Etude du trou noir BTZ et de l'espace-temps anti-de Sitter en dimension 2+1.
This notebook was written under the supervision of Éric Gourgoulhon (LUTH) as part of my physics internship in July 2023.
Author : Nicolas Seroux
Gravitation en dimensions et trou noir BTZ
Espace-temps anti-de Sitter
Définitions préliminaires
On commence par définir l'espace temps anti-de Sitter à trois dimensions comme une sous variété .
On distinguera l'espace-temps de son recouvrement universel .
Les symétries des espaces anti-de Sitter permettent de considérer des coordonnées de type sphérique :
On introduit l'espace vectoriel comme une variété pseudo-riemannienne munie de coordonnées cartésiennes et sphériques :
La métrique sur est plate :
Plongement de dans
L'espace se plonge dans sur la sous-variété , i.e. , où est un paramètre qui donne la courbure de .
Le plongement est fourni par l'application :
On identifie à l'image de dans . On affiche ici la section de dans le plan , qui correspond à l'image des points et .
La métrique sur est alors donnée par tiré-en-arrière selon de la métrique plate :
Recouvrement universel de
Le recouvrement universel de est obtenu en déroulant la coordonnée . On note la projection de sur :
On obtient alors une métrique sur :
Trou noir BTZ
Écriture de la métrique
Le trou noir BTZ est une solution des équations d'Einstein en dimension trois. On introduit donc une variété lorentzienne à trois dimensions :
La famille de solutions est paramétrée par les rayons et des horizons, grâce auxquels on peut facilement exprimer la masse et le moment cinétique . La fonction est un paramètre utile pour la suite.
On munit la variété de coordonnées adaptées à la symétrie sphérique de la solution :
La métrique de s'exprime alors :
Solution des équations d'Einstein
Les tenseurs de courbure associés à la métrique sont aisément calulés :
Le calcul du tenseur de Riemann serait superflu, car en dimension , toute l'information du tenseur de Riemann est contenue dans le tenseur de Ricci. En d'autres termes, le tenseur de Weyl est identiquement nul :
On reconnaît la forme de la métrique dans l'expression du tenseur d'Einstein :
En fait, le tenseur d'Einstein est proportionnel à la métrique :
ce qui signifie que est une solution des équations d'Einstein dans le vide avec une constante cosmologique .
De manière équivalente, on peut dire que le couple forme une variété d'Einstein, ce qui signifie que son tenseur de Ricci est proportionnel à la métrique . On a plus précisment :
Construction géométrique de
Comme toute solution des équations d'Einstein dans le vide en dimension , est un espace à courbure constante :
Cela implique que est localement isométrique à . Nous allons exhiber comme un quotient de par l'action proprement discontinue d'un sous-groupe discret de son groupe d'isométries.
Comme souvent pour étudier un trou noir, il est commode de découper l'espaces en régions séparées par les horizons (e.g. Schwarzschild, Reissner-Nordström, Kerr, etc. ). On introduit donc les parties , et dans et selon que , , ou respectivement :
Ces trois régions divisent naturellement :
On introduit de plus une projection naturelle de sur :
Cette identification donne aussi naturellement un revêtement par , , des régions , , et de .
On définit sur chaque région , , de un plongement , , vers la partie de correspondant à :
Par exemple, est donnée par :
Par tiré-en-arrière de , on obtient alors sur chaque région , , de une métrique :
Ces métriques correspondent dans chaque région au tiré-en-arrière sur de la métrique de par :
Dans ces coordonnées, le passage de à correspond à l'enroulement selon , i.e. au quotient par un groupe discret engendré par le vecteur :
Le poussé-en-avant de dans est donné par :
Ce vecteur correspond dans à :
On reconnaît une combinaison linéaire d'éléments de — le groupe de symétries d' étant — qui génèrent les transformation spéciales de Lorentz dans les plans et .