⁸⁸ views
ubuntu2004

Kernel: SageMath 9.4

Faktoriál

In [1]:

factorial(10)

Out[1]:

3628800

In [2]:

for n in range(11):
    print(f"{n}! = ", factorial(n))

Out[2]:

0! =  1
1! =  1
2! =  2
3! =  6
4! =  24
5! =  120
6! =  720
7! =  5040
8! =  40320
9! =  362880
10! =  3628800

(n+1)! = (n+1)n!

In [1]:

M = {"a", "b", "c"}
p = Permutations(M)
print(p)
p.list()

Out[1]:

Permutations of the set ['b', 'c', 'a']

[['b', 'c', 'a'],
 ['b', 'a', 'c'],
 ['c', 'b', 'a'],
 ['c', 'a', 'b'],
 ['a', 'b', 'c'],
 ['a', 'c', 'b']]

In [4]:

bool(p.cardinality() == factorial(3))

Out[4]:

True

In [4]:

P = Subsets(M)
P.cardinality()
#Subsets(M).list()

Out[4]:

8

In [5]:

P.list()

Out[5]:

[{}, {'b'}, {'c'}, {'a'}, {'b', 'c'}, {'b', 'a'}, {'c', 'a'}, {'b', 'c', 'a'}]

In [6]:

Subsets(M, 2).list()

Out[6]:

[{'b', 'c'}, {'b', 'a'}, {'c', 'a'}]

Počet permutací n-prvkové množiny bez opakování = $n!$

Binomická čísla

\binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)!k!}.

In [6]:

b = binomial(3, 1)
b

Out[6]:

3

(a + b)^n = \sum_{i=0}^n \binom{n}{i}a^{n-i}b^i

Úloha. Uvažujme karetní hru "Poker." Tato hra se hraje s balíkem 4x13 karet. Má zde 4 barvy: srdce, káry, piky a kříže.

In [7]:

Barvy = Set(["Srdce", "Káry", "Piky", "Kříže"])
Hodnoty = Set([2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, "Kluk", "Královna", "Král", "Eso"])
Karty = cartesian_product([Hodnoty, Barvy])
Karty

Out[7]:

The Cartesian product of ({2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 'Královna', 'Král', 'Eso', 'Kluk'}, {'Kříže', 'Piky', 'Káry', 'Srdce'})

In [8]:

list(Karty)

Out[8]:

[(2, 'Kříže'),
 (2, 'Piky'),
 (2, 'Káry'),
 (2, 'Srdce'),
 (3, 'Kříže'),
 (3, 'Piky'),
 (3, 'Káry'),
 (3, 'Srdce'),
 (4, 'Kříže'),
 (4, 'Piky'),
 (4, 'Káry'),
 (4, 'Srdce'),
 (5, 'Kříže'),
 (5, 'Piky'),
 (5, 'Káry'),
 (5, 'Srdce'),
 (6, 'Kříže'),
 (6, 'Piky'),
 (6, 'Káry'),
 (6, 'Srdce'),
 (7, 'Kříže'),
 (7, 'Piky'),
 (7, 'Káry'),
 (7, 'Srdce'),
 (8, 'Kříže'),
 (8, 'Piky'),
 (8, 'Káry'),
 (8, 'Srdce'),
 (9, 'Kříže'),
 (9, 'Piky'),
 (9, 'Káry'),
 (9, 'Srdce'),
 (10, 'Kříže'),
 (10, 'Piky'),
 (10, 'Káry'),
 (10, 'Srdce'),
 ('Královna', 'Kříže'),
 ('Královna', 'Piky'),
 ('Královna', 'Káry'),
 ('Královna', 'Srdce'),
 ('Král', 'Kříže'),
 ('Král', 'Piky'),
 ('Král', 'Káry'),
 ('Král', 'Srdce'),
 ('Eso', 'Kříže'),
 ('Eso', 'Piky'),
 ('Eso', 'Káry'),
 ('Eso', 'Srdce'),
 ('Kluk', 'Kříže'),
 ('Kluk', 'Piky'),
 ('Kluk', 'Káry'),
 ('Kluk', 'Srdce')]

In [10]:

pocet_karet = Karty.cardinality()
pocet_karet

Out[10]:

52

In [0]:

Hodnoty.cardinality()

In [11]:

Barvy.cardinality()

Out[11]:

4

In [12]:

# Vytáhněme náhodně jednu kartu:
Karty.random_element()

Out[12]:

(7, 'Piky')

In [13]:

# Vytáhněme náhodně dvě karty:
Set([Karty.random_element(), Karty.random_element()])

Out[13]:

{('Eso', 'Kříže'), (10, 'Kříže')}

V naší verzi hry si každý hráč dostane pětici různých karet. Pořadí ve kterém jsou karty obdrženy nehraje roli. Tato pětice tvaří tzv. "hand."

In [14]:

# vyberme náhodně pětici karet:
Hands = Subsets(Karty, 5)
Hands.random_element()

Out[14]:

{(4, 'Káry'), ('Královna', 'Srdce'), (5, 'Srdce'), ('Král', 'Srdce'), ('Kluk', 'Káry')}

In [15]:

# Počet možných rozdání je roven binomickému číslu:
počet_pětic = binomial(52, 5)
počet_pětic

Out[15]:

2598960

In [16]:

# jinak lze zjistit počet prvků množiny Hands:
Hands.cardinality()

Out[16]:

2598960

Popišme jednu výherní kombinaci karet, které říkáme anglicky "flush". Pětice karet tvoří flush, pokud jsou všechny stejné barvy. Zjistěme, jaká je pravděpodobnost, že hráč obdrží při náhodném rozdání kombinaci flush!

In [17]:

# Vytvořme všechny možné výherní kombinace typu flush a uložme je do proměnné s názvem Flushes:
Flushes = cartesian_product([Subsets(Hodnoty, 5), Barvy])
print(Flushes.cardinality())
Pravd = Flushes.cardinality() / Hands.cardinality()
print(Pravd)

Out[17]:

5148
33/16660

In [18]:

# Uveďmě pravděpodobnost v jednotkách promile:
promile = 1000 * Pravd
print(f"Ptavděpodobnost, že hráč obdrží kombinaci 'flush' je rovna přibližně {round(promile, 1)} promile!" )

Out[18]:

Ptavděpodobnost, že hráč obdrží kombinaci 'flush' je rovna přibližně 2.0 promile!

Úloha. Ověřte ručním výpočtem správnost tohoto výsledku!

In [20]:

def is_flush(hand):
    return len(set(barva for (hodnota, barva) in hand)) == 1

In [35]:

pocet_rozdani = 1000000
pocet_flush = 0
for i in range(pocet_rozdani):
    hand = Hands.random_element()
    if is_flush(hand):
        pocet_flush += 1
print(pocet_rozdani, pocet_flush)
print(float(1000 * pocet_flush / pocet_rozdani), "promile")

Out[35]:

1000000 1976
1.976 promile

In [7]:

S = FiniteEnumeratedSet(["a", "b"])
for element in S:
    print(element)

Out[7]:

a
b

In [8]:

S.cardinality()

Out[8]:

2

In [0]:

Arrangements?

In [1]:

M = set([1, 2, 3])
Arrangements(M, 2).list()

Out[1]:

[[1, 2], [1, 3], [2, 1], [2, 3], [3, 1], [3, 2]]

In [2]:

Arrangements({1, 2, 3}, 2).list()

Out[2]:

[[1, 2], [1, 3], [2, 1], [2, 3], [3, 1], [3, 2]]

In [10]:

Arrangements({1, 2, 3}, 2).cardinality()

Out[10]:

6

Úloha. Řešte nyní samostatně tuto úlohu:

vypočítejte, jaká je pravděpodobnost, že hráč obdrží při rozdání pěti karet výherní kombinaci, které se říká "four-of-a-kind". Znamená to, že hráč má v ruce čtyři karty stejné hodnoty.

In [11]:

Barvy = FiniteEnumeratedSet(["Srdce", "Káry", "Piky", "Kříže"])
Hodnoty = FiniteEnumeratedSet([2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, "Kluk", "Královna", "Král", "Eso"])
FourOfaKind = cartesian_product([Arrangements(Hodnoty, 2), Barvy])

In [25]:

k = 4
mnozina = set([x for x in range(k)])
mnozina

Out[25]:

{0, 1, 2, 3}

In [26]:

Arrangements(mnozina, 2).list()

Out[26]:

[[0, 1],
 [0, 2],
 [0, 3],
 [1, 0],
 [1, 2],
 [1, 3],
 [2, 0],
 [2, 1],
 [2, 3],
 [3, 0],
 [3, 1],
 [3, 2]]

In [0]:

FourOfaKind.list()

In [38]:

FourOfaKind[0]

Out[38]:

([2, 3], 'Srdce')

In [13]:

FourOfaKind.cardinality()

Out[13]:

624

In [16]:

binomial(52, 5)

Out[16]:

2598960

In [0]:

In [15]:

Karty = cartesian_product([Hodnoty, Barvy])
Hands = Subsets(Karty, 5)
p = FourOfaKind.cardinality() / Hands.cardinality()
p = float(p)
p

Out[15]:

0.00024009603841536616

In [41]:

print(f"Pravděpodobnost je rovna {round(1000 * p, 2)} promile.")

Out[41]:

Pravděpodobnost je rovna 0.24 promile.

In [30]:

WeightedIntegerVectors(100 - 36, [1, 2, 5, 10, 20, 50]).cardinality()

Out[30]:

969

In [8]:

r = WeightedIntegerVectors(50 - 18, [1, 2, 5, 10, 20])
r.list()

Out[8]:

[[0, 1, 0, 1, 1],
 [2, 0, 0, 1, 1],
 [0, 1, 2, 0, 1],
 [2, 0, 2, 0, 1],
 [1, 3, 1, 0, 1],
 [3, 2, 1, 0, 1],
 [5, 1, 1, 0, 1],
 [7, 0, 1, 0, 1],
 [0, 6, 0, 0, 1],
 [2, 5, 0, 0, 1],
 [4, 4, 0, 0, 1],
 [6, 3, 0, 0, 1],
 [8, 2, 0, 0, 1],
 [10, 1, 0, 0, 1],
 [12, 0, 0, 0, 1],
 [0, 1, 0, 3, 0],
 [2, 0, 0, 3, 0],
 [0, 1, 2, 2, 0],
 [2, 0, 2, 2, 0],
 [1, 3, 1, 2, 0],
 [3, 2, 1, 2, 0],
 [5, 1, 1, 2, 0],
 [7, 0, 1, 2, 0],
 [0, 6, 0, 2, 0],
 [2, 5, 0, 2, 0],
 [4, 4, 0, 2, 0],
 [6, 3, 0, 2, 0],
 [8, 2, 0, 2, 0],
 [10, 1, 0, 2, 0],
 [12, 0, 0, 2, 0],
 [0, 1, 4, 1, 0],
 [2, 0, 4, 1, 0],
 [1, 3, 3, 1, 0],
 [3, 2, 3, 1, 0],
 [5, 1, 3, 1, 0],
 [7, 0, 3, 1, 0],
 [0, 6, 2, 1, 0],
 [2, 5, 2, 1, 0],
 [4, 4, 2, 1, 0],
 [6, 3, 2, 1, 0],
 [8, 2, 2, 1, 0],
 [10, 1, 2, 1, 0],
 [12, 0, 2, 1, 0],
 [1, 8, 1, 1, 0],
 [3, 7, 1, 1, 0],
 [5, 6, 1, 1, 0],
 [7, 5, 1, 1, 0],
 [9, 4, 1, 1, 0],
 [11, 3, 1, 1, 0],
 [13, 2, 1, 1, 0],
 [15, 1, 1, 1, 0],
 [17, 0, 1, 1, 0],
 [0, 11, 0, 1, 0],
 [2, 10, 0, 1, 0],
 [4, 9, 0, 1, 0],
 [6, 8, 0, 1, 0],
 [8, 7, 0, 1, 0],
 [10, 6, 0, 1, 0],
 [12, 5, 0, 1, 0],
 [14, 4, 0, 1, 0],
 [16, 3, 0, 1, 0],
 [18, 2, 0, 1, 0],
 [20, 1, 0, 1, 0],
 [22, 0, 0, 1, 0],
 [0, 1, 6, 0, 0],
 [2, 0, 6, 0, 0],
 [1, 3, 5, 0, 0],
 [3, 2, 5, 0, 0],
 [5, 1, 5, 0, 0],
 [7, 0, 5, 0, 0],
 [0, 6, 4, 0, 0],
 [2, 5, 4, 0, 0],
 [4, 4, 4, 0, 0],
 [6, 3, 4, 0, 0],
 [8, 2, 4, 0, 0],
 [10, 1, 4, 0, 0],
 [12, 0, 4, 0, 0],
 [1, 8, 3, 0, 0],
 [3, 7, 3, 0, 0],
 [5, 6, 3, 0, 0],
 [7, 5, 3, 0, 0],
 [9, 4, 3, 0, 0],
 [11, 3, 3, 0, 0],
 [13, 2, 3, 0, 0],
 [15, 1, 3, 0, 0],
 [17, 0, 3, 0, 0],
 [0, 11, 2, 0, 0],
 [2, 10, 2, 0, 0],
 [4, 9, 2, 0, 0],
 [6, 8, 2, 0, 0],
 [8, 7, 2, 0, 0],
 [10, 6, 2, 0, 0],
 [12, 5, 2, 0, 0],
 [14, 4, 2, 0, 0],
 [16, 3, 2, 0, 0],
 [18, 2, 2, 0, 0],
 [20, 1, 2, 0, 0],
 [22, 0, 2, 0, 0],
 [1, 13, 1, 0, 0],
 [3, 12, 1, 0, 0],
 [5, 11, 1, 0, 0],
 [7, 10, 1, 0, 0],
 [9, 9, 1, 0, 0],
 [11, 8, 1, 0, 0],
 [13, 7, 1, 0, 0],
 [15, 6, 1, 0, 0],
 [17, 5, 1, 0, 0],
 [19, 4, 1, 0, 0],
 [21, 3, 1, 0, 0],
 [23, 2, 1, 0, 0],
 [25, 1, 1, 0, 0],
 [27, 0, 1, 0, 0],
 [0, 16, 0, 0, 0],
 [2, 15, 0, 0, 0],
 [4, 14, 0, 0, 0],
 [6, 13, 0, 0, 0],
 [8, 12, 0, 0, 0],
 [10, 11, 0, 0, 0],
 [12, 10, 0, 0, 0],
 [14, 9, 0, 0, 0],
 [16, 8, 0, 0, 0],
 [18, 7, 0, 0, 0],
 [20, 6, 0, 0, 0],
 [22, 5, 0, 0, 0],
 [24, 4, 0, 0, 0],
 [26, 3, 0, 0, 0],
 [28, 2, 0, 0, 0],
 [30, 1, 0, 0, 0],
 [32, 0, 0, 0, 0]]

In [20]:

len([p for p in r if p[1] == 0])

Out[20]:

16

In [35]:

Partitions(10).cardinality()

Out[35]:

---------------------------------------------------------------------------
TypeError                                 Traceback (most recent call last)
<ipython-input-35-4e3b9d07dcef> in <module>
----> 1 Partitions(Integer(10), Integer(3)).cardinality()

/ext/sage/9.4/local/lib/python3.9/site-packages/sage/misc/classcall_metaclass.pyx in sage.misc.classcall_metaclass.ClasscallMetaclass.__call__ (build/cythonized/sage/misc/classcall_metaclass.c:1761)()
    320         """
    321         if cls.classcall is not None:
--> 322             return cls.classcall(cls, *args, **kwds)
    323         else:
    324             # Fast version of type.__call__(cls, *args, **kwds)
TypeError: __classcall_private__() takes from 1 to 2 positional arguments but 3 were given

In [38]:

Partitions(4).list()

Out[38]:

[[4], [3, 1], [2, 2], [2, 1, 1], [1, 1, 1, 1]]

In [0]:

In [42]:

1 + 4 + 2*binomial(4, 2) + 1

Out[42]:

18

In [43]:

binomial(4, 2)

Out[43]:

6

In [2]:

M = set(["a", "b", "c", "d"])
M

Out[2]:

{'a', 'b', 'c', 'd'}

In [6]:

rozklad = SetPartitions(M)
print(rozklad.list())
rozklad.cardinality()

Out[6]:

[{{'a', 'b', 'c', 'd'}}, {{'a', 'b', 'c'}, {'d'}}, {{'a', 'b', 'd'}, {'c'}}, {{'a', 'b'}, {'c', 'd'}}, {{'a', 'b'}, {'c'}, {'d'}}, {{'a', 'c', 'd'}, {'b'}}, {{'a', 'c'}, {'b', 'd'}}, {{'a', 'c'}, {'b'}, {'d'}}, {{'a', 'd'}, {'b', 'c'}}, {{'a'}, {'b', 'c', 'd'}}, {{'a'}, {'b', 'c'}, {'d'}}, {{'a', 'd'}, {'b'}, {'c'}}, {{'a'}, {'b', 'd'}, {'c'}}, {{'a'}, {'b'}, {'c', 'd'}}, {{'a'}, {'b'}, {'c'}, {'d'}}]

15

In [0]:

for p in Primes():
    if p < 1000:
        print(p)
    else:
        break

In [25]:

In [26]:

In [0]:

Faktoriál

Binomická čísla

Product

Resources

Company