}}_{2+1} & \longrightarrow & \mathscr{M}_\mathrm{BTZ} \\ & \left(t, r, {\varphi}\right) & \longmapsto & \left(t, r, {\varphi}\right) = \left(t, r, {\varphi}\right) \end{array}

Cette identification donne aussi naturellement un revêtement par RI(AdS~)\mathcal{R}_\mathrm{I}^{(\widetilde{\mathrm{AdS}})} , RII(AdS~)\mathcal{R}_\mathrm{II}^{(\widetilde{\mathrm{AdS}})}, RIII(AdS~)\mathcal{R}_\mathrm{III}^{(\widetilde{\mathrm{AdS}})} des régions RI(BTZ)\mathcal{R}_\mathrm{I}^{(\mathrm{BTZ})}, RII(BTZ)\mathcal{R}_\mathrm{II}^{(\mathrm{BTZ})}, et RIII(BTZ)\mathcal{R}_\mathrm{III}^{(\mathrm{BTZ})} de MBTZ\mathscr{M}_\mathrm{BTZ}.

On définit sur chaque région RI(AdS~)\mathcal{R}_\mathrm{I}^{(\widetilde{\mathrm{AdS}})} , RII(AdS~)\mathcal{R}_\mathrm{II}^{(\widetilde{\mathrm{AdS}})}, RIII(AdS~)\mathcal{R}_\mathrm{III}^{(\widetilde{\mathrm{AdS}})} de AdS~2+1\widetilde{\mathrm{AdS}}_{2+1} un plongement ΨI\Psi_\mathrm{I}, ΨII\Psi_\mathrm{II}, ΨIII\Psi_\mathrm{III} vers la partie de R2,2\mathbb{R}^{2,2} correspondant à AdS2+1\mathrm{AdS}_{2+1} :

PsiI = regI_UAdS.diff_map(R22, 
                          [l*sqrt(alpha(r))*cosh(rp*ph/l-rm*t/l^2),
                           l*sqrt(alpha(r)-1)*sinh(rp*t/l^2-rm*ph/l),
                           l*sqrt(alpha(r))*sinh(rp*ph/l-rm*t/l^2),
                          l*sqrt(alpha(r)-1)*cosh(rp*t/l^2-rm*ph/l)]
                          ,name='Psi_I', latex_name=r'\Psi_\mathrm{I}')

PsiII = regII_UAdS.diff_map(R22, 
                          [l*sqrt(alpha(r))*cosh(rp*ph/l-rm*t/l^2),
                           -l*sqrt(1-alpha(r))*cosh(rp*t/l^2-rm*ph/l),
                           l*sqrt(alpha(r))*sinh(rp*ph/l-rm*t/l^2),
                          -l*sqrt(1-alpha(r))*sinh(rp*t/l^2-rm*ph/l)]
                          ,name='Psi_II', latex_name=r'\Psi_\mathrm{II}')

PsiIII = regIII_UAdS.diff_map(R22, 
                          [l*sqrt(-alpha(r))*sinh(rp*ph/l-rm*t/l^2),
                           -l*sqrt(1-alpha(r))*cosh(rp*t/l^2-rm*ph/l),
                           l*sqrt(-alpha(r))*cosh(rp*ph/l-rm*t/l^2),
                          -l*sqrt(1-alpha(r))*sinh(rp*t/l^2-rm*ph/l)]
                          ,name='Psi_III', latex_name=r'\Psi_\mathrm{III}')

Par exemple, ΨI\Psi_\mathrm{I} est donnée par :

PsiI.display(X_UAdS.restrict(regI_UAdS), X_Cart)

ΨI:RI(AdS~)⟶R2,2(t,r,φ)⟼(u,v,x,y)=(ℓ−r2−r−2r−2−r+2cosh⁡(φr+ℓ−r−tℓ2),ℓ−r2−r−2r−2−r+2−1sinh⁡(−φr−ℓ+r+tℓ2),ℓ−r2−r−2r−2−r+2sinh⁡(φr+ℓ−r−tℓ2),ℓ−r2−r−2r−2−r+2−1cosh⁡(−φr−ℓ+r+tℓ2))\displaystyle \begin{array}{llcl} \Psi_\mathrm{I}:& \mathcal{R}_\mathrm{I}^{(\widetilde{\mathrm{AdS}})} & \longrightarrow & \mathbb{R}^{2,2} \\ & \left(t, r, {\varphi}\right) & \longmapsto & \left(u, v, x, y\right) = \left({\ell} \sqrt{-\frac{r^{2} - {r_-}^{2}}{{r_-}^{2} - {r_+}^{2}}} \cosh\left(\frac{{\varphi} {r_+}}{{\ell}} - \frac{{r_-} t}{{\ell}^{2}}\right), {\ell} \sqrt{-\frac{r^{2} - {r_-}^{2}}{{r_-}^{2} - {r_+}^{2}} - 1} \sinh\left(-\frac{{\varphi} {r_-}}{{\ell}} + \frac{{r_+} t}{{\ell}^{2}}\right), {\ell} \sqrt{-\frac{r^{2} - {r_-}^{2}}{{r_-}^{2} - {r_+}^{2}}} \sinh\left(\frac{{\varphi} {r_+}}{{\ell}} - \frac{{r_-} t}{{\ell}^{2}}\right), {\ell} \sqrt{-\frac{r^{2} - {r_-}^{2}}{{r_-}^{2} - {r_+}^{2}} - 1} \cosh\left(-\frac{{\varphi} {r_-}}{{\ell}} + \frac{{r_+} t}{{\ell}^{2}}\right)\right) \end{array}

Par tiré-en-arrière de η\eta, on obtient alors sur chaque région RI(AdS~)\mathcal{R}_\mathrm{I}^{(\widetilde{\mathrm{AdS}})} , RII(AdS~)\mathcal{R}_\mathrm{II}^{(\widetilde{\mathrm{AdS}})}, RIII(AdS~)\mathcal{R}_\mathrm{III}^{(\widetilde{\mathrm{AdS}})} de AdS~2+1\widetilde{\mathrm{AdS}}_{2+1} une métrique :

PsiI.pullback(eta).display()

ΨI∗η=(−r2−r−2−r+2ℓ2)dt⊗dt+(−r−r+ℓ)dt⊗dφ+(ℓ2r2r4−r2r−2−(r2−r−2)r+2)dr⊗dr+(−r−r+ℓ)dφ⊗dt+r2dφ⊗dφ\displaystyle {\Psi_\mathrm{I}}^*\eta = \left( -\frac{r^{2} - {r_-}^{2} - {r_+}^{2}}{{\ell}^{2}} \right) \mathrm{d} t\otimes \mathrm{d} t + \left( -\frac{{r_-} {r_+}}{{\ell}} \right) \mathrm{d} t\otimes \mathrm{d} {\varphi} + \left( \frac{{\ell}^{2} r^{2}}{r^{4} - r^{2} {r_-}^{2} - {\left(r^{2} - {r_-}^{2}\right)} {r_+}^{2}} \right) \mathrm{d} r\otimes \mathrm{d} r + \left( -\frac{{r_-} {r_+}}{{\ell}} \right) \mathrm{d} {\varphi}\otimes \mathrm{d} t + r^{2} \mathrm{d} {\varphi}\otimes \mathrm{d} {\varphi}

PsiII.pullback(eta).display()

ΨII∗η=(−r2−r−2−r+2ℓ2)dt⊗dt+(−r−r+ℓ)dt⊗dφ+(ℓ2r2r4−r2r−2−(r2−r−2)r+2)dr⊗dr+(−r−r+ℓ)dφ⊗dt+r2dφ⊗dφ\displaystyle {\Psi_\mathrm{II}}^*\eta = \left( -\frac{r^{2} - {r_-}^{2} - {r_+}^{2}}{{\ell}^{2}} \right) \mathrm{d} t\otimes \mathrm{d} t + \left( -\frac{{r_-} {r_+}}{{\ell}} \right) \mathrm{d} t\otimes \mathrm{d} {\varphi} + \left( \frac{{\ell}^{2} r^{2}}{r^{4} - r^{2} {r_-}^{2} - {\left(r^{2} - {r_-}^{2}\right)} {r_+}^{2}} \right) \mathrm{d} r\otimes \mathrm{d} r + \left( -\frac{{r_-} {r_+}}{{\ell}} \right) \mathrm{d} {\varphi}\otimes \mathrm{d} t + r^{2} \mathrm{d} {\varphi}\otimes \mathrm{d} {\varphi}

PsiIII.pullback(eta).display()

ΨIII∗η=(−r2−r−2−r+2ℓ2)dt⊗dt+(−r−r+ℓ)dt⊗dφ+(ℓ2r2r4−r2r−2−(r2−r−2)r+2)dr⊗dr+(−r−r+ℓ)dφ⊗dt+r2dφ⊗dφ\displaystyle {\Psi_\mathrm{III}}^*\eta = \left( -\frac{r^{2} - {r_-}^{2} - {r_+}^{2}}{{\ell}^{2}} \right) \mathrm{d} t\otimes \mathrm{d} t + \left( -\frac{{r_-} {r_+}}{{\ell}} \right) \mathrm{d} t\otimes \mathrm{d} {\varphi} + \left( \frac{{\ell}^{2} r^{2}}{r^{4} - r^{2} {r_-}^{2} - {\left(r^{2} - {r_-}^{2}\right)} {r_+}^{2}} \right) \mathrm{d} r\otimes \mathrm{d} r + \left( -\frac{{r_-} {r_+}}{{\ell}} \right) \mathrm{d} {\varphi}\otimes \mathrm{d} t + r^{2} \mathrm{d} {\varphi}\otimes \mathrm{d} {\varphi}

Ces métriques correspondent dans chaque région au tiré-en-arrière sur AdS~2+1\widetilde{\mathrm{AdS}}_{2+1} de la métrique gg de MBTZ\mathscr{M}_\mathrm{BTZ} par πBTZ\pi_{\mathrm{BTZ}} :

piBTZ.pullback(g).display()

πBTZ∗g=(−r2−r−2−r+2ℓ2)dt⊗dt+(−r−r+ℓ)dt⊗dφ+(ℓ2r2r4−r2r−2−(r2−r−2)r+2)dr⊗dr+(−r−r+ℓ)dφ⊗dt+r2dφ⊗dφ\displaystyle {\pi_\mathrm{BTZ}}^*g = \left( -\frac{r^{2} - {r_-}^{2} - {r_+}^{2}}{{\ell}^{2}} \right) \mathrm{d} t\otimes \mathrm{d} t + \left( -\frac{{r_-} {r_+}}{{\ell}} \right) \mathrm{d} t\otimes \mathrm{d} {\varphi} + \left( \frac{{\ell}^{2} r^{2}}{r^{4} - r^{2} {r_-}^{2} - {\left(r^{2} - {r_-}^{2}\right)} {r_+}^{2}} \right) \mathrm{d} r\otimes \mathrm{d} r + \left( -\frac{{r_-} {r_+}}{{\ell}} \right) \mathrm{d} {\varphi}\otimes \mathrm{d} t + r^{2} \mathrm{d} {\varphi}\otimes \mathrm{d} {\varphi}

Dans ces coordonnées, le passage de AdS~2+1\widetilde{\mathrm{AdS}}_{2+1} à MBTZ\mathscr{M}_\mathrm{BTZ} correspond à l'enroulement selon φ\varphi, i.e. au quotient par un groupe discret engendré par le vecteur ∂φ\partial_\varphi :

regI_UAdS.default_frame()[2]

∂∂φ\displaystyle \frac{\partial}{\partial {\varphi} }

Le poussé-en-avant de ∂φ\partial_\varphi dans R2,2\mathbb{R}^{2,2} est donné par ξ=Ψ∗∂φ\xi=\Psi_*\partial_\varphi :

xi = PsiI.pushforward(regI_UAdS.default_frame()[2])
xi.display()

ΨI∗∂∂φ=(−(r+cosh⁡(r−tℓ2)sinh⁡(φr+ℓ)−r+cosh⁡(φr+ℓ)sinh⁡(r−tℓ2))r+r−r−r−r−+r+−r−+r+r−2−r+2)∂∂u+((r−cosh⁡(φr−ℓ)cosh⁡(r+tℓ2)−r−sinh⁡(φr−ℓ)sinh⁡(r+tℓ2))r+r+r−r+r−+r+−r−+r+r−2−r+2)∂∂v+(−(r+cosh⁡(φr+ℓ)cosh⁡(r−tℓ2)−r+sinh⁡(φr+ℓ)sinh⁡(r−tℓ2))r+r−r−r−r−+r+−r−+r+r−2−r+2)∂∂x+(−(r−cosh⁡(r+tℓ2)sinh⁡(φr−ℓ)−r−cosh⁡(φr−ℓ)sinh⁡(r+tℓ2))r+r+r−r+r−+r+−r−+r+r−2−r+2)∂∂y\displaystyle {\Psi_\mathrm{I}}_* \frac{\partial}{\partial {\varphi} } = \left( -\frac{{\left({r_+} \cosh\left(\frac{{r_-} t}{{\ell}^{2}}\right) \sinh\left(\frac{{\varphi} {r_+}}{{\ell}}\right) - {r_+} \cosh\left(\frac{{\varphi} {r_+}}{{\ell}}\right) \sinh\left(\frac{{r_-} t}{{\ell}^{2}}\right)\right)} \sqrt{r + {r_-}} \sqrt{r - {r_-}} \sqrt{{r_-} + {r_+}} \sqrt{-{r_-} + {r_+}}}{{r_-}^{2} - {r_+}^{2}} \right) \frac{\partial}{\partial u } + \left( \frac{{\left({r_-} \cosh\left(\frac{{\varphi} {r_-}}{{\ell}}\right) \cosh\left(\frac{{r_+} t}{{\ell}^{2}}\right) - {r_-} \sinh\left(\frac{{\varphi} {r_-}}{{\ell}}\right) \sinh\left(\frac{{r_+} t}{{\ell}^{2}}\right)\right)} \sqrt{r + {r_+}} \sqrt{r - {r_+}} \sqrt{{r_-} + {r_+}} \sqrt{-{r_-} + {r_+}}}{{r_-}^{2} - {r_+}^{2}} \right) \frac{\partial}{\partial v } + \left( -\frac{{\left({r_+} \cosh\left(\frac{{\varphi} {r_+}}{{\ell}}\right) \cosh\left(\frac{{r_-} t}{{\ell}^{2}}\right) - {r_+} \sinh\left(\frac{{\varphi} {r_+}}{{\ell}}\right) \sinh\left(\frac{{r_-} t}{{\ell}^{2}}\right)\right)} \sqrt{r + {r_-}} \sqrt{r - {r_-}} \sqrt{{r_-} + {r_+}} \sqrt{-{r_-} + {r_+}}}{{r_-}^{2} - {r_+}^{2}} \right) \frac{\partial}{\partial x } + \left( -\frac{{\left({r_-} \cosh\left(\frac{{r_+} t}{{\ell}^{2}}\right) \sinh\left(\frac{{\varphi} {r_-}}{{\ell}}\right) - {r_-} \cosh\left(\frac{{\varphi} {r_-}}{{\ell}}\right) \sinh\left(\frac{{r_+} t}{{\ell}^{2}}\right)\right)} \sqrt{r + {r_+}} \sqrt{r - {r_+}} \sqrt{{r_-} + {r_+}} \sqrt{-{r_-} + {r_+}}}{{r_-}^{2} - {r_+}^{2}} \right) \frac{\partial}{\partial y }

Ce vecteur correspond dans R2,2\mathbb{R}^{2,2} à :

ξ=r+ℓ(x∂u+u∂x)−r−ℓ(y∂v+v∂y).\xi=\frac{r_+}{\ell}(x\partial_u+u\partial_x)-\frac{r_-}{\ell}(y\partial_v+v\partial_y).

On reconnaît une combinaison linéaire d'éléments de so(2,2)\mathfrak{so}(2,2) — le groupe de symétries d'AdS2+1\mathrm{AdS}_{2+1} étant SO(2,2)\mathrm{SO}(2,2) — qui génèrent les transformation spéciales de Lorentz dans les plans (u,x)(u,x) et (v,y)(v,y).